1、5.2 平面向量基本定理及向量 的坐标表示,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数1,2,使a=1e1+2e2 .其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1) . (2)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=(x1,y1),b=
2、(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2) , a-b=(x1-x2,y1-y2) ,a=(x1,y1) ,-4-,知识梳理,双击自测,3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0 .,-5-,知识梳理,双击自测,1.已知向量a=(2,3),b=(x,-6),若ab,则x的值为( ) A.2 B.-2 C.-4 D.-3,答案,解析,-6-,知识梳理,双击自测,2.(教材改编)已知ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为 .,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,3.下列向量组能够作为基底表
3、示向量a=(-2,3)的序号是 . (2,1),(-4,-2);(0,1),(1,2);(1,4),(2,5),答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,4.已知向量a=(3,2),b=(0,-1),则2a+b与2a-b的坐标分别为 .,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,5.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.能作为基底的两个向量必须是不共线的. 2.向量的坐标与点的坐标不同,向量平移后,其起点和终点的坐标都变了,但向量的坐标不变. 3.求向量的夹角要注意向量的方向,否则,得到的是向
4、量夹角的补角. 4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成 ,因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.,-11-,考点一,考点二,考点三,平面向量基本定理的应用(考点难度),答案,解析,-12-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017课标高考)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 ,则+的最大值为( ),答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:
5、先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.,-14-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2017四川七中三诊)设D为ABC中BC边上的中点,且O为AD边上靠近点A的三等分点,则( ),答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,(2)如图,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线,A.(0,1) B.(1,+) C.(-,-1) D.(-1,0),答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,平面向量的坐标运算(考点难度),求3a+b-3c; 求满足a=mb+nc的实数m,n;,解: 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),
6、c=(1,8). 3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-17-,考点一,考点二,考点三,-18-,考点一,考点二,考点三,(2)设向量a=(n,1),b=(2,1),且|a-b|2=|a|2+|b|2,则n=( ),答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)若向量a=(
7、1,2),b=(1,-1),则2a+b= .,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,平面向量共线的坐标表示(考点难度),答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,(2)在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,ABC所在平面内的点D满足: ,若ACD=60,则t的值为( ),答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.向量共线的两种表示形式: (1)ab(b0)a=b(R); (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0. 2.两向量共线的充要条件的作用: (1)判断两向量是否共线(平行),可解
8、决三点共线的问题; (2)利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.,-25-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)设向量a=(x,1),b=(4,x),若a,b方向相反,则实数x的值为 .,答案,解析,-26-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-27-,思想方法坐标法在向量中的应用 平面向量具有代数和几何的双重属性,比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征.平面直角坐标系是沟通平面向量的代数性质和几何性质的桥梁.若对某些平面向量的问题运用好坐标系这一工具,将收到化繁为简,事半功倍的效果.,-28-,解析:根据
9、题意知,A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2, 以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图所示. 设|AB1|=a,|AB2|=b,点O的坐标为(x,y),则点P的坐标为(a,b).,-29-,(x-a)2+y2=1,y2=1-(x-a)21. y21. 同理x21. x2+y22.,答题指导本例中利用直线的垂直关系建立坐标系,利用向量坐标法解决模长问题.,-30-,解析:以C为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,-31-,-32-,高分策略1.若a,b为非零向量,当ab时,a,b的夹角为0或180,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错. 2.向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关. 3.三个结论向量中必须掌握的三个结论: (1)若a与b不共线,a+b=0,则=0;,(3)平面向量的基底中一定不含零向量.,
