1、1第十五讲 概率1.(2018 课标全国,5,5 分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付,也用非现金支付的概率为 0.15,则不用现金支付的概率为( )A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.72.(2018 陕西质量检测一)从 1,2,3,4 这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 30 的概率为( )A. B. C. D.12 13 14 153.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛中,余下的 2 种颜色的花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.11
2、012 13 564.(2018 湖北武汉调研)标有数字 1,2,3,4,5 的卡片各 1 张,从这 5 张卡片中随机抽取 1 张,不放回地再随机抽取 1 张,则抽取的第 1 张卡片上的数大于第 2 张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.12 15 35 255.(2018 安徽合肥模拟)某单位实行上班刷卡制度,规定每天 8:30 上班,有 15 分钟的有效刷卡时间(即8:158:30),一名职工在 7:50 到 8:30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,则他能有效刷卡上班的概率是( )A. B. C. D.23 58 13 386.(2018 河南洛阳模拟)在区间(0,2)内
3、随机取一个实数 a,则满足 的点(x,y)构成区域的2x-y 0,y 0,x-a 0面积大于 1 的概率是( )A. B. C. D.18 14 12 347.(2018 广东广州调研)如图,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形,直角三角形中较小的锐角 = ,若向该大正方形区域内随机投掷一点,则该点落在中间小正方形区域内 6的概率是 . 28.(2018 福建福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上,则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是 . 9.(2018 重庆第一次调研)已知圆 C:(x-2)2+y2=2,直线
4、 l:y=kx,其中 k 为- , 内的任意一个数,则3 3事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为 . 10.已知定义在区间-3,3上的函数 f(x)=2x+m 满足 f(2)=6,在-3,3上任取一个实数 x,则使得 f(x)的值不小于 4 的概率为 . 11.(2018 安徽合肥模拟)中国诗词大会是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:年龄/岁 7,20)20,40)40,80
5、频数 18 54 36(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取 6 人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数;(2)从(1)中抽出的 6 人中任选 2 人参加一对一的对抗比赛,求这 2 人来自同一年龄组的概率.12.(2018 贵州贵阳模拟)某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度,对 20 名毕业生进行问卷计分调查(满分 100 分),得到如图所示的茎叶图.(1)计算男生打分的平均分,观察茎叶图,评价男、女生打分的分散程度;(2)从打分在 80 分以上的毕业生中随机抽取 3 人,求有 2 女 1 男被抽中的概率.313.(2018 河北石家庄质量检测)某学校
6、为了解高三学生数学学科的复习效果,现从高三学生第一学期期中考试的成绩中随机抽取 50 名学生的数学成绩(单位:分),按90,100),100,110),140,150分成 6 组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求 m 的值及这 50 名学生数学成绩的平均数 ;x(2)该学校为制订下阶段的复习计划,现需从成绩在130,140)内的学生中任选 3 名作为代表进行座谈,若成绩在130,140)内的学生中男、女比例为 21,求至少有 1 名女生参加座谈的概率.414.据某市房地产数据研究院的数据显示,该市 2016 年各月新建住宅销售均价走势如图所示,为抑制房价过快上涨,政府从 8 月份开始采取
7、宏观调控措施,10 月份开始房价得到抑制.(1)房地产数据研究院研究发现,3 月至 7 月的各月新建住宅销售均价 y(单位:万元/米 2)与月份 x 之间具有较强的线性相关关系,试建立 y 关于 x 的回归方程(系数精确到 0.01),若政府不调控,依据相关关系预测该市在 12 月份的新建住宅销售均价;(2)房地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中,随机抽取 2 个月份的数据作为样本进行分析,若关注所抽的 2 个月份所属的季度,求样本中的 2 个月份恰好在不同季度的概率.参考数据:线性回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计的计算公式分别为 = , = -yb a bni=1(
8、xi-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2 ay.bx答案精解精析51.B 设事件 A 为“不用现金支付”,事件 B 为“既用现金支付也用非现金支付”,事件 C 为“只用现金支付”,则 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选 B.2.A 从 1,2,3,4 中任取两个不同的数字构成一个两位数,有 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共 12 种结果,其中大于 30 的两位数有 31,32,34,41,42,43,共 6 个,所以这个两位数大于 30 的概率P= = .故选 A.612123.C 把 4 种颜色的花种在两个花坛
9、中的所有情况为(红,黄),(白,紫);(红,白),(黄,紫);(红,紫),(黄,白);(黄,白),(红,紫);(黄,紫),(红,白);(白,紫),(红,黄),共有 6 种,其中红色和紫色的花种在同一花坛的情况有 2 种,所以红色和紫色的花种在同一花坛的概率 P= = .故选 C.26134.A 5 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5,从这 5 张卡片中随机抽取 2 张,基本事件的总数 n=54=20,抽得的第 1 张卡片上的数大于第 2 张卡片上的数的情况有:第 1 张抽到 2,第 2 张抽到 1;第 1 张抽到 3,第 2 张抽到 1 或 2;第 1 张抽到 4,第 2 张抽到 1 或
10、 2 或 3;第 1 张抽到 5,第 2 张抽到 1 或 2 或3 或 4.共 10 种.故抽取的第 1 张卡片上的数大于第 2 张卡片上的数的概率 P= = ,故选 A.1020125.D 该职工在 7:50 到 8:30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,设其构成的区域为线段 AB,且AB=40,职工的有效刷卡时间是 8:15 到 8:30 之间,设其构成的区域为线段 CB,且 CB=15,如图,所以该职工有效刷卡上班的概率 P= = ,故选 D.1540386.C 作出约束条件 表示的平面区域,如图中阴影部分所示,则阴影部分的面积2x-y 0,y 0,x-a 0S= a2a=a21,
11、1 ,解得 k1 或 k-1,又 k- , ,|2k|k2+1 2 3 3所以- k-1 或 1k ,故事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率3 3P= = =1- .(3-1)+(-1+ 3)23 3- 33 3310.答案 13解析 f(2)=6,2 2+m=6,解得 m=2.f(x)4,2 x+24,x1,而 x-3,3,故根据几何概型的概率计算公式,得 f(x)的值不小于 4 的概率 P= = .261311.解析 (1)因为样本容量与总体容量的比是 = ,6108118所以从年龄在7,20)段中抽取的人数为 18=1,118从年龄在20,40)段中抽取的人数为 54=3,118从
12、年龄在40,80段中抽取的人数为 36=2,118所以从年龄在7,20),20,40),40,80段中抽取的挑战者的人数分别为 1,3,2.(2)设从7,20)中抽取的 1 人为 a,从20,40)中抽取的 3 人分别为 b,c,d,从40,80中抽取的 2 人分别为 e,f.从这 6 人中任取 2 人构成的所有基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共 15 个,每人被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的,记事件 A 为“2 人来自
13、同一年龄组”,包含(b,c),(b,d),(c,d),(e,f),共 4 个基本事件,则 P(A)= ,415故 2 人来自同一年龄组的概率为 .41512.解析 (1)男生打分的平均分为 (55+53+62+65+71+70+73+74+86+81)=69 分.110由茎叶图知,女生打分比较集中,男生打分比较分散.7(2)因为打分在 80 分以上的有 3 女 2 男,记 3 名女生分别为 A1,A2,A3,2 名男生分别为 B1,B2,从中随机抽取 3 人的基本事件为 A1A2A3,A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A1B1B2,A2B1B2,A2A3B1,A2A3B2
14、,A3B1B2,共 10 个,记“有 2 女 1 男被抽中”为事件 A,则 A 包含的基本事件为 A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A2A3B1,A2A3B2,共6 个,故有 2 女 1 男被抽中的概率为 .3513.解析 (1)由题知,(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)10=1,解得 m=0.008.=950.00410+1050.01210+1150.02410+1250.0410+1350.01210+1450.00810x=121.8(分).(2)由频率分布直方图可知,成绩在130,140)内的学生有 0.0121050=6(名),由
15、题可知这 6 名学生中男生有 4 名,女生有 2 名,记男生分别为 A,B,C,D,女生分别为 a,b,则从 6 名学生中选出 3 名的所有可能情况为ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb,ADa,ADb,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,CDa,CDb,Aab,Bab,Cab,Dab,共 20 种.其中不含女生的情况为 ABC,ABD,ACD,BCD,共 4 种.记“至少有 1 名女生参加座谈”为事件 A,则 P(A)=1- = .4204514.解析 (1)由题意,易得 3 月份至 7 月份的各月新建住宅销售均价 y 与月份 x 的数据如下表:月份 x 3 4 5 6
16、 7均价 y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20由表中数据可得 = (3+4+5+6+7)=5, = (0.95+0.98+1.11+1.12+1.20)=1.072, (xi- )(yi- )=(3-x15 y15 5i=1 x y5)(0.95-1.072)+(4-5)(0.98-1.072)+(5-5)(1.11-1.072)+(6-5)(1.12-1.072)+(7-5)(1.20-1.072)=0.64, (xi- )2=(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=10,5i=1 x所以 = 0.06, = - 0.77,b5i=1(xi-x)(yi-y)5
17、i=1(xi-x)2 aybx所以 y 关于 x 的线性回归方程为 =0.06x+0.77,y把 x=12 代入上式得, =1.49,故预测该市 12 月份的新建住宅销售均价为 1.49 万元/米 2.y8(2)设抽取的 2 个月份为(X,Y),则基本事件的情况:(1,2),(1,3),(1,4),(1,12),(2,3),(2,4),(2,5),(2,12),(3,4),(3,5),(3,12),(11,12),共有 1+2+3+11= =66(种).(1+11)112其中 2 个月份恰在同一季度的情况有:(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6),(7,8),(7,9),(8,9),(10,11),(10,12),(11,12),共有 12 种.故所求样本中的 2 个月份恰好在不同季度的概率 P=1- = .1266911
