1、1考点规范练 22 平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.如图,向量 a-b等于( )A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2答案 C解析 由题图可知 a-b=e1-3e2.故选 C.2.在 ABC中, =c, =b,若点 D满足 =2 ,则 = ( )AB AC BDDC ADA b+ c B c- b.23 13 .53 23C b- c D b+ c.23 13 .13 23答案 A解析 )=c+ (b-c)= b+ c.故选 A.AD=AB+BD=AB+23(AC-AB 23 23 133.设 a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是(
2、)a|a|= b|b|A.a=-b B.abC.a=2b D.ab 且|a|=|b|答案 C解析 a= a与 b共线且同向 a= b且 0.B,D选项中 a和 b可能反向 .A选项中a|a|= b|b|a|b|b| 0.故选 C.4.在 ABC中, AD为 BC边上的中线, E为 AD的中点,则 = ( )EBA B.34AB-14AC .14AB-34AC2C D.34AB+14AC .14AB+34AC答案 A解析 如图所示,根据向量的运算法则,可得BE=12(BA+12BC)=12BA+12(BA+AC)= ,12BA+14BA+14AC=34BA+14AC所以 ,故选 A.EB=34A
3、B-14AC5.(2017浙江嘉兴测试)设点 M是线段 AB的中点,点 C在直线 AB外, | |=6,| |=| |,AB CA+CB CA-CB则 | |=( )CMA.12 B.6 C.3 D.32答案 C解析 | |=2| |,| |=| |,CA+CB CM CA-CB BA 2| |=| |=6,| |=3,故选 C.CM BA CM6.给出下列命题: 若两个单位向量的起点相同,则终点也相同; 若 a与 b同向,且 |a|b|,则 ab; , 为实数,若 a= b,则 a与 b共线; 0a=0.其中错误命题的序号为 . 答案 解析 不正确 .单位向量的起点相同时,终点在以起点为圆心
4、的单位圆上; 不正确,两向量不能比较大小; 不正确 .当 = 0时,a 与 b可能不共线; 正确 .7.设点 P是 ABC所在平面内的一点,且 =2 ,则 = . BC+BABP PC+PA答案 0解析 因为 =2 ,由平行四边形法则知,点 P为 AC的中点,故 =0.BC+BABP PC+PA38.设 D,E分别是 ABC的边 AB,BC上的点, AD= AB,BE= BC,若 = 1 + 2 ( 1, 2为实数),则12 23 DE AB AC 1= , 2= . 答案 -16 23解析 如图所示, )+ =- 又 = 1 + 2 ,且DE=BE-BD=23BC-12BA=23(AC-AB
5、12AB16AB+23AC. DE AB AC不共线,所以 1=- , 2=AB与 AC16 23.能力提升组9.如图,在平行四边形 ABCD中, AC与 BD交于点 O,E是线段 OD的中点, AE的延长线与 CD交于点 F.若 =a, =b,则 = ( )AC BD AFA a+ b B a+ b.14 12 .12 14C a+ b D a+ b.23 13 .13 23答案 C解析 =a, =b, AC BDa+ b. AD=AO+OD=12AC+12BD=12 12E 是 OD的中点, ,|DF|= |AB|,|DE|EB|=13 13)= - = a- DF=13AB=13(OB-
6、OA13 12BD-(-12AC) 16AC-16BD=16b, a+ b+ a- b= a+ b,故选 C.16 AF=AD+DF=12 12 16 16 23 1310.已知在 ABC中, D是 AB边上的一点, = ,| |=2,| |=1,若 =b, =a,则用 a,bCD (CA|CA|+ CB|CB|) CA CB CA CB表示 为( )CD4A a+ b B a+ b.23 13 .13 23C a+ b D a+ b.13 13 .23 23答案 A解析 由题意知, CD是 ACB的角平分线,故 )CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA= a+ b,故选 A
7、.23CB+13CA=23 1311.(2017浙江温州八校检测)设 a,b不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b,若 A,B,D三点共线,则实数AB BC CDp的值为( )A.-2 B.-1 C.1 D.2答案 B解析 =a+b, =a-2b, =2a-b. BC CD BD=BC+CD由 A,B,D三点共线,知 共线 .AB,BD设 = , 2a+pb= (2a-b),AB BD 2=2 ,p=- ,= 1,p=-1.12.点 D为 ABC内一点,且 +4 +7 =0,则 =( )DADBDCS BCDS ABCA B C D.47 .13 .712 .112答案 D解析 如图
8、所示,分别延长 DB,DC至点 B1,C1,使得 DB1=4DB,DC1=7DC,则 =0,则DA+DB1+DC1=S,S DAB= S,S DAC= S,S DBC= S,S ABC= S+ S+ S= S,S DAB1=S DAC1=S DB1C114 17 128 14 17 1281228,故选 D.S BCDS ABC=128S1228S=11213.5在 Rt ABC中, C是直角, CA=4,CB=3, ABC的内切圆交 CA,CB于点 D,E,点 P是图中阴影区域内的一点(不包含边界) .若 =x +y ,则 x+y的值可以是( )CPCDCEA.1 B.2C.4 D.8答案
9、B解析 设圆心为 O,半径为 r,则 OD AC,OE BC, 3-r+4-r=5,解得 r=1.连接 DE,则当 x+y=1时, P在线段 DE上,排除 A;在 AC上取点 M,在 CB上取点 N,使得 CM=2CD,CN=2CE,连接 MN, CP=x2CM+y2CN.则点 P在线段 MN上时, =1,故 x+y=2.x2+y2同理,当 x+y=4或 x+y=8时, P点不在三角形内部,排除 C,D.故选 B.14.已知 ABC和点 M,满足 =0,若存在实数 m,使得 =m 成立,则点 M是 ABCMA+MB+MC AB+ACAM的 ,实数 m= . 答案 重心 3解析 由 =0知,点
10、M为 ABC的重心 .设点 D为底边 BC的中点,MA+MB+MC则 )= ),AM=23AD=2312(AB+AC13(AB+AC所以有 =3 ,故 m=3.AB+ACAM615.(2017浙江湖州模拟)如图,在 ABC中, AD=2DB,AE= EC,BE与 CD相交于点 P,若12=x +y (x,yR),则 x= ,y= . APABAC答案47 17解析 由题可知 +AP=AD+DP=AD DC= + ( )AD BC-BD= +23AB (AC-AB-13BA)= (1- ) +23 AB AC.又 + + ( )AP=AE+EP=AE EB=AE CB-CE= +13AC (AB
11、-AC-23CA)= (1- ) , AB+13 AC所以可得 解得23(1- )= ,13(1- )= , =17, =47,故 ,所以 x= ,y=AP=47AB+17AC 47 17.16.在 ABC中,点 P满足 =2 ,过点 P的直线与 AB,AC所在直线分别交于点 M,N,若 =m =nBPPC AMAB,AN(m0,n0),则 m+2n的最小值为 . AC答案 3解析 =2 , BPPC=2( ), AP-AB AC-AP7, AP=13AB+23AC=13mAM+23nANM ,P,N三点共线, =1,13m+23nm+ 2n=(m+2n) 2 =3.(13m+23n)=13+
12、43+23(nm+mn) 53+23 nmmn=53+43当且仅当 时等号成立,nm=mn即 m=n=1,故 m+2n的最小值为 3.17.设两个非零向量 a与 b不共线 .(1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b).求证: A,B,D三点共线;AB BC CD(2)试确定实数 k,使 ka+b和 a+kb共线 .(1)证明 =a+b, =2a+8b, =3(a-b), AB BC CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 , BD=BC+CD AB共线 . AB,BD 它们有公共点 B,A ,B,D三点共线 .(2)解 k a+b与 a+kb共线, 存在实数 ,使 ka+b
13、= (a+kb),即( k- )a=(k- 1)b.又 a,b是两个不共线的非零向量,k-=k- 1=0.k 2-1=0.k= 1.18.已知 O,A,B是不共线的三点,且 =m +n (m,nR) .OPOAOB(1)若 m+n=1,求证: A,P,B三点共线;(2)若 A,P,B三点共线,求证: m+n=1.证明 (1)若 m+n=1,则 =m +(1-m) +m( ),所以 =m( ),即 =m ,所以OPOA OB=OB OA-OB OP-OB OA-OB BPBA共线 .BP与 BA又因为 有公共点 B,所以 A,P,B三点共线 .BP与 BA(2)若 A,P,B三点共线,则存在实数 ,使 = ,BP BA所以 = ( ).OP-OB OA-OB8又 =m +nOPOAOB.故有 m +(n-1) = - ,OA OB OA OB即( m- ) +(n+- 1) =0.OA OB因为 O,A,B不共线,所以 不共线,OA,OB所以 所以 m+n=1.m- =0,n+ -1=0.
