1、107 函数 函数的基本性质 -函数的周期性【考点讲解】1、具本目标：了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性二、知识概述：1.函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个_非零常数_ T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_ f(x T) f(x)_，那么函数 f(x)就叫做周期函数， T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的_最小_正周期2.函数周期性的常用结论对 f(x)定义域内任一自变量 x 的值：(1)若 f(x a) f(x)，则 T2 a(a0)；(2)若 f(x a
2、) ，则 T2 a(a0)；1f x(3)若 f(x a) ，则 T2 a(a0)1f x3.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数 f(x)(x D)在定义域内有两条对称轴 x a， x b(a0 在1,3上的解集为( )A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)【解析】 f(x)的图象如图当 x1,0)时，由 xf(x)0 得 x(1,0)； 当 x0,1)时， xf(x)0 无解；当 x1,3时，由 xf(x)0 得 x(1,3) 故 x(1,0)(1,3) 【答案】 C 【变式】 （1） 【2014安徽高考】若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函
3、数，且在0,2上的解析式为3f(x)Error! 则 _.又因为 f(x)是奇函数， 所以有【答案】516【 变式】 （2） 【2017 山东】已知 f(x)是定 义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 3,0 时,()xf,则 f(919)= 【解析】由 f(x+4)=f(x-2)可知, 是周期函数,且 6T,所以(1)6f. 在此范围内， xQ且 D时，设 ，且 ,pq互质，若 lg，则由 lg(0,1)，可设 ，且 ,mn互质.从而10nmqp，则mnqp， 此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lgxQ，于是 lgx不可能与 xD内的部分对应相等，所以只需要考虑
4、 lgx与每个周期内 xD部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除 1,0外，其它交点均为 的部分4且当 1x时， ，所以在 1x附近只有一个交点，因而方程解的个数为 8个故填 【答案】8【模 拟考场】1.（2016 山东理 9）已知函数 ()fx的定义域为 R.当 0x时， ；当 1x时，；当 12时， ，则 (6)f（ ）.A. 2 B. C.0 D.2【解析】由 知，当 1x时， ()fx的周期为 1，所以 (6)1f.又当 1x时， ，所以 .于是 .故选 D.【答案】D2.【2014大纲全国卷】奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数，且 f(1)1，则 f
5、(8) f(9)( )A2 B1 C0 D 15【答案】 D3 【2014安徽高考】设函数 f(x)(xR)满足 f(x) f(x)sin x当 0 x 时， f(x)0，则62f( ) A. B. C0 D12 32 12【解析】 因为 f(x) f(x)sin x，所以 f(x2) f(x)sin x.所以 f(x2) f(x)sin xsin x f(x)所以 f(x)是以 2 为周期的周期函数又 ， ，所以 因为当 0 x 时， f(x)0，所以 ，所以 .故选 A.【答案】 A4.已知 ，方程 0)(xf在0，1内有且只有一个根 21x，则0)(xf在区间 213,内根的个数为（ ）
6、A2011 B1006 C2013 D1007【答案】C5.【2017 湖南统一考试】已知定义域为 R的奇函数 fx满足 ，且当时， ，则 2017f（ ）6A. -2 B. 2log3 C. 3 D. 2log5【解析】因为奇函数 fx满足 ，所以 ，即周期为3，所以 ，故选 D【答案】D6.【2016 高考四川文科】已知函数 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，()4xf，则 = .【解析】因为函数 ()f是定义在 上周期为 2 的奇函数， 所以 ，所以 ，即 (1)0f， ，所以 .【答案】-27.【2014 四川，文 13】设 ()fx是定义在 R 上的周
7、期为 2 的函数，当 1,)x时，则 3()2f .【解析】因为 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的函数，所以有 .【答案】18.【2012浙江高考】设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x0,1时， f(x) x1，则23f_.【答案】 2379.设定义在 R上的函数 fx满足 ，若 12f，则 【解析】 ， ， ， ()fx是一个周期为 4 的周期函数， ， 9f 201()f 6【答案】 10610.已知 ()fx是定义在 R上的偶函数，且 f(x2) ，当 2 x3 时， f(x) x，则1f（ x）5.f_.【解析】 .故函数的周期为 4. . 2.53，由题意，得 . .【答案】2.5
