1、第九讲 空间几何体的三视图、表面积与体积,总纲目录,1.(2018课标全国,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起 来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的 小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬 合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( ),答案 A 两木构件咬合成长方体时,榫头完全进入卯眼,易知咬 合时带卯眼的木构件的俯视图为A.故选A.,2.图是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体 的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图 所示,则可以作为其正视图的是 ( ),答案 C 由题意及该几何体的直观
2、图和俯视图可知,其正视图 的长应为底面正方形的对角线长,宽应为正方体的棱长,故排除B, D;在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除A,选C.,3.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧 面中,直角三角形的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 由三视图得几何体的直观图如图.其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1,故 SDC,SDA为直角三角形.ABAD,ABSD,ADSD=D, AB平面SDA,ABSA,故SAB是直角三角形,从而SB= =3,易知BC= = ,SC= =2 , 则SB2BC2+SC2,故SBC不是直
3、角三角形,故选C.,方法归纳 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图. 注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实 线表示,看不到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的视图. 先根据已知的一部分视图还原、推测直观图的可能形式,然后找 其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可看看选项给出 的部分三视图是否符合.,(3)由几何体的三视图还原几何体的形状解决此类问题的三个步 骤:,考点二 空间几何体的表面积与体积,1.柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高); (2)S锥侧= ch(c为底面周长,h为斜高);
4、 (3)S台侧= (c+c)h(c,c分别为上、下底面的周长,h为斜高).,2.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高); (2)V锥体= Sh(S为底面面积,h为高); (3)V台= (S+ +S)h(不要求记忆).,答案,解析 本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积. 四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1 = , 又点A1到底面BB1D1D的距离,即四棱锥A1-BB1D1D的高为 A1C1=,所以四棱锥A1-BB1D1D的体积为 = .,2.(2018河北石家庄模拟)如图所示,网格上小正方形的边长为1,粗 线画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为
5、.,答案,解析 由三视图还原该几何体如图所示,即长方体ABCD-EFGH 截去三棱锥F-EGI剩余的几何体,其中I为BF的中点,AB=2,BC=1, AE=2,所以该几何体的体积为212- 121= .,方法归纳 求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据常见柱体、锥体、台体等规则几何体的体积 公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高, 使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或 补形,转化为可直接计算体积的几何体.,答案 B 如图所示,三视图所对应的几何体是长,宽,高分别为2, 2,3的长方
6、体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE-DCMH,其中AE=DH =2,BI=MC=3,BC=AD=AB=CD=2,则该几何体的表面积S=(22)5 + 2+21+2 =24+2 .故选B.,方法归纳 求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题, 即空间图形平面化,这是解决立体几何问题的主要出发点. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、 锥、台体,先求出这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差 求得所给几何体的表面积.,1.(2018安徽合肥模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为 ( )A.1 B. C. D.,答案 C
7、通解:该几何体的直观图为四棱锥S-ABCD,如图,SD 平面ABCD,且SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连 接BD,由题意知BDDC,BDAB,且BD=1,所以S四边形ABCD=1,所以VS -ABCD= S四边形ABCDSD= ,故选C.优解:由三视图易知该几何体为锥体,所以V= Sh,其中S指的是锥,体的底面积,即俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的 高,从正视图和侧视图易知h=1,所以V= Sh= ,故选C.,2.(2018湖北黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示,它的侧 视图与正视图相同,则该几何体的表面积为 ( )A.16+12 B.32+12
8、C.24+12 D.32+20,答案 A 由三视图知,该几何体是一个正四棱柱与半球的组合 体,且正四棱柱的高为 ,底面正方形的对角线长为4,球的半径为 2,所以正四棱柱的底面正方形的边长为2 ,该几何体的表面积 S= 422+22+2 4=12+16,故选A.,考点三 与球有关的切、接问题 两类几何体与球 (1)正四面体与球:设正四面体S-ABC的棱长为a,其内切球的半径 为r,外接球的半径为R,如图,取AB的中点D,连接SD,CD,SE为正四 面体的高,在截面三角形SDC内作一个与SD和DC相切,且圆心在 高SE上的圆.由正四面体的对称性可知其内切球和外接球的球心 同为O.,此时,OC=OS
9、=R,OE=r,SE= a,CE= a, 则有R+r=SE= a,R2-r2=CE2= ,解得R= a,r= a. (2)正方体与球:如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,其中心 为O,且正方形EFHG所在平面经过点O.由正方体的对称性可知 正方体的内切球、与各棱相切的球及外接球的球心同为O.,命题角度一:几何体的外接球,(2018重庆调研)已知三棱锥A-BCD中,平面ABC平面BCD,BC CD,ABAC,CD=2,BC=2 ,则该三棱锥外接球的表面积为 ( ) A.4 B.4 C.12 D.9 ,答案 C,解析 如图,取BC的中点E,BD的中点O,连接OA,OE,OC,AE,
10、则OE CD.由平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,CD平 面BCD,CDBC,得CD平面ABC,则OE平面ABC,所以OE BC,OEAE.在RtABC中,AE= BC=BE=CE,则RtOCERt OAERtOBE,所以OC=OA=OB,又OB=OD,所以O为三棱锥A- BCD的外接球的球心,外接球的半径R= BD= = , 则三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4R2=12,故选C.,方法归纳 解决多面体的外接球问题,关键是确定球心位置,方法是先选择多 面体中的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂 线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位 置
11、.对于特殊的多面体,还可采用补成正方体或长方体的方法找到 球心位置.,命题角度二:几何体的内切球四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB= PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱 锥的高是 ( ) A.6 B.5 C. D.,答案 D,解析 过点P作PH平面ABCD于点H.由题意知,四棱锥P-ABCD 是正四棱锥,内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的 高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面的 一个切点.设PH=h,易知RtPMORtPHF,所以 = ,即 =,解得h= (h=0舍去),故选D.,方法归纳 求解多面
12、体的内切球半径问题,一般是将多面体分割成以球心为 顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥 的体积之和求出内切球的半径.,命题角度三:与球有关的最值问题(2018课标全国,12,5分)设A,B,C,D是一个半径为4的球的球面上 四点,ABC为等边三角形且其面积为9 ,则三棱锥D-ABC体积 的最大值为 ( ) A.12 B.18 C.24 D.54,答案 B,解析 设等边ABC的边长为a,则有SABC= aasin 60=9 ,解 得a=6.设ABC外接圆的半径为r,则2r= ,解得r=2 ,则球 心到平面ABC的距离为 =2,所以点D到平面ABC的最 大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为 9 6= 18 ,故选B.,方法归纳 多面体与球有关的最值问题主要有三种:一是多面体确定的情况 下球的最值问题;二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最 值问题;三是多面体与球均确定的情况下,截面的最值问题.,1.(2018福建福州模拟)已知圆柱的高为2,底面半径为 ,若该圆 柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于 ( ) A.4 B. C. D.16,答案 D 如图,由题意知圆柱的中心O为这个球的球心,于是,球 的半径r=OB= = =2.故这个球的表面积S=4r2 =16.故选D.,
