1、第二章 函数,2.1 函数的概念及其表示,-3-,-4-,-5-,知识梳理,双击自测,1.函数与映射的概念,数集,集合,任意 数x,都有唯一确定,数f(x),任意,元素x,都有唯一确定 元素y,f:AB,f:AB,-6-,知识梳理,双击自测,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量, 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,_叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集. (2)函数的三要素: 、 和 . (3)函数的表示方法有 、 和 . (4)相等函数:如果两个函数的 相同,并且 完全一致,我们就称这两个函数相等.,x的取值范围A,函数值
2、的集合f(x)|xA,定义域 值域 对应关系,解析法 图象法 列表法,定义域,对应关系,-7-,知识梳理,双击自测,3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ,其值域等于各段函数的值域的 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.,对应关系,并集,并集,-8-,知识梳理,双击自测,4.常见函数定义域的求法,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)1,g(x)0,f(x)0,-9-,知识梳理,双击自测,答案,解析,A.(-1,+) B.(-1,1)(1,+) C.-1,+) D.-
3、1,1)(1,+),-10-,知识梳理,双击自测,2.已知函数f(x)=ax-b(a0),f(f(x)=4x-3,则f(2)= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,3.下列函数中,是同一个函数的是( ),答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,4.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下: 映射f的对应法则,映射g的对应法则,则fg(1)的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-13-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-14-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合,而函数定义中的两个集合必须是非空数集.
4、2.判断两个函数是否为相等函数,关键是看定义域和对应关系是否相同.定义域和对应关系相同,值域必然相同,函数必然是相等函数. 3.函数的定义域是研究函数的基础,对函数的性质的讨论必须在定义域上进行,要坚持“定义域优先”原则. 4.分段函数的问题要依据自变量所属的区间选择对应关系求解.当自变量不确定时,需分类讨论.,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,函数与映射的概念(考点难度) 【例1】 (1)设M=x|-2x2,N=y|0y2,函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是( ),答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)若f:AB能构成映射,下列说法正确的
5、有( ) A中的任一元素在B中必须有象且唯一; A中的多个元素可以在B中有相同的象; B中的多个元素可以在A中有相同的原象; 象的集合就是集合B. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.函数是一种特殊的映射,要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系,只需要检验:集合是否为非空数集;根据给出的对应关系,自变量x在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y与之对应. 2.对函数的概念要理解两点:一是函数值的存在性;二是函数值的唯一性.对于复合函数一定要分清内函数是哪个函数,外函数是哪个函数.,-18-,考点一,考点二,考点三,
6、考点四,对点训练(1)有以下判断:,函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个; f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;,其中正确判断的序号是 .,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)存在函数f(x)满足:对于任意xR都有( ) A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|,答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,函数的定义域和值域(考点难度) 【例2】 (1)函数f(x)= +lg(-3x2+5x+2)的定义域是( ),答案,解析,-
7、21-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)若函数f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)= 的定义域是( ) A.0,1 B.0,1) C.0,1)(1,4 D.(0,1),答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)求下列函数的值域:,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,变形得y+yx2=1+4x+x2, 则(1-y)x2+4x+1-y=0,当y=1时,x=0; 当y1时,xR, =16-4(1-y)20-1y3,且y1. 所求函数值域为-1,3.,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.函数的定义域求法: (1)求具体函数y=f(x)的定义域:,-2
8、5-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)求抽象函数的定义域: 若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出. 若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域. 提醒 定义域必须写成集合或区间的形式.,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,2.函数的值域求法: (1)观察法:一些简单函数可通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.,(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域. (6)数形结合法:画出函数的图象,通过函数定义域
9、在图上确定函数值的变化范围. (7)若函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等式求解.,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2018江苏常州武进区高三上学期期中)若函数f(x+1)的定义域是-1,1,则函数f( x)的定义域为 .,答案,解析,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)已知函数f(x)=lg(x2+x-a)的定义域为R,则实数a的取值范围是 .,答案,解析,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,求函数的解析:式(考点难度),(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=
10、x-1,求f(x);,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=2,得c=2. f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结函数解析式的求法: (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)方程思想:已知关于f(x)与 或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 提醒 由于函数的解析
11、式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.,-33-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)已知f(1-cos x)=sin2x,则f(x)= .,答案,解析,-34-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)已知f(x)是正比例函数,g(x)是反比例函数,若F(x)=f(x)+g(x),且F =16,F(1)=8,求F(x)的解析式.,-35-,考点一,考点二,考点三,考点四,分段函数(考点难度) 考情分析分段函数一直是高考的热点内容,主要以分段函数为载体考查函数的求值、值域及参数的取值范围等问题,常见类型有: (1)分段函数
12、求值问题; (2)分段函数与方程的交汇问题; (3)分段函数与不等式的交汇问题.,-36-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型一 分段函数求值问题,答案,解析,-37-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型二 分段函数与方程的交汇问题 【例5】 (2018福建莆田第六中学高三下学期三模)已知函数,答案,解析,-38-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型三 分段函数与不等式的交汇问题,答案,解析,集是 .,-39-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结分段函数问题的求解策略: (1)分段函数的求值问题,应先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解. (2)分段函数与方程、
13、不等式的交汇问题,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论,最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间.,-40-,考点一,考点二,考点三,考点四,的值域为 .,答案,解析,-41-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2018安徽肥东高级中学高三8月调研)已知函数f(x)= (a0且a1)的最大值为1,则a的取值范围是( ),答案,解析,-42-,思想方法分段函数的妙招(分类讨论思想) 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,
14、再积零为整”的解题策略. 分段函数体现了数学的分类讨论思想,解分段函数求值问题时应注意以下三点: (1)明确分段函数的分段区间. (2)依据自变量的取值范围,选好讨论的切入点,并建立等量或不等量关系. (3)在通过上述方法求得结果后,应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内.,-43-,答题指导分段函数在不同x范围有不同的表达式,所以根据x范围分类讨论是解题关键.,-44-,对点训练已知函数f(x)= 若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为( ) A.-3 B.-3或1 C.1 D.-1或3,答案,解析,-45-,高分策略1.已知函数的解析式求函数的定义域,就是构建使解析式有意义的不等式(组)求解,切不可将所给解析式化简后再求定义域. 2.利用换元法求函数解析式时,换元后应注意参数的取值范围. 3.解决分段函数问题的策略是分段击破,即对不同的区间进行分类求解,然后整合,要注意检验所求结果是否适合自变量的取值范围.,
