1、1专题 17 数列求和的方法规律一 【学习目标】1熟练掌握等差、等比数列前 n 项和公式2熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等二 【知识要点】求数列前 n 项和的基本方法(1)公式法数列 an为等差或等比数列时直接运用其前 n 项和公式求和若 an为等差数列，则 Sn _（ a1 an） n2若 an为等比数列，其公比为 q，则当 q1 时， Sn_( an为常数列)；当 q1 时， Sn_(2)裂项相消求和法数列 an满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和(3)倒序相加法如果一个数列 an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和
2、相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项的和即可用倒序相加法，如等差数列前 n 项的和公式就是用此法推导的(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那 么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(6)并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称为并项求和形如 an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求解例如， Sn100 299 298 297 22 21 2(1
3、0099)(9897)(21)5 050.三 【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是2根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列S n的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练. 练习 3. 已知函数 ，则 的值为 _【答案】2.裂项求和例 2. 数列 na的前 项和为 nS，若 ，则 5S等于（ ）16 56 130【答案】【解析】 选练习 1.数列 的前 项的和为（ ）11 1 【答案】【解析】 3故数列 的前 10 项的和为 选 练习 6.数列 na满足
4、 1，且对于任意的 *nN都有 ，则 等于（ ）20167 432 078 4321【答案】D练习 7.设数列 na满足 ，且 ，若 x表示不超过 x的最大整数，则( )【答案】【解析】构造 ，则 ，由题意可得 ，故数列 nb是 为首项 为公差的等差数列，故 ，故以上 个式子相加可得 ，4解得 ， ， ， 20178则 故答案为： 练习 8. 已知幂函数 afx的图象过点 4,2，令 （ *nN） ，记数列 na的前 n项和为 nS，则 2018（ ）2018 019 019【答案】故选： .练习 9. 已知数列 na的首项为 9，且 ，若 ，则数列 nb的前n项和 S_【答案】 2190n5
5、练习 10.设数列 na的前 项为 nS，点 ,n， *N均在函数 32yx的图象上.（1）求数列 n的通项公式。（2）设 ， nT为数列 nb的前 项和.【答案】 （1） （2） n3T61【解析】 （1）点 ,nS在函数 的图象上， 1aS当（2） 361n63.错位相减求和例 3.已知数列 na的首项 123， ， 1,23n（1）证明：数列 n是等比数列；（2）数列 na的前 项和 nS【答案】 （1）证明见解析；（2） 2n.（2）由（1）知 ，即 12na，na设 n， 则 ， 由 得 ，又 123 数列 na的前 项和 7练习 1.已知数列 na， nb， S为数列 na的前 项
6、和， 214ab， ，（ *N） （1）求数列 n的通项公式；（2）证明 b为等差数列；（3）若数列 nc的通项公式为 ，令 nT为 c的前 项的和，求 2nT.【答案】 （1） 2na（2）见解析（3）（2） 214ab， ， ，综上， n是公差为 1，首项为 1 的等差数列， .（3）令 ，得8练习 2.已知数列 na是首项为正数的等差数列，数列 1na的前 项和为 21n.（1）求数列 n的通项公式；（2）设 ，求数列 nb的前 项和 nT.【答案】 （1） 2n；（2） .（2）由（1）知 所以所以两式相减，得所以练习 3. 已知等差数列 na中， ，数列 nb中， .（1）分别求数列
7、 ,b的通项公式；（2）定义 ， x是 的整数部分， x是 的小数部分，且 01x.记数列 nc满足，求数列 nc的前 项和.9【答案】(1) 21,na 1nb;(2) .【解析】试题分析：（1）因为 na为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量 1,ad的方程组，求出其值即得通项公式，而 nb满足递推关系 ，它可以变形为 也就是 1nb是等比数列，从而求得 n的通项. （2）根据题设给出的定义得到 ，所以 12nc，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前 n项和. 5.分奇偶数讨论求和例 5.已知函数 ，且 ，则 ( )20178 2017 【答案】【解析】当 为奇数时，
8、 为偶数，则 ，所以，当 为偶数时， 为奇数，则，所以 . 练习 5. 已知数列 na满足： 10， *nN.（1）求 n；（2）若 ，记 .求 2nS.【答案】 （1） 21na（2） nS 21【解析】试题分析：（1）由递推关系可知 na是公差为 1的等差数列，从而求得通项公式；（2）10，相邻 项相消即可得到 2nS.（2）由（1）知，. 6.利用数列周期性求和例 1.数列 na的通项 ， 其前 n项和为 nS，则 40为0 5 20 5【答案】C7.含有绝对值的数列求和例 1.已知数列 na中， ，且满足（1）求 的通项公式11（2）设 ，求 nS.【答案】(1) sinAC最大为 34. (2) 【解析】 （1） ， 数列 na是等差数列 由 知 2d （2）由（1）可得数 列 na的前 项和为 。当 5n时， 0n29n。当 5时， 0na5n2T。 综上 。
