1、116 导数及其应用 导数的概念及运算【考点讲解】具本目标：1 .导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数 2yx， 1的导数；(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.【考点透析】1.求切线方程或确定切点坐标问题为主； 2.单独考查导数运算的题目少；3.单独考查导数概念的题目极少.【备考重点】(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则；(2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.二、知识概述：1由 可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率
2、是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1）基本初等函数的导数公式2）导数的运算法则（1） f(x)g(x) f( x)g( x)；（和或差的导数是导数的和与差）（2） f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导）原函数 导函数f(x) c(c为常数) f( x)0fsinxcoafxexefxf12（3） (g(x)0) （商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）(4) 复合函数的导数复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为 yx yu ux，即 y对 x的导数等
3、于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积3函数 ()f在 0处的导数几何意义函数 f(x)在点 x0处的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点( x0， f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t的导数)相应地，切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)【温馨提示】1.求函数 f图象上点 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率 k，由导数的几何意义知 0()kx，故当 0()fx存在时，切线方程为 .2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数 ()yf在 0x处的导数表示曲线在点 处切线的斜率，因此，曲线 ()yfx在点 处的切线方程，可
4、按如下方式求得：第一，求出函数 在 0处的导数，即曲线 ()yfx在点 处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程 ；如果曲线()yfx在点 处的切线平行于 y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0.【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率【真题分析】1.【2015 高考天津，文 11】已知函数 ,其中 a为实数, fx为 f的导函3数,若 13f ,则 a的值为 【答案】3【变式】已知函数 ()fx的导函数为 ()fx，且满足 ，则 )(ef（ ）A e B 1 C 1e D 【
5、解析】本题主要考查导数的运算法则，因为 ，所以 ，解得，故选 C【答案】C2.【2018 年全国卷理】曲线 在点 10， 处的切线的斜率为 2，则a_【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：，则 ，所以 3a，故答案为-3.【答案】 3【变式】 【2015 高考新课标 1，文 14】已知函数 的图像在点 1,f的处的切线过点2,7，则 a .【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值. ， ，即切线斜率 31ka，又 (1)2fa，切点为（1， 2a） ，切线过（2,7） ， ，解得 a1.【答案】143
6、【2018 年理数全国卷 II】曲线 在点 0， 处的切线方程为_【答案】 xy2【变式】 【2014 高考广东卷.文 .11】曲线 在点 0,2处的切线方程为_.【解析】本题考点是利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程，提示注意语言的表述，在与过的文字.由题意可知： , 5xye,故所求的切线的斜率为 ,故所求的切线的方程为 ,即 2或 .【答案】 52yx或 .4.【2017 福建 4月质检】已知定义在 R上的函数 fx满足 ，且当 1x时，则曲线 yfx在 0处的切线方程是_【解析】本题考点是考点：1、函数的对称性；2、解析式；3、导数的几何意义.因为 ，所以函数关于点（1,1）对称，
7、 1x时，取点 (,)xy，关于（1,1）对称点是 (2-,)xy代入 1x时， ，可得 ， 可得 ，所以 1xye，令 所以切线方程为 0xy. 【答案】【变式】 （1） 【2016 高考新课标文数】已知 f为偶函数，当 x 时， ，则曲线yfx在 (,2)处的切线方程式_.【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义5当 0x时， ，则 又因为 ()fx为偶函数，所以 ，所以 ，则切线斜率为 (1)2f，所以切线方程为 ，即 2yx【答案】 2yx【变式】 （2） 【2016 高考新课标 3理数】已知 fx为偶函数，当 0x时， ，则曲线 f在点 (1,)处的切线方程是_
8、【答案】 21yx【变式】 （3） 【2015 高考陕西，文 15】函数 xye在其极值点处的切线方程为_. 【解析】本题考点是函数的极 值与导数的几何意义. ，令，此时 1()fe.函数 xye在其极值点处的切线方程为 1ye.【答案】 1ye5.【2015 新课标 2文 16】已知曲线 lnyx在点 1, 处的切线与曲线 相切,则 a= 【解析】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 【答案】C.4.设曲线 axye在点 (01)， 处的切线与直线 垂直，则 a 【解析】由已知可知曲线的切线斜率为 2，又 ， 【答案】25. 曲线 2()fx过点 (1,0)P处的切线方程是_
9、_.【解析】由题意可知， ，设直线与曲线相切于点 0,yx，所求的曲线的切线的斜率为02xk，所以有 ，因为 0,在曲线上，所以有 20x，即有6解这个方程组可得： ，所以有 .所求切线方程为.【答案】6.【2014 广东理 10】曲线 25xey在点 0,3处的切线方程为 .【解析】 ，所求切线的 斜率为 ，故所求切线的方程为 35yx，即 3yx或 .【答案】 5x或 .7. 己知曲线存在两条斜率为 3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数 a的取值范围为 【答案】 7(3,)28. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线
10、型公路，记两条相互垂直的公路为 12l， ，山区边 界曲线为 C，计划修建的公路为l，如图所示， M， N为 C的两个端点，测得点 M到 ， 的距离分别为 5千米和 40千米，点 N到 12l， 的距离分别为 20千米和 2.5千米，以 12l， 所在的直线分别为 x， y轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线C符合函数 2ayxb（其中 a， b为常数）模型.7（1）求 a， b的值；（2）设公路 l与曲线 C相 切于 P点， P的横坐标为 t.请写出公路 l长度的函数解析式 ft，并写出其定义域；当 t为何值时，公路 l的长度最短？求出最短长度.试题解析：（1）由题意知，点 ， 的坐标分
11、别为 5,40， 2,.5将其分别代入 2ayxb，得 ，解得10ab（2）由（1）知， 210（ 50x） ，则点 的坐标为2,t，设在点 处的切线 l交 x， y轴分别于 A， 点， 30yx，则 l的方程为 ，由此得,2t，2,t故 ， 5,0t8设 ，则 令 0gt，解得 12t当 时， 0gt， t是减函数；当 时， ， 是增函数从而，当 102t时，函数 t有极小值，也是最小值，所以 ，此时 答：当 t时，公路 l的长度最短，最短长度为 153千米【答案】 （1） （2） 定义域为 5,20， 千米9.已知函数 （ a为常数）的图象与 y轴交于点 A，曲线 xfy在点 A处的切线斜
12、率为-1.（I）求 a的值及函数 xf的极值；（II）证明：当 x时， e2；（III）证明：对任意给定的正数 c，总存在 0，使得当 ，恒有 xce2.（II）当 0x时， xe2恒成立,等价转换为函数的最值问题.令 ,通过求函数 ()gx的导数求出最值即可得到结论.（III）对任意给定的正数 c，总存在 0x，使得当 ，恒有 xce2.由（II）得到函数的单调性当 1c时,即可找到 0x符合题意.当 1c时.通过等价转化,等价于不等式恒成立问题,再对通过估算得到 0x的值.即可得到结论.解法一:（I）由 ，得 .又 ,得 2a.所以 .令 ()0fx,得 ln2.9当 ln2x时, 单调递
13、减;当 ln2x时, 单调递增.所以当 时, ()fx取得极小值,且极小值为 无极大值.（II）令 ,则 .由（I）得 ,故 ()gx在 R上单调递增,又 (0)1g,因此,当 0x时, ,即 2xe.（III）若 c,则 ec.又由（II）知，当 0x时, .所以当 0时, 2xce.取 0,当0(,)x时，恒有 2x.若 1c,令 kc,要使不等式 2xce成立，只要 2xek成立.而要使 2xek成立， 则只要 2ln()x,只要 成立.令 ,则 .所以当 2x时, 在 (2,)内单调递增.取 ,所以 ()hx在 0内单调递增.又 .易知 .所以 0()hx.即存在 016xc,当 0(
14、,)x时，恒有 2xce.综上，对任意给定的正数 c，总存在 ,当 ,时,恒有 .解法二: （I）同解法一.（II）同解法一.（III）对任意给定的正数 c,取 04,x由（II）知,当 0x时, 2xe,所以当 0x时, ,因此,对任意给定的正数c,总存在 0x,当 0(,)时,恒有 2xce.解法三: （I）同解法一.（II）同解法一.（III）首先证明当 (0,)x时,恒有 31xe.证明如下:令 则 .由（II）知,当 时, 2xe.从而 在 (0,)单调递减,所以 即1031xe.取 03c,当 0x时,有 .因此,对任意给定的正数 c,总存在 0x,当0(,)时,恒有 2e.10.
15、已知函数 的导函数 ()fx为偶函数，且曲线 ()yfx在点(,)f处的切线的斜率为 4c.（）确定 ,ab的值； （）若 3，判断 ()fx的单调性；（）若 ()fx有极值，求 c的取值范围.（）由（） ， ，当 3c时，利用 fx的符号判断 ()fx的单调性；（）要使函数 ()fx有极值，必须 fx有零点，由于 ，所以可以对 c的取值分类讨论，得到时满足条件的 c的取值范围.试题解析：（）对 fx求导得 ，由 fx为偶函数，知 ，即 ，因为 ，所以 ab.又 ，故 1,ab.（）当 3c时， ，那么故 ()fx在 R上为增函数.（）由（）知 ，而 ，当 0x时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当 4c时，对任意 ，此时 fx无极值；当 时，对任意 0,x，此时 无极值；11当 4c时，令 2xet，注意到方程 有两根， 即 0f有两个根 11lnt或 22lxt. 当 12x时， 0fx；又当 时， 0fx从而 fx在 2处取得极小值.综上，若 f有极值，则 c的取值范围为 4,.
