1、1微专题 2 函数与方程、函数的实际应用命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷T 9函数的零点2018全国卷T 15函数的零点2018浙江高考T 11方程组的实际应用2017全国卷T 11函数的零点从近 5 年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判定及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁，一般会将本部分内容知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，一般以选择题、填空题形式出现，解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。考向一 判断函数零点的个数或所在区间【例 1】 (1)函数 f (x)log 2x
2、 的零点所在的区间为( )1xA B(0，12) (12， 1)C(1,2) D(2,3)(2)函数 f (x)4cos 2 cos 2sin x|ln( x1)|的零点个数为_。x ( 2 x)解析 (1)函数 f (x)的定义域为(0，)，且函数 f (x)在(0，)上为增函数。 f log 2 1230， f (3)log 23 1 0，即 f (1)f (2)0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数 f (x)零点的个数，容易看出函数 f (x)零点的个数为 2，故选 B。答案 B32已知函数 f (x)满足： 定义域为 R； xR，
3、都有 f (x2) f (x)；当x1,1时， f (x)| x|1，则方程 f (x) log2|x|在区间3,5内解的个数是( )12A5 B6 C7 D8解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有 5 个解。故选 A。答案 A考向二 根据函数的零点求参数的范围【例 2】 已知函数 f (x) x22 x a(ex1 e x1 )有唯一零点，则 a( )A B C D112 13 12解析 解法一：令 f (x)0，则 x22 x a(ex1 e x1 )，设 g(x)e x1 e x1 ，则 g( x)e x1 e x1 e x1 ，当 g( x)01ex 1 e2 x 1 1ex 1时
4、， x1，故当 x1 时， g( x)0，函数 g(x)在(1，)上单调递增，当 x1 时，函数 g(x)取得最小值 2，设 h(x) x22 x，当 x1 时，函数 h(x)取得最小值1，若 a2 000，可得 lg1.3 nlg1.12lg2，得 n0.050.19， n3.8， n4，即 4 年后，到 2021 年科研经费超过 2 000 万元。故选 B。答案 B1(考向一)(2018昆明调研)已知函数 f (x)Error!则函数 f (x)的零点个数为_。解析 解法一：当 x1 时，由 log2(x1)0 得 x2，即 x2 为函数 f (x)在区间(1，)上的一个零点；当 x1 时
5、，因为 f (x) x33 x1，所以 f ( x)3 x23，由 f ( x)0 得 x1 或 x1，因为当 x0，当1 x1 时， f ( x)70，所以 x1 为函数 f (x) x33 x1 在(，1上的极大值点，因为 f (1)30， f (1)11 时，作出函数 ylog 2(x1)的图象如图所示，当 x1 时，由 f (x) x33 x10 得， x33 x1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 y x3和y3 x1 的图象如图所示，由图，可知函数 f (x)的零点个数为 3。答案 32(考向一)(2018洛阳统考)已知函数 f (x)满足 f (1 x) f (1 x) f
6、(x1)(xR)，且当 0 x1 时， f (x)2 x1，则方程|cos x| f (x)0 在1,3上的所有根之和为( )A8 B9C10 D11解析 方程|cos x| f (x)0 在1,3上的所有根之和即 y|cos x|与 y f (x)在1,3上的图象交点的横坐标之和。由 f (1 x) f (1 x)得 f (x)的图象关于直线x1 对称，由 f (1 x) f (x1)得 f (x)的图象关于 y 轴对称，由 f (1 x) f (x1)得 f (x)的一个周期为 2，而当 0 x1 时， f (x)2 x1，在同一坐标系中作出 y f (x)和y|cos x|在1,3上的大
7、致图象，如图所示。易知两图象在1,3上共有 11 个交点，又 y f (x)， y|cos x|的图象都关于直线 x1 对称，故这 11 个交点也关于直线 x1对称，故所有根之和为 11。故选 D。答案 D83(考向二)已知函数 f (x) kx2(xR)有四个不同的零点，则实数 k 的取值|x|x 2范围是( )A(，0) B(，1)C(0,1) D(1，)解析 因为 x0 是函数 f (x)的零点，则函数 f (x) kx2(kR)有四个不同的|x|x 2零点，等价于方程 k 有三个不同的根，即方程 | x|(x2)有三个不同的根。1|x| x 2 1k记函数 g(x)| x|(x2)Er
8、ror!由题意 y 与 y g(x)有三个不同的交点，作图可知(图1k略)01。故选 D。1k答案 D4(考向二)(2018四川统考)函数 f (x)Error!若关于 x 的方程 2f 2(x)(2 a3) f (x)3 a0 有五个不同的零点，则 a 的取值范围是( )A(1,2) B 32， 2)C D (1，32) (1， 32) (32， 2)解析 作出 f (x) |x|1， x0 的图象如图所示。设 t f (x)，则原方程化为(1e)2t2(2 a3) t3 a0，由图象可知，若关于 x 的方程 2f 2(x)(2 a3) f (x)3 a0 有五个不同的实数解，只有当直线 y a 与函数 y f (x)的图象有两个不同的公共点时才满足条件，所以 10，解得 a ，综上，得 1 ，lg10 0.70.7lg3lg2，所以 100.732,100.7 ，所以 。故选1100.9110 1312 110H OH 13C。答案 C
