1、1第十讲 点、线、面的位置关系1.已知 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出四个命题:若 =m,n,nm,则 ;若 m,m,则 ;若 m,n,mn,则 ;若 m,n,mn,则 .其中正确的命题是( )A. B. C. D.2.如图,在三棱锥 P-ABC 中,不能证明 APBC 的条件是( )A.APPB,APPCB.APPB,BCPBC.平面 BPC平面 APC,BCPCD.AP平面 PBC3.(2018 广西南宁模拟)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是棱 B1B,AD 的中点,异面直线 BF与 D1E 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.1
2、47 57 105 2554.在下列四个正方体中,能得出异面直线 ABCD 的是( )5.(2018 广东广州调研)正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,M 为 CC1的中点,N 为线段 DD1上靠近 D1的三等分点,平面 BMN 交 AA1于点 Q,则线段 AQ 的长为( )2A. B. C. D.23 12 16 136.如图,直三棱柱 ABC-ABC中,ABC 是边长为 2 的等边三角形,AA=4,点 E,F,G,H,M 分别是边AA,AB,BB,AB,BC 的中点,动点 P 在四边形 EFGH 内部运动(包括边界),并且始终有 MP平面 ACCA,则动点 P 的轨迹长度为(
3、)A.2 B.2 C.2 D.437.(2018 广西南宁二中、柳州高中联考)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA 1=1,则异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值为 . 8.已知 m,n 是两条不同的直线, 为两个不同的平面,有下列四个命题:若 ,m,n,则 mn;若 m,n,mn,则 ;若 m,n,mn,则 ;若 m,n,则 mn.其中所有正确命题的序号是 . 9.如图,ACB=90,DA平面 ABC,AEDB 交 DB 于 E,AFDC 交 DC 于 F,且 AD=AB=2,则三棱锥 D-AEF 体积的最大值为 . 10.(2018 河南洛阳第一次统考)正方形
4、 ABCD 和等腰直角三角形 DCE 组成如图所示的梯形,M,N 分别是AC,DE 的中点,将DCE 沿 CD 折起(点 E 始终不在平面 ABCD 内),则下列说法一定正确的是 .(写出所有正确说法的序号) MN平面 BCE;3在折起过程中,一定存在某个位置,使 MNAC;MNAE;在折起过程中,一定存在某个位置,使 DEAD.11.(2018 湖北武汉调研)如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 是 CD 的中点,将ADE 沿 AE 折起,得到如图(2)所示的四棱锥 D1-ABCE,其中平面 D1AE平面 ABCE.(1)证明:BE平面 D1AE;(2)设 F 为 CD1
5、的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使得 MF平面 D1AE?若存在,求出 的值;若不存在,AMAB请说明理由.12.(2018 河北唐山五校联考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,ABAD,ABCD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点.(1)求证:平面 EAC平面 PBC;(2)若 PC= ,求三棱锥 C-PAB 的高.2413.(2018 湖南湘东五校联考)如图,在多面体 ABCA1B1C1中,四边形 ABB1A1是正方形,A 1CB 是等边三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B 1C1.(1)求证:AB 1平面 A1C
6、1C;(2)求多面体 ABCA1B1C1的体积.14.(2018 云南昆明调研)如图,在三棱锥 P-ABC 中,ABC=90,平面 PAB平面 ABC,PA=PB,点 D 在 PC 上,且BD平面 PAC.(1)证明:PA平面 PBC;(2)若 ABBC=2 ,求三棱锥 D-PAB 与三棱锥 D-ABC 的体积比.65答案精解精析1.B 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也可能平行,故不正确.2.B
7、 A 中,因为 APPB,APPC,PBPC=P,所以 AP平面 PBC.又 BC平面 PBC,所以 APBC,故 A 正确;C 中,因为平面 BPC平面 APC,平面 BPC平面 APC=PC,BCPC,所以 BC平面 APC.又 AP平面 APC,所以 APBC,故 C 正确;D 中,由 A 知 D 正确;B 中条件不能判断出 APBC,故选 B.3.D 如图,过点 E 作 EMAB,交 AA1于点 M,过 M 点作 MNAD,交 DD1于点 N,取 MN 的中点 G,连接EG,NE,D1G,所以平面 EMN平面 ABCD,易知 EGBF,所以异面直线 BF 与 D1E 所成的角为D 1E
8、G(或其补角),不妨设正方体的棱长为 2,则 GE= ,D1G= ,D1E=3,在D 1EG 中,cosD 1EG= = ,故选 D.5 2D1E2+GE2-D1G22D1EGE 2554.A 对于 A,作出过 AB 的平面 ABE,如图,可得直线 CD 与平面 ABE 垂直,根据线面垂直的性质知,ABCD 成立,故 A 正确;对于 B,作出以 AB 为边的等边三角形 ABE,如图,将 CD 平移至 AE,可得 CD 与 AB所成的角等于 60,故 B 不成立;对于 C、D,将 CD 平移至经过点 B 的侧棱处,可得 AB,CD 所成的角都是锐角,故 C 和 D 均不成立,故选 A.5.D 如
9、图所示,过点 A 作 AEBM 交 DD1于点 E,则 E 是 DD1的中点,过点 N 作 NTAE 交 A1A 于点 T,此时NTBM,所以 B,M,N,T 四点共面,所以点 Q 与点 T 重合,易知 AQ=NE= ,故选 D.1366.D 连接 MF,FH,MH,易证明 MF平面 AACC,FH平面 AACC,又 MF平面 MFH,HF平面MFH,MFHF=F,所以平面 MFH平面 AACC,所以点 P 的运动轨迹是线段 FH,其长度为 4,故选 D.7.答案 210解析 如图,连接 AD1,B1D1,因为 AD1BC 1,所以异面直线 AB1与 BC1所成的角即为B 1AD1(或其补角)
10、,根据勾股定理易知 AD1= ,AB1= ,B1D1= ,所以在B 1AD1中,cosB 1AD1= = .故异面直5 10 135+10-132510210线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 .2108.答案 解析 对于,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直,因此不正确;易知正确;对于,分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行,因此不正确;对于,由 n 得,在平面 内必存在直线 n1平行于直线 n,由 m, 得 m,则 mn 1,又 n1n,因此有 mn,正确.综上所述,所有正确命题的序号是.9.答案 26解析 因为 DA平面 ABC,所以 DABC,又 BCAC,
11、DAAC=A,所以 BC平面 ADC,所以 BCAF.又AFCD,BCCD=C,所以 AF平面 DCB,所以 AFEF,AFDB.又 DBAE,AEAF=A,所以 DB平面 AEF,所以 DE 为三棱锥 D-AEF 的高.因为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高,所以 AE= ,DE= ,设2 2AF=a,FE=b,则AEF 的面积 S= ab = = ,所以三棱锥 D-AEF 的体积 V = (当且仅12 12 a2+b22 12 2212 13 12 2 26当 a=b=1 时等号成立).10.答案 解析 折起后的图形如图所示,取 CD 的中点 O,连接 MO,NO,在ACD 中,
12、M,O 分别是 AC,CD 的中点,ADBC,MOADBC,同理 NOCE,又 BCCE=C,MONO=O,平面 MON平面 BCE,MN平面 BCE,故正确;易知 MOCD,NOCD,又 MONO=O,CD平面 MNO,MNCD,若 MNAC,又 ACCD=C,MN平面 ABCD,MNMO,又 MO= AD= EC=NO,MN 不可能垂直于 MO,故 MNAC 不成立,故错误;取 CE 的中点 Q,连接12 12MQ,则在ACE 中,M,Q 分别是 AC,CE 的中点,MQAE,由图知 MQ 与 MN 不可能始终垂直,故错误;当平面 CDE平面 ABCD 时,平面 CDE平面 ABCD=CD
13、,ADDC,AD平面 ABCD,7AD平面 CDE,ADDE,故正确.综上所述,正确的说法是.11.解析 (1)证明:四边形 ABCD 为矩形且 AD=DE=EC=BC=2,AEB=90,即 BEAE,又平面 D1AE平面 ABCE,平面 D1AE平面 ABCE=AE,BE平面 D1AE.(2)存在, = .理由如下:AMAB14取 D1E 的中点 L,连接 FL,AL,FLCE,又 ECAB,FLAB,且 FL= AB,又 MAB,M,F,L,A 四点共面,14若 MF平面 AD1E,则 MFAL.四边形 AMFL 为平行四边形,AM=LF= AB, = .14 AMAB1412.解析 (1
14、)证明:因为 PC平面 ABCD,AC平面 ABCD,所以 ACPC.因为 AB=2,AD=CD=1,所以 AC=BC=,所以 AC2+BC2=AB2,故 ACBC.又 BCPC=C,所以 AC平面 PBC.因为 AC平面 EAC,所以平面 EAC平2面 PBC.(2)由 PC= ,PCCB,得 SPBC = ( )2=1.由(1)知,AC 为三棱锥 A-PBC 的高.易知 RtPCARt212 2PCBRtACB,则 PA=AB=PB=2,于是 SPAB = 22sin60= .设三棱锥 C-PAB 的高为 h,则 SPAB h= S12 3 13 13PBCAC,即 h= 1 ,解得 h=
15、 ,故三棱锥 C-PAB 的高等于 .13 3 13 2 63 6313.解析 (1)证明:如图,取 BC 的中点 D,连接 AD,B1D,C1D,B 1C1BC,BC=2B 1C1,BDB 1C1,BD=B1C1,CD=B1C1,四边形 BDC1B1,CDB1C1是平行四边形,C 1DB 1B,C1D=B1B,CC1B 1D,又 B1D平面 A1C1C,C1C平面 A1C1C,B 1D平面 A1C1C.在正方形 ABB1A1中,BB 1AA 1,BB1=AA1,C 1DAA 1,C1D=AA1,四边形 ADC1A1为平行四边形,ADA 1C1.又 AD平面 A1C1C,A1C1平面 A1C1
16、C,AD平面A1C1C,B 1DAD=D,平面 ADB1平面 A1C1C,AB 1平面 A1C1C.(2)在正方形 ABB1A1中,A 1B= ,28A 1BC 是等边三角形,A 1C=BC= ,AC 2+A =A1C2,AB2+AC2=BC2,2 A21AA 1AC,ACAB.又 AA1AB,ABAC=A,AA 1平面 ABC,AA 1CD,易得 CDAD,又ADAA 1=A,CD平面 ADC1A1.易知多面体 ABCA1B1C1是由直三棱柱 ABD-A1B1C1和四棱锥 C-ADC1A1组成的,直三棱柱 ABD-A1B1C1的体积为 1= ,四棱锥 C-ADC1A1的体积为 1 = ,多面
17、体12 (1211) 14 13 22 22 16ABCA1B1C1的体积为 + = .141651214.解析 (1)证明:因为 BD平面 PAC,PA平面 PAC,所以 BDPA,因为ABC=90,所以 CBAB,又平面 PAB平面 ABC,平面 PAB平面 ABC=AB,所以 CB平面 PAB,所以 CBPA,又 BCBD=B,所以 PA平面PBC.(2)因为三棱锥 D-PAB 的体积 VD-PAB=VA-PBD= SPBD PA= BDPDPA,13 16三棱锥 D-ABC 的体积 VD-ABC=VA-BCD= SBCD PA= BDCDPA,所以 = .13 16 VD-PABVD-ABCPDCD设 AB=2,BC= ,6因为 PA平面 PBC,PB平面 PBC,所以 PAPB,又 PA=PB,所以 PB= .在 RtPBC 中,PC= =22 BC2+PB2,又 BD平面 PAC,PC平面 PAC,所以 BDPC,所以 CD= = ,所以 PD= ,所以 = ,故三棱锥 D-PAB2BC2PC322 22 PDCD13与三棱锥 D-ABC 的体积比为 .13
