1、第六讲 三角恒等变换与解三角形,总纲目录,(2018江苏,16,14分)已知,为锐角,tan = ,cos(+)=- . (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值.,解析 (1)因为tan = ,tan = , 所以sin = cos . 因为sin2+cos2=1,所以cos2= , 所以cos 2=2cos2-1=- . (2)因为,为锐角,所以+(0,). 又因为cos(+)=- , 所以sin(+)= = , 因此tan(+)=-2.,因为tan = , 所以tan 2= =- . 因此tan(-)=tan2-(+) = =- .,方法归纳 三角恒等变换的“4大策略” (1)
2、常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2+cos2=tan 45等; (2)项的分拆与角的配凑:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=( -)+等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦. 提醒 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用.,1.(2018课标全国,15,5分)已知tan = ,则tan = .,答案,解析 tan = = = , 解得tan = .,2.(2018浙江,18,14分)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的 非负半轴重合,它的终边过点P . (1)求sin(+)的值; (2)若角满足sin(
3、+)= ,求cos 的值.,解析 (1)由角的终边过点P 得sin =- , 所以sin(+)=-sin = . (2)由角的终边过点P 得cos =- , 由sin(+)= 得cos(+)= . 由=(+)-得 cos =cos(+)cos +sin(+)sin , 所以cos =- 或cos = .,考点二 正、余弦定理在解三角形中的应用,1.正弦定理及其变形 在ABC中, = = =2R(R为ABC的外接圆半径).变 形:a=2Rsin A,sin A= ,abc=sin Asin Bsin C等.,2.余弦定理及其变形 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A. 变形:cos A
4、= .,3.三角形面积公式 SABC= absin C= bcsin A= acsin B.,已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos C+bsin C =a. (1)求角B的大小; (2)若BC边上的高等于 a,求cos A的值.,命题角度一:求解三角形中的角,解析 (1)由bcos C+bsin C=a, 得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A. 因为A+B+C=, 所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C), 即sin Bcos C+sin BsinC=sin Bcos C+cos Bsin C, 因为C(0,),所以sin
5、C0, 所以sin B=cos B. 因为B(0,),所以B= . (2)设BC边上的高为AD,则AD= a.,因为B= ,所以BD=AD= a,所以CD= a, 所以AC= = a,AB= a. 由余弦定理得cos A= =- .,方法归纳 利用正、余弦定理求三角形的角,常见形式:(1)已知两边及其夹 角,先由余弦定理求第三边,再由正弦定理求角;(2)已知三边,直接 由余弦定理求角;(3)已知两边及其中一边的对角,先由正弦定理 求另一边的对角,再由三角形内角和求第三角,注意此类问题有一 解、两解或无解的情况.,命题角度二:求解三角形的边与面积如图所示,在ABC中,点D为BC边上一点,且BD=
6、1,E为AC的中 点,AE= ,cos B= ,ADB= . (1)求AD的长; (2)求ADE的面积.,解析 (1)在ABD中,cos B= ,B(0,), sin B= = = , sinBAD=sin(B+ADB)= + = . 由正弦定理知 = , 得AD= = =2.,(2)由(1)知AD=2,依题意得AC=2AE=3,在ACD中,由余弦定理得 AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC, 即9=4+DC2-22DCcos , DC2-2DC-5=0,解得DC=1+ (负值舍去), SACD= ADDCsinADC= 2(1+ ) = , 从而SADE= SACD= .,方法归纳
7、 利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦 定理求边,必须知道两角及其中一边,如该边为其中一角的对边, 要注意解的多样性与合理性.而三角形的面积主要是利用两边与 其夹角的正弦值求解.,(1)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满 足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,且a= ,则b2+c2的取值范围是 ( ) A.(5,6 B.(3,5) C.(3,6 D.5,6 (2)已知点O是ABC的内心,BAC=60,BC=1,则BOC面积的 最大值为 .,命题角度三:求解三角形中的最值与范围问题,答案 (1)A (2),解析 (1)
8、(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C, 由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c, 可化为b2+c2-a2=bc, 由余弦定理可得cos A= = = . A ,A= , 又a= , 由正弦定理可得 = = =2, b2+c2=(2sin B)2+ =3+2sin2B+ sin 2B=4+2sin,. 易知B , 2B- , sin , b2+c2(5,6. (2)O是ABC的内心,BAC=60, BOC=180- =120, 由余弦定理可得BC2=OC2+OB2-2OCOBcos 120,即OC2+OB2=1-OCOB. 又OC2+OB22OCOB(当且仅当OC
9、=OB时,等号成立), OCOB , SBOC= OCOBsin 120 , 则BOC面积的最大值为 .,方法归纳 解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基 本不等式求得最大值或最小值;二是将所求式转化为只含有三角 形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围.,1.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=- . (1)求A; (2)求AC边上的高.,解析 (1)在ABC中,因为cos B=- ,所以sin B= = . 由正弦定理得sin A= = . 由题设知 B,所以0A . 所以A= . (2)在ABC中, 因为sin C=sin
10、(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 所以AC边上的高为asin C=7 = .,2.(2018河南郑州质量预测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且2ccos B=2a+b. (1)求角C; (2)若ABC的面积S= c,求ab的最小值.,解析 (1)解法一:由2ccos B=2a+b及余弦定理,得2c = 2a+b, 得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab, cos C= = =- , 又0C,C= . 解法二: = = , 由已知可得2sin Ccos B=2sin A+sin B, 则有2sin Ccos B=2sin(B+
11、C)+sin B, 2sin Bcos C+sin B=0,B为三角形的内角,sin B0,cos C=- . C为三角形的内角,C= . (2)S= absin C= c,c= ab. 又c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab, =a2+b2+ab3ab,ab12,当且仅当a=b时取等号. 故ab的最小值为12.,考点三 正、余弦定理的实际应用 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角 形中,可用正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上 的三角形,这时需作出这些三角形,先解条件都具备的三
12、角形,然 后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出 方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,如图,小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿 直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,4 5,且BAC=135.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s, 则这辆汽车的速度约为 m/s(精确到0.1).参考数据: 1.414, 2.236.,答案 22.6,解析 因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45, 所以BAD=60,CAD=45.设这辆汽车的速度为v m/s,则BC=1 4v,在RtADB中,AB= = =200.在
13、RtADC中,AC= =100 .在ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+ AB2-2ACABcosBAC,所以(14v)2=(100 )2+2002-2100 200 cos 135,所以v= 22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.,方法归纳 解三角形中的实际问题的四个步骤 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的 有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正 弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正 确答案.,如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的 A处测得DAC=15,沿山坡前进50 m到达B处,又测得DBC= 45,根据以上数据可得cos = .,答案 -1,解析 由DAC=15,DBC=45可得BDA=30,DBA=135, BDC=90-(15+)-30=45-,由三角形内角和定理可得DCB =180-(45-)-45=90+,根据正弦定理可得 = ,即DB= 100sin 15=100sin(45-30)=25 ( -1),又 = , 即 = ,得cos = -1.,
