1、1专题 16 数列的通项公式的求解方法一 【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.二 【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质. 练习 1. 已知数列 na满足 1， ，则数列 1na的前 40 项的和为（ ）A. 1920 B. 35462 C. 84 D. 20【答案】D【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法
2、有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一 个等比乘在一起求和的数列。练习 2. 数列 na满足 1，且对于任意的 *nN都有 ，则 等于（ ）2A. 20167 B. 403217 C. 0178 D. 403218【答案】D【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代
3、法求通项使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的练习 3. 已知数列 na满足 1， 23a，若 ，则数列na的通项 n（ ）A. 12 B. 1 C. 13n D. 12n【答案】B【解析】 , , ,则 ,数列 1na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，利用叠加法， 3，则 12na.选 B. 【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2
4、)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用 处理.练习 1. 数列 的一个通项公式可能是（ ）A. 12n B. 12n C. 12n D. 12n【答案】D练习 2.数列 0.3，0.33，0.333，0.333 3，的通项公式是 an( )A. (10n1) B. C. (10n1) D. (10n1).【答案】B【解析】1 0.9，1 0.99，故原数列的通项公式为 an .选 B.练习 3两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
5、曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图 中实心点的个数 5，9，14，20，为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第 2017 项为 2017a，则 20175（ ）4A. B. C. 10823 D. 20178【答案】C【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想4.项和互化求通项例 4.设 是数列 的前 项和，且 ，则 na=（ ）A. 132nB. 123nC. 123nD. 3【答案
6、】D【解析】由题意可得： ，考查所给选项：，则选项 B 错误；5当 2n时： ，即 ，考查 ACD 选项： ,则选项 AC 错误，本题选择 D 选项.【方法规律总结】：给出 nS 与 a 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用 转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.练习 1. 设数列 na满足 ，通项公式是（ ）A. 12n B. 12n C. 12na D. 12na【答案】C练 习 2. 设数列 na满足 ，通项公式是（ ）A. 12n B. 12n C. 12na D. 12na【答案】C【解析】当 时， 1a
7、，.(1) ， (2),(1)-(2)得： 12na ， 12n， a符合，则通项公式是 12na，选 C. 练习 3. 已知正项数列 n的前 项和为 nS，且 ， 1m，现有如下说法：6 25a；当 n为奇数时， ； 则上述说法正确的个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】D【方法总结】：给出 nS与 a的递推关系求 na，常用思路是：一是利用 转化为 na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S的递推关系，先求出 nS与 之 间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 1,2n两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.5.构造辅助数列求
8、通项（1） 的形式例 5.数列 na满足 则 6a（ ）A. 33 B. 32 C. 31 D. 34【答案】A【解析】数列 na满足 ， 是以 2 为公比的等比数列，首项为 1，得到 63.a故答案为：A。 7练习 1. 已知数列 an满足 a12， an+13 an+2，则 an的通项公式为A. an2 n-1 B. an3 n-1 C. an2 n-1 D. an6 n-4【答案】B【解析】 ，得 1n是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，则 13na，即 na。故选 B。（2） 的形式例 6 设 nS为数列 na的前 项和， ，且 123a.记 nT 为数列 1naS的前 项和，若
9、，则 m的最小值为（ ）A. 13 B. 2 C. 3 D. 1【答案】A8【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和 0 比研究单调性，直接研究表达式的单调性。练习 1. 已知数列 na的前 项和为 =21nS， ，则数列 nb的前 项和为（ ）A. 12n B. C. 2 D. 12n【答案】C练习 2. 已知数列 na满足 ，则 na的通项公式为（ ）A. 23na B. 23n C. D. 【答案】C
10、【解析】由 得 ， ，当 1n时也符合，数列的通项公式为.故选 C. 练习 2. 已知数列 na满足 10， ，则 13a ( )A. 121 B. 136 C. 144 D. 169【答案】C9练习 3. 数列 na中，已知对任意正整数 n，有 ，则（ ）A. 21n B. 413n C. 213n D. 41n【答案】B【解析】 12na（ ）当 1,也适合 12na，故所以 2na是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，所以 ，故选 B.练习 4. 已知数列 则 7a （ ）A. 12 B. 4 C. 1或 1 D. 2【答案】B10【方法总结】：已知数列 要求通项，可以两边取倒数，得到
11、 1na是等差数列，已知 1a可以求出 1a ，再根据等差数列的性质求出数列的通项公式， ，再取倒数可以求出 2n，代入 n=7,求得结果即可.练习 5. 已知数列 na的首项 ，则 20a（ ）A. 9 B. 10 C. 39 D. 401【答案】C【解析】由 ，可得 ，+1na是以 为公差，以 1为首项的等差数列 ， ，故选 C.7.倒序相加求通项例 7. 已知 是 R上的奇函数，则数列 na的通项公式为（ ） A. na B. 2na C. 1na D. 【答案】C11【方法总结】：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，奇函数的应用与
12、数列第一项联系起来，就知道该怎么对 x 赋值了，继续推导，要求学生理解 f（t）+f（1-t）=2本题有一定的探索性，难度大. 练习 2.已知数列 na满足 13， 10， *Nn，则 2016a（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题意，对 10进行变形，得 则 ，即 4 个一循环，那么 ，故选 A.【方法总结】：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.练习 2. 在数列中， ，则 15a（ ）A. 2 B. 1 C. 2 D. 【答案】A12练习 3. 已知数列 满足 ，则 （ ）A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】
13、， ， 是周期为 的数列，故选 C. 10.裂项求通项 例 10. 数列 na满足 1，且对任意的 *,mnN都有 ，则 等于（ ）A. 20167 B. 2078 C. 40328 D. 40217【答案】C【解析】 对任意的 *,mnN都成立， ，即， ，把上面 1n个式子相加可得， ，从而有 ， ，故选 C.13【方 法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
