1、1第九讲 空间几何体的三视图、表面积与体积1.(2018 甘肃第二次诊断检测)如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体 ABCD 的正视图、侧视图、俯视图是(用代表图形)( )A.B.C.D.2.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是( )3.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD平面 CBD,形成的三棱锥 C-ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )A. B.12 22C. D.24 144.(2018 河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图
2、和俯视图,则它的侧视图为( )25.(2018 重庆六校联考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A. B. C.1 D.13 12 326.(2018 安徽合肥质量检测)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.5+18 B.6+18C.8+6 D.10+67.(2018 云南昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A.63 B.72C.79 D.9938.在长方体 ABCD-A1B
3、1C1D1中,AB=AD=2,AA 1=1,则点 B 到平面 D1AC 的距离等于( )A. B.33 63C.1 D. 29.(2018 课标全国,10,5 分)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC 1与平面 BB1C1C 所成的角为 30,则该长方体的体积为( )A.8 B.6 2C.8 D.82 310.(2018 山西太原模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最长的棱的长为( )A.3 B.23 6C. D.221 511.(2018 湖北武汉调研)已知底面半径为 1,高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上,则球3O 的表面积为( )A. B.4
4、32327C. D.1216312.(2018 吉林长春监测)已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为 O,半径为 R 的球面上,AB=6,BC=2 ,且四棱3锥 O-ABCD 的体积为 8 ,则 R 等于( )3A.4 B.2 3C. D.479 1313.(2018 江苏,10,5 分)如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 414.(2018 河北石家庄质量检测)直三棱柱 ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=5,BC=7,AA1=2,则此球的表面积为 . 15.(2018 辽宁沈阳质量监测)已知在正四棱锥 S-ABCD 中,SA=6
5、 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高3为 . 16.(2018 福建福州模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 . 答案精解精析1.B 正视图应为相邻边长为 3 和 4 的长方形,且正视图中从右上到左下的对角线应为实线,故正视图为;侧视图应为相邻边长为 4 和 5 的长方形,且侧视图中从左上到右下的对角线应为实线,故侧视图为;俯视图应为相邻边长为 3 和 5 的长方形,且俯视图中从左上到右下的对角线应为实线,故俯视图为,故选B.2.C 由题意知,四棱锥的直观图以及三视图的可能情况为下列四种之一.显然只有选项 C 的图形与图(4)一致.3.D
6、 由三棱锥 C-ABD 的正视图、俯视图得三棱锥 C-ABD 的侧视图为直角边长是 的等腰直角三角形,22如图所示,所以三棱锥 C-ABD 的侧视图的面积为 ,故选 D.1454.A 由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个等底等高的圆锥构成的,结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 A,故选 A.5.A 将题中三视图还原成直观图,为如图所示的三棱锥 A-BCD,且 CD=1,BC=2,CDBC,三棱锥的高 h=1,则 SBCD = 12=1,VA-BCD= SBCD h= 11= .故选 A.12 13 13 136.C 由三视图可知,该几何体由一个半圆柱与两个半球构成,故其表
7、面积为41 2+ 213+2 1 2+32=8+6.故选 C.12 127.A 由三视图得,凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体,其中半球半径为 3,体积为 3 3=18,圆12 43柱的底面半径为 3,高为 5,体积为 3 25=45.所以凿去部分的体积为 18+45=63.故选 A.8.B 如图,连接 BD1,易知 D1D 就是三棱锥 D1-ABC 的高,AD 1=CD1= ,取 AC 的中点 O,连接 D1O,则 D1OAC,所5以 D1O= = .AD21-AO2 3设点 B 到平面 D1AC 的距离为 h,因为 = ,即 h= SABC D1D,又VB-D1ACVD1-ABC13S
8、D1AC 13= 2 = ,SABC = ABBC= 22=2,所以 h= .故选 B.S D1AC12 3 2 6 12 12 639.C 如图,连接 BC1,由长方体的性质可得 AB平面 BCC1B1,BC1为直线 AC1在平面 BCC1B1内的射影,AC 1B 为直线 AC1与平面 BCC1B1所成的角,即AC 1B=30.在 RtABC 1中,AB=2,AC 1B=30,BC 1=2 ,3在 RtBCC 1中,CC 1= = =2 ,BC21-BC2 (2 3)2-22 2该长方体的体积 V=222 =8 ,故选 C.2 2610.B 由三视图得,该几何体是四棱锥 P-ABCD,如图所
9、示,ABCD 为矩形,AB=2,BC=3,平面 PAD平面 ABCD,过点 P 作 PEAD 交 AD 于 E,则 PE=4,DE=2,所以 CE=2 ,所以最长的棱 PC= =2 ,故选 B.2 PE2+CE2 611.C 如图,ABC 为圆锥的轴截面,O 为其外接球的球心,设外接球的半径为 R,连接 OB,OA,并延长 AO交 BC 于点 D,则 ADBC,由题意知,AO=BO=R,BD=1,AD= ,则在 RtBOD 中,有 R2=( -R)2+12,解得 R=3 3,所以球 O 的表面积 S=4R 2= ,故选 C.233 16312.A 设球心 O 到平面 ABCD 的距离为 h,由
10、题意可知 VO-ABCD= S 矩形 ABCDh= 62 h=8 ,解得13 13 3 3h=2,又矩形 ABCD 所在的截面圆的半径为 = =2 ,从而球的半径 R=12 AB2+BC212 62+(2 3)2 3=4.故选 A.22+(2 3)213.答案 43解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为 ,高为 1,其体积为2( )21= ,多面体的体积为 .13 2 23 4314.答案 2083解析 在ABC 中,由余弦定理,知 cosCAB= =- ,所以 sinCAB= .设ABC 外接圆的半径为52+32-72253 12 32r,则由正弦定理知,2r
11、= = ,所以 r= ,设球的半径为 R,则 R= = ,所以此球的表面BCsinCAB732 733 r2+(AA12)2 523积 S=4R 2= .208315.答案 67解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为 a,高为 h,因为在正四棱锥 S-ABCD 中,SA=6 ,所以 +h2=108,3a22即 a2=216-2h2,所以正四棱锥的体积 VS-ABCD= a2h=72h- h3,令 y=72h- h3,则 y=72-2h2,令 y0,得 06,所以当该棱锥的体积最大时,它的高为 6.16.答案 2+4 +22 3解析 由三视图知该几何体为三棱锥,记为三棱锥 P-ABC,将其放在棱长为 2 的正方体中,如图所示,其中ACBC,PAAC,PBBC,PAB 是边长为 2 的等边三角形,故所求表面积为 SABC +SPAC +SPBC +S2PAB= 22+ 222 + (2 )2=2+4 +2 .12 12 2 34 2 2 3
