1、1第四讲 导数的综合应用1.(2018陕西教学质量检测(一)若函数 f(x)=ax-x2-lnx存在极值,且这些极值的和不小于 4+ln2,则 a的取值范围为( )A.2,+) B.2 ,+)2C.2 ,+) D.4,+)32.(2018河南郑州质量预测)若对于任意的正实数 x,y,都有 ln 成立,则实数 m的取值范围(2x-ye) yx xme为( )A. B.(1e,1 (1e2,1C. D.(1e2,e (0,1e3.(2018湖南湘东五校联考)已知函数 f(x)=3mx- -(3+m)lnx,若对任意的 m(4,5),x 1,x21,3,恒有1x(a-ln3)m-3ln3|f(x1)
2、-f(x2)|成立,则实数 a的取值范围是 . 4.(2018江苏,11,5 分)若函数 f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 . 5.(2018课标全国,21,12 分)已知函数 f(x)= .ax2+x-1ex(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a1 时,f(x)+e0.6.(2018湖北武汉调研)已知函数 f(x)=lnx+ ,aR.ax(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)当 a0时,证明 f(x) .2a-1a27.(2018重庆调研)设函数 f(x)=-x2+ax+l
3、nx(aR).(1)当 a=-1时,求函数 f(x)的单调区间;(2)设函数 f(x)在 上有两个零点,求实数 a的取值范围.13,38.(2018陕西质量检测一)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=x-1.(1)求函数 y=f(x)的图象在 x=1处的切线方程;(2)证明:f(x)g(x);(3)若不等式 f(x)ag(x)对任意的 x(1,+)均成立,求实数 a的取值范围.3答案精解精析1.C f(x)=a-2x- =- ,因为 f(x)存在极值,所以 f(x)=0在(0,+)上有解,即 2x2-ax+1=0在1x 2x2-ax+1x(0,+)上有解,所以 =a 2-80,显然当 =0
4、时,f(x)无极值,不合题意,所以 =a 2-80,即 a2 或2a0,则 f(x1),212 a2f(x2)为 f(x)的极值,所以 f(x1)+f(x2)=(ax1- -lnx1)+(ax2- -lnx2)=a(x1+x2)-( + )-(lnx1+lnx2)= -x21 x22 x21x22a22+ln24+ln2,所以 a2 .综上,a 的取值范围为2 ,+).故选 C.(a24-1) 3 32.D 因为 x0,y0, ln ,所以两边同时乘 ,可得 ln .令 =t(t0),令 f(t)(2x-ye) yx xme ex (2e-yx) yx 1m yx=(2e-t)lnt(t0),
5、则 f(t)=-lnt+(2e-t) =-lnt+ -1.令 g(t)=-lnt+ -1(t0),则 g(t)=- - 0,f(x)在1,3上单调递增,|f(x 1)-f(x2)(3x-1)(mx-1)x2|f(3)-f(1)=6m+ -(3+m)ln3,(a-ln3)m-3ln36m+ -(3+m)ln3,a6+ .y=6+ 在 m(4,5)上单调23 23 23m 23m递减, 6+ ,a .376 23m9215 3764.答案 -3解析 f(x)=2x 3-ax2+1,f(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a).4若 a0,则 x0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数.又
6、f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当 0 时,f(x)0,f(x)为增函数,x0 时,f(x)有极小值,为a3 a3f =- +1.(a3) a327f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,f =0,a=3.(a3)f(x)=2x 3-3x2+1,则 f(x)=6x(x-1).令 f(x)=0,得 x=0或 x=1.x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1f(x) + -f(x) -4 增 1 减 0f(x)在-1,1上的最大值为 1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.5.解析 (1)f(x)= ,f(0)=2.-ax2+(2a-1)x+2ex因此曲线 y=f(x)在
7、点(0,-1)处的切线方程是 2x-y-1=0.(2)证明:当 a1 时,f(x)+e(x 2+x-1+ex+1)e-x.令 g(x)=x2+x-1+ex+1,则 g(x)=2x+1+ex+1.当 x-1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以 g(x)g(-1)=0.因此 f(x)+e0.6.解析 (1)f(x)= - = (x0).1xax2x-ax2当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)在(0,+)上单调递增.当 a0时,若 xa,则 f(x)0,函数 f(x)在(a,+)上单调递增;若 00时,f(x) min=f(a)=lna+1.要证 f(x) ,只需证 lna+1 ,2a-1a
8、2a-1a5即证 lna+ -10.1a令函数 g(a)=lna+ -1,则 g(a)= - = (a0).1a 1a1a2a-1a2当 01时,g(a)0.所以 g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以 g(a)min=g(1)=0.所以 lna+ -10 恒成立,所以 f(x) .1a 2a-1a7.解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+),当 a=-1时,f(x)=-x 2-x+lnx,f(x)=-2x-1+ = .1x -2x2-x+1x令 f(x)=0,得 x= (负值舍去).12当 00;当 x 时,f(x)0.13g(x)的单调递减区间为 ,单调递增区间
9、为(1,3,13,1)g(x) min=g(1)=1.由于函数 f(x)在 上有两个零点,g =3ln3+ ,g(3)=3- ,3ln3+ 3- ,实数 a的取值范围是13,3 (13) 13 ln33 13 ln33.(1,3-ln338.解析 (1)f(x)= ,f(1)=1.1x又 f(1)=0,切线的方程为 y-f(1)=f(1)(x-1),即所求切线的方程为 y=x-1.(2)证明:设 h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1,则 h(x)= -1,令 h(x)=0,得 x=1,1x6当 x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,+)h(x) + 0 -h(x) 单调递增 极大值 单调递减h(x)h(x) max=h(1)=0,即 f(x)g(x).(3)易知对任意的 x(1,+),f(x)0,g(x)0.当 a1 时,f(x)g(x)ag(x);当 a0 时,f(x)0,ag(x)0,不满足不等式 f(x)ag(x);当 0(1)=0,不满足不等式 f(x)ag(x).(1a)综上,a1.
