1、106 函数 函数的基本性质 -函数的单调性（与最值 ）【考点讲解】1、具本目标：1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会用基本函数的图象分析函数的性质.3.理解函数的最大值、最小值及其几何意义4.命题是以函数的单调性为主，其中基本知识和基本技能是高考的热点.2. 本节在高考中的分值为 5分左右，属于中档题型.二、知识概述：1增函数与减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，(1)如果对于定义域 I内某个区间 D上的_任意两个_自变量的值 x1， x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是_减函数_.2单调性与单调区间如果函数 y f(x)在区间 D上是增函数或减函数，
2、那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)_单调性_，区间 D叫做 y f(x)的_单调区间_.3函数的最大值与最小值一般地，设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：(1)对于任意的 x I，都有_ f(x) M_；存在 x0 I，使得_ f(x0) M_，那么，我们称 M是函数y f(x)的最大值(2)对于 任意的 x I，都有_ f(x) M_；存在 x0 I，使得_ f(x0) M_，那么我们称 M是函数y f(x)的最小值4函数单调性的常用结论区间 D上单调递增 区间 D上单调递减定义法 x1f(x2)2图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的导数法 导数大
3、于零 导数小于零运算法 递增递增递增 递减递减递减复合法 内外层单调性相同 内外层单调性相反5对勾函数的单调性对勾函数 y x (a0)的递增区间为(， 和 ，)；递减区间为 ，0)和(0， ，ax a a a a且对勾函数为奇函数【真题分析】1.【2017全国卷】函数 f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是( )A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)【答案】D【变式】 【2014 天津理 4】函数 的单调递增区间是（ ）.A.()0,+ B.(),0- C.()2,+ D.(),2-【解析】本题考点是对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性.切记同增异减的规则.由题意可知
4、24x-，解得 x.由复合函数的单调性知 ()fx的单调递增区间为(),-.【答案】D 2. 【2018全国卷】若 在 ,a是减函数，则 a的最大值是（ ）A4B2C34D 3【答案】A【变式】 【2015 四川理 9】如果函数 在区间 1,2上单调递减，那么 mn的最大值为（ ）A. 16 B. 18 C. 25 D. 812【解析】 当 2时，抛物线的对称轴为 nxm；当 m时， 8n，即 12.因为 ，所以 18mn.由 2且 12，得 3,6n；当 时，抛物线开口向下，根据题意可得， 812m， 即 218n.因为 ，所以 1n.由 且 ，得 9m，故应舍去.要使得 mn取得最大值，应
5、有 . 法二：本题还可从二次函数的角度考查，由 整理得 对任意1,2t成立.因为 0a，函数 的对称轴 ，故函数在区间41,2上单调递增.所以当12t时， y有最小值3142a，由0，得23a.故 的取值范围为,3.【模拟考场】1 【2016北京卷】下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( )A y B ycos x C yln( x1) D y2 x11 x【答案】D2.【2014 北京理 2】下列函数中，在区间 0,上为增函数的是（ ）.A. 1yx B. 21yx C. xy D. 【解析】A 选项，函数 在 , 上为增函数，符合要求；B选项，函数 2yx在 0 上为减函数，不符合题
6、意； C选项，函数 在 , 上为减函数，不符合题意；D选项，函数 在 1, 上为减函数，不符合题意；【答案】A3.【2014 陕西理 7】下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是（ ）.A. 12 fxB. 3fx C. D. 3xf 【解析】A 选项:由 ， ，得到，所以 A错.B选项 ， ，得到 ，所5以 B错.C选项，函数 是定义在 R上的减函数，所以 C错误.D选项， ， ，得到 ，又函数3xf是定义在 R上的增函数，所以 D正确.【答案】D4.f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足 f(xy) f(x) f(y)， f(3)1，则不等式 f(x) f(x8)2 的解集为_【答案】
7、(8,9 5 【2018山东日照调研】函数 f(x)Error!的最大值为_.【解析】当 x1 时，函数 f(x) 为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值 f(1)1；当 x0)上的最大值为 M，最小1 x23ex 1ex 1值为 m，则 M m_ _.【答案】48.【20 14 大纲理 22】函数 .（1）讨论 fx的单调性；（2）设 X，求证： .解：（I） fx的定义域为 （i）当 12a时，若 ，则 在 上是增函数；若 则 在 上是减函数；若 则 在 0,上是增函数（ii）当 2a=时, 成立当且仅当 (),xf=在 )1,-+上是增函数（iii）当 时 ，若 ()1,0x-， 则 在是 ,0上是增函数；若 ，7则在 上是减函数；若 ，则 在上是增函数（II）由（I）知，当 2a=时， ()fx在 )1,-+是增函数当 ()0,x+时， ，即又由（I）知，当 3a=时， f在 ),3上是减函数；当 ()0,3x时，即 下面用数学归纳法证明 （i）当 1n=时，由已知 123a=，故结论成立； （ii）假设当 k时结论成立，即 当 1nk=+时，即当 1nk=+时有 ，结论成立根据（i） 、 （ii）知对任何 nN*结论都成立
