1、102 集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语（四种命题、充要条件 ）【考点讲解】1、具本目标：1.命题及四种命题间的关系：理解命题的概念；了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题.会分析四种命题的相互关系.2.充分条件与必要条件：理解必要条件、充分条件与充要条件.二、知识概述：1命题：用语言、符号或式子表达，可以判定真假的陈述句.基本结构：条件+结论；形式：若 p 则 q.2系列概念：真命题、假命题；互逆命题：原命题“若 p，则 q”与逆命题“若 q，则 p”；互否命题：原命题“若 p，则 q”与否命题“若 ，则 ”；互为逆否命题：原命题若 p，则 q 与逆否命题“若 ，则 ”
2、.3四种命题形式及相互关系：4四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.5证明命题方法：反证法：三步骤：否定结论推出矛盾肯定命题. 举反例判定假命题.6. 充分条件、必要条件和充要条件（1）充分条件：若 qp，则 p 是 q 充分条件.（2）必要条件：若 ，则 p 是 q 必要条件原命题若 p 则 q逆命题若 q 则 p否命题若非 p 则非 q逆否命题若非 q 则非 p互逆互逆互否互否互为逆否互为逆否2（3）充要条件：若 qp，且 p，则 p 是 q 充要条件，即： qpp 的 q 充分不必要条件： ，且 q pp
3、 的 q 必要不充分条件： q q，且 p qp 的 q 既不充分又不必要条件： p q 且 q p注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.7.判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若 p，则 q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时， p 是 q 的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时， p 是 q 的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时， p 是 q 的充要条件；原命题与逆命题都为假时， p 是 q 的既不充分也不必要条件(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题 p， q 相应的集合： p： A x|p(x)成立， q： B x|q(x)成立，那么：
4、若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 A 是 B 的真子集时，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 BA，则 p 是 q 的必要条件；若 B 真子集 A 时，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 AB 且 BA，即 A B 时，则 p 是 q 的充要条件(3)等价转化法：p 是 q 的什么条件等价于非 q 是非 p 的什么条件【真题分析】1.（15 山东理）若“ 4,0x， mxtan”是真命题，则实数 m的最小值为_【解析】本题考查的是命题的定义与正切函数的综合应用，其中要求考生对全称命题，正切函数的性质运用，不等式恒成立问题的解决特点要熟练掌握，若“ 0,tan4xx ”是真命题，则
5、m大于或等于函数 tanyx在 0,4的最大值，因为函数 tany在 ,上为增函数，所以，函数 tanyx在0,4上的最大值为 1，所以， 1m ，也就是实数 m 的最小值为 1.【答案】1【变式】下列命题是真命题的为（ ）3A若 1xy,则 B若 21x,则 C若 xy,则 y D若 xy,则 2【答案】A2 （15 山东文）设 Rm，命题“若 0，则方程 02mx有实根”的逆否命题是（ ）A若方程 2x有实根，则 m B若方程 2x有实根，则 0mC若方程 没有实根，则 D若方程 没有实根，则【解析】本题考点是四种命题的形式，要求掌握四种命题的表达方式及与原命题的关系，正确理解“否定”的内
6、容.一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换.【答案】D3.（2018 天津卷 4）设 xR，则“ 1|2x”是“ 31x”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】本题考查的是由两个不等式的解集之间的关系来判断两个命题之间的关系，这就要求会解两个不等式求出来两个不等式的解集.然后利用集合间的关系来判断两个命题之间的关系.由 1|2x可以得到， 12x，即 01x.由 3可得， 1x.很显然前者成立后者一定成成立，前者是后者的充分条件，后者成立未必有前者成立，所以前者是后者的充分不必要条件.从集合的角度来判断这两个命题
7、的关系就是前者是后者的真子集，那么就是充分不必要条件. 【答案】A【变式】 【2018 浙江卷 6】已知平面 ，直线 m， n 满足 m ， n ，则“ m n”是“ m ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4【答案】A4.【2016 高考天津文数】设 0x， Ry，则“ yx”是“ |yx”的（ ）A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】本题考查的是命题间的充要关系，根据本题的特点，可以用验证法用特列例子来否定命题的不成立性，同时也要用普遍性证明命题的正确性，比如 12,|,即“ yx”是“ |yx”未必
8、成立，所以充分性不成立；而 |xyxy，必要性成立.【答案】C【变式】函数 ()f在 0处导数存在，若 0f； 0:qx是 ()f的极值点，则（ ）A p是 q的充分必要条件 B. p是 的充分条件，但不是 q的必要条件C. 是 的必要条件，但不是 q的充分条件 D. 既不是 的充分条件，也不是 的必要条件【答案】C5.(2018 北京卷 6)设 ba,均为单位向量，则“ 3ab”是“ a b”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】本题考查的是向量垂直的判定，这里要根据向量的数量积运算及充分条件与必要条件的对应来判断.将原等式两边
9、平方进行向量的运算并整理可以得到两向量的数量积为零，从而判断两向量垂直.由 3ab可得 223aba，整理得 229696AAababa，也就是120A，即为 ，所以 ,均为单位向量，且 3是 的充要条件.5【答案】C.【变式】 【2015 高考四川，文 4】设 a， b 为正实数，则“ a b1”是“ log2a log2b0”的( )A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时注意涉及的
10、相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质单调性和函数值的符号，因此可以结合对数函数的图象进行判断，从而得出结论. a b1 时，有 log2a log2b0 成立，反之当 log2a log2b0 成立时， a b1也正确.选 A【答案】A6 （16 北京理） a， b是向量，则“ ba”是“ ba”的（ ）A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】D【变式】 （2015 高考浙江，文 3）设 a， b是实数，则“ 0ab”是“ 0a”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】本题考查充分条件、必
11、要条件、不等式的性质，验证方法可用特殊值法：当 2,1ab时，0ab，但 ，故是不充分条件；当 2,1ab时， 0a，但 0，故是不必要条件.所以“ ”是“ 0ab”的即不充分也不必要条件.故选 D. 【答案】D7 （15 浙江理）设 A， B是有限集，定义 BAcardcardBA, ，其中 Acard表示有限集 中的元素个数命题：对任意有限集 ， ， “ ”是“ 0,”的充分必要条件；命题：对任意有限集 A， B， C， CBdAd,6A命题和命题都成立 B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立 D命题不成立，命题成立【答案】A.8.已知命题 p：方程 210xm有两个不等的负根，命题
12、q： 24()10xmx无实根， P且q为真命题，求实数 的取值范围.【分析】本题考查的是一元二次方程与命题的真假相结合的问题，因此在命题的要求下，利用二次方程根的情况来求待定参数时一定要准确应用所学知识解决问题.【解析】由已知可知，240:mp，解得 2，22:16163qm，解得 13m .P且 为真， ,pq同时为真，则 ， 23， 实数 的取值范围是 23. 【模拟考场】1.已知 aR，则“ 1”是“ a ”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件7【解析】由题意可知识 1a时 一定成立，反之则不一定,比如 2a时 1 .但 a不成立.【答案
13、】A2.“ 1x”是“ 02x”的（ ）A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A3设 Ra，则“ 1”是“ 12a”的（ ）A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】 21,11aaa或 ，所以“ 1a”是“ 2”的充分非必要条件，选 A.【答案】A4.已知 ， b， c， d为实数，且 c d.则“ b”是“ c b d”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【解析】显然，充分性不成立.又，若 a c b d和 c 都成立，则同向不等式相加
14、得 a b即由“ a c b d”“ ”【答案】B5.设 A， B是两个集合，则“ AB”是“ B”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】由题意得， AB，反之， ABA，故为充要条件，选 C.【答案】C.6.在 BC中,角 . . 所对应的变分别为 a.b.c,则 b“”是 sin“”的( )8A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件【答案】A7.设 p： x3， q：-1 x3，则 p 是 q 成立的（ ）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】
15、p： x3， q：-1 x3 p，但 q， p是 成立的必要不充分条件，故选 C.【答案】C8. 设 Nn，一元二次方程 042n有整数根的充要条件是 n 【解析】因为一元二次方程 x有整数根，所以有 0416， 4n，故满足条件的 4,321，方程有整数根时， 3或 . 【答案】 或9.已知集合 2|310,|()1)0.PxQxa（1）若 a，求 ；（2）若 x是 的充分条件，求实数 a 的取值范围.910.已知命题 p：方程 022ax在-1，1上有解；命题 q：只有一个实数 x满足不等式022ax，若命题“ p或 q”是假命题，求 a的取值范围.【解析】由题意 .若 p正确， 0)1(22 axx的解为 或 2 若方程在-1，1上有解， 只需满足-1 即 ),1,(a 若 q正确，即只有一个实数 x满足 022ax，则有 ,0即 或 2 若 p或 是假命题，则 p和 q都是命题， 有 201a且 所以 a 的取值范围是（1，0） （0，1）
