1、第三讲 导数的简单应用,总纲目录,考点一 导数的几何意义及运算,1.导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率, 曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f (x0),相应的切线方程为y-f(x0)= f (x0)(x-x0).,2.四个易错导数公式 (1)(sin x)=cos x; (2)(cos x)=-sin x; (3)(ax)=axln a(a0且a1); (4)(logax)= (a0且a1).,(1)(2018课标全国,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇 函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的
2、切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x (2)(2018课标全国,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的 斜率为-2,则a= . (3)已知曲线C1:y2=tx(y0,t0)在点M 处的切线与曲线C2:y= ex+1+1也相切,则t的值为 .,答案 (1)D (2)-3 (3)4e2,解析 (1)f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,得a=1,f(x)=x3+ x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y =x.故选D. (2)设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)
3、=(ax+a+1)ex,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处 的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2,解得a=-3. (3)由y= 得y= ,则切线斜率为k= ,所以切线方程为y-2= ,即y= x+1. 设切线与曲线y=ex+1+1的切点为(x0,y0).由y=ex+1+1,得y=ex+1,则由 = ,得切点坐标为 ,故切线方程又可表示为y- -1=,即y= x- ln + +1,所以由题意,得- ln + +1=1,即ln=2,解得t=4e2.,方法归纳 求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求切线方程 求出切线的斜率f (x0),由点斜式写出方程
4、; (2)已知切线的斜率k,求切线方程 设切点为P(x0,y0),通过方程k=f (x0)解得x0,再由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程 设切点为P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f (x0),再由斜率公式求得 切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.,提醒 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的 切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定 在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.,1.(2018河北唐山五校联考)曲线y= 在点(0,-1)处的切线与两坐 标轴围成的封闭图形的面积为 ( ) A. B. C.
5、 D.1,答案 B 因为y= ,所以y|x=0=2,所以曲线在点(0,-1)处的切 线方程为y+1=2x,即y=2x-1,与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1), ,所以与两坐标轴围成的三角形的面积S= |-1| = .故选 B.,2.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标 为 ( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)或(-1,3) D.(1,-3),答案 C f (x)=3x2-1,令f (x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,P(1, 3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上.故选C.,
6、3.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+mx+n相切于点A(1,3),则n=( ) A.-1 B.1 C.3 D.4,答案 C 对y=x3+mx+n求导得y=3x2+m. A(1,3)在直线y=kx+1上,k=2, 由 解得n=3.,考点二 利用导数研究函数的单调性 导数与函数单调性的关系 (1)f (x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-, +)上单调递增,但f (x)0. (2)f (x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间 内恒有f (x)=0时, f(x)为常数函数,不具有单调性.,已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=- 处取得极
7、值. (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.,命题角度一:确定函数的单调性(区间),解析 (1)对f(x)求导得f (x)=3ax2+2x. 因为f(x)在x=- 处取得极值,所以f =0, 即3a +2 = - =0,解得a= . (2)由(1)得g(x)= ex, 故g(x)= ex+ ex = ex= x(x+1)(x+4)ex. 令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4. 当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;,当-40,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上可知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)上为
8、减函数,在(-4,-1)和(0,+)上 为增函数.,方法归纳 求解或讨论函数单调性有关问题的策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情 况下,这类问题可以归结为对一个含有参数的一元二次不等式的 解集的讨论: (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时,依据根的大 小进行分类讨论. (2)在不能通过因式分解求出根的情况时,根据不等式对应方程的 判别式进行分类讨论. 提醒 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不 要忽视了定义域的限制.,命题角度二:利用函数的单调性比较大小,已知函数y=f(x)对于任意的x 满足f (x)cos x+f(x)sin x=1 +ln
9、 x,其中f (x)是函数f(x)的导函数,则下列不等式成立的是 ( ) A. f f C. f f D. f f,答案 B,方法归纳 此类问题,首先利用导数研究函数的单调性,然后将要比较大小的 两个量转化为求变量的两个函数值,直接利用单调性比较即可.对 于复杂的比较大小问题,要先根据比较大小的结构特征,构造恰当 的函数,再利用单调性比较大小. 提醒 本题的易错点有两处:一是构造函数出错,看到“f (x)cos x+f(x)sin x”,因忽视(cos x)=-sin x,就会想到利用导数乘法法则 构造新函数g(x)=f(x)cos x,因此掉进了命题者所设置的陷阱,导致 结果求错;二是特殊角
10、的三角函数值求错,应记清特殊角的三角函 数值,避免此类错误.,命题角度三:根据函数的单调性求参数,(1)若函数f(x)= - x2+x+1在区间 上单调递减,则实数a的 取值范围是 ( ) A. B. C. D. (2)若函数f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1在区间(0,2)上不是单调函数,则 实数k的取值范围是 .,答案 (1)B (2)(-5,-2),解析 (1)f (x)=x2-ax+1,函数f(x)在区间 上单调递减,f (x)0在区间 上恒成立, 即 解得a ,实数a的取值范围为 . (2)因为函数f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1在区间(0,2)上不是单
11、调函数, 等价于f (x)=3x2+2(k-1)x+k+5在区间(0,2)上不会恒大于零或恒小 于零,所以f (0)f (2)0或 即(k+5)322+4(k-1)+k+50或 解得-5k- 或- k-2,即k(-5,-2). 所以实数k的取值范围是(-5,-2).,1.若函数f(x)=- x3+ x2+2ax在 上存在单调递增区间,则实 数a的取值范围是 .,答案,解析 对f(x)求导,得f (x)=-x2+x+2a=- + +2a. 当x 时, f (x)的最大值为f = +2a,令 +2a0,解得a-. 所以实数a的取值范围是 .,2.已知函数f(x)= x2-2aln x+(a-2)x
12、. (1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+)上单调递增?若存 在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.,解析 (1)当a=-1时, f(x)= x2+2ln x-3x, 则f (x)=x+ -3= = . 当02时, f (x)0, f(x)单调递增; 当10时恒成立,a (x2-2x)= (x-1)2- 恒成立. 令(x)= (x-1)2- ,则(x)在(0,+)上的最小值为- ,当a- 时, g(x)0恒成立. 又当a=- ,g(x)= ,当且仅当x=1时,g(x)=0, 故当a 时,g(x)=f(x)-ax在(0,
13、+)上单调递增.,考点三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 导数与函数的极值、最值的关系 (1)若在x0附近左侧f (x)0,右侧f (x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有 最大值和最小值且在极值点或端点处取得.,(2018福建福州模拟)已知函数f(x)=aln x+x2-ax(aR). (1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间; (2)求g(x)=f(x)-2x在区间1,e上的最小值h(a).,命题角度一:求函数的极值或最值,解析 (1)由已知得f(x)的定义域为(0,+), f (
14、x)= +2x-a= . 因为x=3是f(x)的极值点, 所以f (3)= =0,解得a=9, 所以f (x)= = , 所以当03时,f (x)0; 当 x3时,f (x)0. 所以x=3是f(x)的极小值点,所以f(x)的单调递增区间为 ,(3,+),单调递减区间为 . (2)g(x)= -2= . 令g(x)=0,得x1= ,x2=1. 当 1,即a2时,g(x)在1,e上为增函数,h(a)=g(1)=-a-1; 当1 e,即2a2e时,g(x)在 上为减函数,在 上为增 函数,h(a)=g =aln - a2-a; 当 e,即a2e时,g(x)在1,e上为减函数,h(a)=g(e)=(
15、1-e)a+e2- 2e.,综上,h(a)=,命题角度二:与函数极值点个数有关问题(2018广西南宁模拟)已知函数f(x)=ln x-x-1,g(x)=xf(x)+ x2+2x. (1)求f(x)的单调区间; (2)若函数g(x)在区间(m,m+1)(mZ)内存在唯一的极值点,求m的 值.,解析 (1)由已知得x0, f (x)= -1= . 由f (x)0,得01. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+). (2)因为g(x)=xf(x)+ x2+2x=x(ln x-x-1)+ x2+2x=xln x- x2+x, 则g(x)=ln x+1-x+1=ln x-x
16、+2=f(x)+3. 由(1)可知,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减. 又g =-2- +2=- 0, 所以g(x)在(0,1)上有且只有一个零点,记为x1.,又在(0,x1)上g(x)0,g(x)在(x1,1)上单调递增, 所以x1为极小值点,此时m=0. 又g(3)=ln 3-10,g(4)=2ln 2-20,g(x)在(3,x2)上单调递增; 在(x2,4)上g(x)0,g(x)在(x2,4)上单调递减, 所以x2为极大值点,此时m=3. 综上所述,m=0或m=3.,方法归纳 若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f (x)=0的根的大 小或存在情况来求解.
17、 提醒 导数为0的点不一定是极值点.例如函数f(x)=x3,有f (x)= 3x2,则f (0)=0,但x=0不是极值点.,(2018山西太原模拟)已知函数f(x)=ln x+ax2+bx(其中a,b为常数且a 0)在x=1处取得极值. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(0,e上的最大值为1,求a的值.,解析 (1)因为f(x)=ln x+ax2+bx, 所以f(x)的定义域为(0,+), f (x)= +2ax+b, 因为函数f(x)=ln x+ax2+bx在x=1处取得极值, 所以f (1)=1+2a+b=0. 又a=1,所以b=-3,则f (x)= . 令f
18、(x)=0,得x1= ,x2=1. f (x), f(x)随x的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递增区间为 ,(1,+), 单调递减区间为 . (2)由(1)知f (x)= , 令f (x)=0,得x1=1,x2= . 因为f(x)在x=1处取得极值,所以x2= x1=1. 当 0时, f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e上单调递减, 所以f(x)在区间(0,e上的最大值为f(1), 令f(1)=1,解得a=-2.,当a0时,x2= 0, 当 1时, f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,在1,e 上单调递增, 所以最大值在x= 或x=e处取得, 而f =ln +a -(2a+1) =ln - -10, 所以f(e)=ln e+ae2-(2a+1)e=1,解得a= . 当1 e时, f(x)在区间(0,1)上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,所以最大值可能在x=1或x=e处取得, 而f(1)=ln 1+a-(2a+1)0, 所以f(e)=ln e+ae2-(2a+1)e=1, 解得a= ,与1x2= e矛盾; 当x2= e时, f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,e上单调递减,所 以最大值在x=1处取得, 而f(1)=ln 1+a-(2a+1)0,矛盾. 综上所述,a= 或a=-2.,
