2019年高考数学命题热点全覆盖专题16数列的通项公式的求解方法文.doc

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1、1专题 16 数列的通项公式的求解方法一 【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.二 【方法总结】1.利用通项公式,应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一,应善于运用函数观点认识数列,用函数的图象与性质研究数列性质. 练习 1. 已知数列 na满足 1, ,则数列 1na的前 40 项的和为( )A. 1920 B. 35462 C. 84 D. 20【答案】D【方法总结】:这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法

2、有,裂项求和,主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项;分组求和,用于相邻两项之和是定值,或者有规律的;错位相减求和,用于一个等差一 个等比乘在一起求和的数列。练习 2. 数列 na满足 1,且对于任意的 *nN都有 ,则 等于( )2A. 20167 B. 403217 C. 0178 D. 403218【答案】D【方法总结】:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代

3、法求通项使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的练习 3. 已知数列 na满足 1, 23a,若 ,则数列na的通项 n( )A. 12 B. 1 C. 13n D. 12n【答案】B【解析】 , , ,则 ,数列 1na是首项为 2,公比为 2 的等比数列,利用叠加法, 3,则 12na.选 B. 【方法总结】:由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2

4、)具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用 处理.练习 1. 数列 的一个通项公式可能是( )A. 12n B. 12n C. 12n D. 12n【答案】D练习 2.数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3,的通项公式是 an( )A. (10n1) B. C. (10n1) D. (10n1).【答案】B【解析】1 0.9,1 0.99,故原数列的通项公式为 an .选 B.练习 3两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家

5、曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图 中实心点的个数 5,9,14,20,为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第 2017 项为 2017a,则 20175( )4A. B. C. 10823 D. 20178【答案】C【方法总结】:根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:相邻项的变化特征;拆项后的各部分特征;符号特征应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想4.项和互化求通项例 4.设 是数列 的前 项和,且 ,则 na=( )A. 132nB. 123nC. 123nD. 3【答案

6、】D【解析】由题意可得: ,考查所给选项:,则选项 B 错误;5当 2n时: ,即 ,考查 ACD 选项: ,则选项 AC 错误,本题选择 D 选项.【方法规律总结】:给出 nS 与 a 的递推关系,求 an,常用思路是:一是利用 转化为 an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn的递推关系,先求出 Sn与 n 之间的关系,再求 an.练习 1. 设数列 na满足 ,通项公式是( )A. 12n B. 12n C. 12na D. 12na【答案】C练 习 2. 设数列 na满足 ,通项公式是( )A. 12n B. 12n C. 12na D. 12na【答案】C【解析】当 时, 1a

7、,.(1) , (2),(1)-(2)得: 12na , 12n, a符合,则通项公式是 12na,选 C. 练习 3. 已知正项数列 n的前 项和为 nS,且 , 1m,现有如下说法:6 25a;当 n为奇数时, ; 则上述说法正确的个数为( )A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】D【方法总结】:给出 nS与 a的递推关系求 na,常用思路是:一是利用 转化为 na的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 S的递推关系,先求出 nS与 之 间的关系,再求 . 应用关系式 时,一定要注意分 1,2n两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.5.构造辅助数列求

8、通项(1) 的形式例 5.数列 na满足 则 6a( )A. 33 B. 32 C. 31 D. 34【答案】A【解析】数列 na满足 , 是以 2 为公比的等比数列,首项为 1,得到 63.a故答案为:A。 7练习 1. 已知数列 an满足 a12, an+13 an+2,则 an的通项公式为A. an2 n-1 B. an3 n-1 C. an2 n-1 D. an6 n-4【答案】B【解析】 ,得 1n是以 3 为首项,3 为公比的等比数列,则 13na,即 na。故选 B。(2) 的形式例 6 设 nS为数列 na的前 项和, ,且 123a.记 nT 为数列 1naS的前 项和,若

9、,则 m的最小值为( )A. 13 B. 2 C. 3 D. 1【答案】A8【方法总结】:这个题目考查的是数列求通项的常用方法:配凑法,构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用,数列和的最值。关于数列之和的最值,可以直接观察,比如这个题目,一般情况下需要研究和的表达式的单调性:构造函数研究单调性,做差和 0 比研究单调性,直接研究表达式的单调性。练习 1. 已知数列 na的前 项和为 =21nS, ,则数列 nb的前 项和为( )A. 12n B. C. 2 D. 12n【答案】C练习 2. 已知数列 na满足 ,则 na的通项公式为( )A. 23na B. 23n C. D. 【答案】C

10、【解析】由 得 , ,当 1n时也符合,数列的通项公式为.故选 C. 练习 2. 已知数列 na满足 10, ,则 13a ( )A. 121 B. 136 C. 144 D. 169【答案】C9练习 3. 数列 na中,已知对任意正整数 n,有 ,则( )A. 21n B. 413n C. 213n D. 41n【答案】B【解析】 12na( )当 1,也适合 12na,故所以 2na是以 1 为首项,4 为公比的等比数列,所以 ,故选 B.练习 4. 已知数列 则 7a ( )A. 12 B. 4 C. 1或 1 D. 2【答案】B10【方法总结】:已知数列 要求通项,可以两边取倒数,得到

11、 1na是等差数列,已知 1a可以求出 1a ,再根据等差数列的性质求出数列的通项公式, ,再取倒数可以求出 2n,代入 n=7,求得结果即可.练习 5. 已知数列 na的首项 ,则 20a( )A. 9 B. 10 C. 39 D. 401【答案】C【解析】由 ,可得 ,+1na是以 为公差,以 1为首项的等差数列 , ,故选 C.7.倒序相加求通项例 7. 已知 是 R上的奇函数,则数列 na的通项公式为( ) A. na B. 2na C. 1na D. 【答案】C11【方法总结】:本题首先考查函数的基本性质,借助函数性质处理数列问题问题,十分巧妙,对数学思维的要求比较高,奇函数的应用与

12、数列第一项联系起来,就知道该怎么对 x 赋值了,继续推导,要求学生理解 f(t)+f(1-t)=2本题有一定的探索性,难度大. 练习 2.已知数列 na满足 13, 10, *Nn,则 2016a( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题意,对 10进行变形,得 则 ,即 4 个一循环,那么 ,故选 A.【方法总结】:本题主要考查数列通项公式的求解,根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.练习 2. 在数列中, ,则 15a( )A. 2 B. 1 C. 2 D. 【答案】A12练习 3. 已知数列 满足 ,则 ( )A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】

13、, , 是周期为 的数列,故选 C. 10.裂项求通项 例 10. 数列 na满足 1,且对任意的 *,mnN都有 ,则 等于( )A. 20167 B. 2078 C. 40328 D. 40217【答案】C【解析】 对任意的 *,mnN都成立, ,即, ,把上面 1n个式子相加可得, ,从而有 , ,故选 C.13【方 法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1) ;(2) ; (3) ;(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.

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