1、1考点规范练 12 导数的概念及运算基础巩固组1.设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案 D 解析 f (x)=x3+(a-1)x2+ax,且 f(x)是奇函数,a- 1=0,解得 a=1.f (x)=x3+x,则 f(x)=3x2+1,f (0)=1.即 y-0=x-0,故切线方程为 y=x,故选 D.2.设 f(x)=xln x,若 f(x0)=2,则 x0=( )A.e2 B.e C. D.ln 2ln22答案 B 解析 f (x)=lnx+x =
2、lnx+1,1x lnx0+1=2,得 lnx0=1,即 x0=e.3.(2017课标 高考改编)曲线 y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为( )1xA.y=-x+3 B.y=x+1C.y=-2x+4 D.y=2x答案 B 解析 设 y=f(x),则 f(x)=2x- ,所以 f(1)=2-1=1,1x2所以在(1,2)处的切线方程为 y-2=1(x-1),即 y=x+1.4.已知曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0垂直,则 a=( )x+1x-1A.-2 B.2 C.- D.12 12答案 A 解析 由 y= 得曲线在点(3,2)处的切线斜率为 - ,又切线与直线
3、ax+y+1=0垂直,则 a=-2,故选 A.-2(x-1)2 125.点 P是曲线 y= x2-2ln x上任意一点,则点 P到直线 y=x- 的距离的最小值为( )32 52A. B. C. D.2332 322 52答案 C 解析 当点 P是曲线的切线中与直线 y=x- 平行的直线的切点时,距离最小; y= x2-2lnx,52 32y= 3x- ,令 y=1,解得 x=1, 点 P的坐标为 1, .2x 32此时点 P到直线 y=x- 的最小值为 .故选 C.52 |1-32-52|2 =3226.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)= ;f
4、(5)= . 答案 -1 3 解析 f(5)=-1,f(5)=-5+8=3.7.若对任意 x(0, + ),都有 ln x ax恒成立,则实数 a的取值范围为 . 答案 ,+ 1e解析 在区间(0, + )上绘制函数 y=lnx和函数 y=ax的图象,若对任意 x(0, + ),lnx ax恒成立,则对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方,如图所示为临界条件,直线过坐标原点,与对数函数相切,由 y=lnx可得 y= ,则在切点( x0,lnx0)处对数函数的切线斜率为 k= ,即切线方程为 y-1x 1x0lnx0= (x-x0),1x0切线过坐标原点,则 0-lnx0= (0-x0),1
5、x0解得 x0=e,则切线的斜率 k= .1x0=1e由此可得,实数 a的取值范围为 ,+ .1e38.已知 f(x)为偶函数,当 x0时, -x2,y0,y=(1-x)e-x在( - ,2)上递减,在(2, + )上递增 .x= 2时,函数取得极小值-e-2,又因为当 x2时总有 y=(1-x)e-xx2-3恒成立 .当 x=0时, f (x)=-30时, mxx2-3mx- ,m 的最小值是 -2,3xx- x2-3m2,从而解得 -3x 3x 3x1 0,2n=am,n2+1=a+1-alnm, a24m2 =1-lnm,a4m2即 =m2(1-lnm)有解即可,令 g(x)=x2(1-
6、lnx),a4则由 g(x)=2x(1-lnx)+x2 - =x(1-2lnx)=0,可得 x= ,g (x)在(0, )上单调递增,在1x e e( ,+ )是单调递减, g (x)的最大值为 g( )= ,e ee2又 g(0)=0, 01时, f(x)= ,则曲线 y=f(x)在xex-2x=0处的切线方程是 . 答案 x+y=0 解析 因为 f(1-x)+f(1+x)=2,所以函数关于点(1,1)对称, x1时的解析式 f(x)= ,可得 2-y= ,xex-2 2-xe-xy= 2- ,y= ,令 x=0,则 y=-1,y=0,所以切线方程为 x+y=0.2-xe-x x-1e-x17.已知点 M是曲线 y= x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在 M处的切线为 l,求:13(1)斜率最小的切线方程;6(2)切线 l的倾斜角 的取值范围 .解 (1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1 -1, 当 x=2时, y=-1,y= ,53 斜率最小的切线过点 ,斜率 k=-1,(2,53) 切线方程为 3x+3y-11=0.(2)由(1)得 k -1, tan -1,又 0,), .0,2) 34, )故 的取值范围为 .0,2) 34, )
