1、1第三讲 数列命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷T 4等差数列的通项公式、前 n 项和公式2018全国卷T 14数列的通项与前 n 项和的关系2018浙江高考T 10数列的综合应用2018北京高考T 4数学文化、等比数列的通项公式2017全国卷T 4等差数列的通项公式、前 n 项和公式1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现。2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力。考向一 等差数列、等比数列基本量运算【例 1】 (1)(2018北京高考)设 an是等差数列，且 a13， a2 a536，则
2、an的通项公式为_。(2)(2017江苏高考)等比数列 an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn。已知S3 ， S6 ，则 a8_。74 634解析 (1)设等差数列的公差为 d， a2 a5 a1 d a14 d65 d36，所以 d6，所以 an3( n1)66 n3。(2)设等比数列 an的公比为 q，则由 S62 S3，得 q1，则Error!解得Error!则a8 a1q7 2732。14答案 (1) an6 n3 (2)32在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量。 变|式
3、|训|练1(2018沈阳质量监测)在等差数列 an中，若 Sn为前 n 项和，2 a7 a85，则 S11的值是( )2A55 B11C50 D60解析 解法一：设等差数列 an的公差为 d，由题意可得 2(a16 d) a17 d5，得a15 d5，则 S1111 a1 d11( a15 d)11555。故选 A。11102解法二：设等差数列 an的公差为 d，由 2a7 a85，得 2(a6 d) a62 d5，得a65，所以 S1111 a655。故选 A。答案 A2(2018湖南湘东五校联考)已知在等比数列 an中， a37，前三项之和 S321，则公比 q 的值是( )A1 B12C
4、1 或 D1 或12 12解析 当 q1 时， an7， S321，符合题意；当 q1 时，Error!得 q 。综上，12q 的值是 1 或 。故选 C。12答案 C考向二 等差数列、等比数列的性质应用【例 2】 (1)(2018湖北荆州一模)在等差数列 an中，若 a3 a4 a53， a88，则 a12的值是( )A15 B30C31 D64(2)等差数列 an中，已知| a6| a11|，且公差 d0，则其前 n 项和取最小值时 n 的值为( )A6 B7C8 D9(3)(2018洛阳联考)在等比数列 an中， a3， a15是方程 x26 x20 的两根，则的值为( )a2a16a9
5、A B2 22 2C D 或2 2 2解析 (1)因为 a3 a4 a53，所以 3a43， a41，又 2a8 a4 a12，所以a122 a8 a428115。故选 A。3(2)由 d0 可得等差数列 an是递增数列，又| a6| a11|，所以 a6 a11，所以a6 a11 a8 a90，又 d0，所以 a80，所以前 8 项和为前 n 项和的最小值。故选C。(3)设等比数列 an的公比为 q，因为 a3， a15是方程 x26 x20 的根，所以a3a15 a 2， a3 a156，所以 a3S7S5，则满足SnSn1 S7S5，得 S7 S6 a7S5，所以 a70，所以S13 1
6、3 a70，所以 S12S131，则( )A a1a3， a2a4 D a1a3， a2a4解析 解法一：因为函数 yln x 在点(1,0)处的切线方程为 y x1，所以lnx x1( x0)，所以 a1 a2 a3 a4ln( a1 a2 a3) a1 a2 a31，所以 a41，又 a11，所以等比数列的公比 qa11，所以 ln(a1 a2 a3)0，与 ln(a1 a2 a3) a1 a2 a3 a40 矛盾，所以10， a2 a4 a1q(1 q2)a3， a21，所以等比数列的公比 q1，所以 ln(a1 a2 a3)0，与 ln(a1 a2 a3) a1 a2 a3 a40 矛
7、盾，所以10， a2 a4 a1q(1 q2)a3， a22，若 n1，则 R，若 n1，则 n 1 2 2 n 12 ，所以 0。当 n 为偶数时，由 an2，所以 ，即 0。综上，实数 n 1 2 n 12 23n的取值范围为0，)。答案 0，)1(考向一)(2018山东淄博一模)已知 an是等比数列，若 a11， a68 a3，数列的前 n 项和为 Tn，则 T5 ( )1anA B313116C D7158解析 设等比数列 an的公比为 q，因为 a11， a68 a3，所以 q38，解得 q2。所以 an2 n1 。所以 n1 。所以数列 是首项为 1，公比为 的等比数列。则 T51
8、an (12) 1an 12 。故选 A。1 (12)51 12 3116答案 A2(考向二)(2018湖南衡阳一模)在等差数列 an中， a13 a8 a15120，则 a2 a14的值为( )A6 B12 C24 D48解析 因为在等差数列 an中， a13 a8 a15120，所以由等差数列的性质可得a13 a8 a155 a8120，所以 a824，所以 a2 a142 a848。故选 D。答案 D83(考向二)(2018广东汕头模拟)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a19， S994，则 Sn取最大值时的 n 为( )S55A4 B5C6 D4 或 5解析 由 an为等差
9、数列，得 a5 a32 d4，即 d2，由于 a19，所S99 S55以 an2 n11，令 an2 n11 ，所以 Sn取最大值时的 n 为 5。故选 B。112答案 B4(考向三)(2018合肥质检)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 3Sn2 an3 n，则 a2 018( )A2 2 0181 B3 2 0186C 2 018 D 2 018(12) 72 (13) 103解析 因为 a1 S1，所以 3a13 S12 a13 a13。当 n2 时，3Sn2 an3 n,3Sn1 2 an1 3( n1)，所以 an2 an1 3，即 an12( an1 1)，所以数列 an1是
10、以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an1(2)(2)n1 (2) n，则 a2 0182 2 0181。故选 A。答案 A5(考向四)(2018江苏高考)已知集合 A x|x2 n1， nN *，B x|x2 n， nN *。将 A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an。记 Sn为数列 an的前 n 项和，则使得 Sn12an1 成立的 n 的最小值为_。解析 所有的正奇数和 2n(nN *)按照从小到大的顺序排列构成 an，在数列 an中，25前面有 16 个正奇数，即 a212 5， a382 6。当 n1 时， S1112 a28540，符合题意。故使得22 1 432 2 1 251 2Sn12an1 成立的 n 的最小值为 27。答案 27
