1、14 阅读与欣赏（九）概率、统计综合问题的三种常用求解策略公式法在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后2 个球都投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是 .23(1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列；(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率【解】 (1) X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6.依条件可知， X B(6， )，23P(X k)C ( )k( )6 k(k0，1，2，3，4，5，6)k623 13所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 6P 1729 4243 20243 160
2、729 80243 64243 64729(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，则 P(A)C ( )2( )4C ( )5( )6 ，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为2413 23 14 13 23 23 3281.3281对于此类问题求解，若随机变量 X 服从二项分布 B(n， p)，则其概率、均值与方差可直接利用公式 P(X k)C pk(1 p)n k(k0，1，2， n)， E(X) np， D(X) np(1 p)求kn得 间接法随机观测生产某种零件的某工厂 20 名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，
3、49，34，33，43，38，32，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率25，30 2 0.10(30，35 4 0.202(35，40 5 0.25(40，45 m fm(45，50 n fn(1)确定样本频率分布表中 m， n， fm和 fn的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 3 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30，35内的概率【解】 (1)由已知数据，得区间(40，45内的频数 m6，区间(45，50内的频数 n3，故 fm 0.3， fn 0.15.620 320(2)由频率
4、分布表，画出频率分布直方图如下图：(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30，35内的频率为 0.2，设所取的 3 人中，日加工零件数落在区间(30，35内的人数为 ，则 B(3，0.2)，故 P( 1)1 P( 0)1(10.2) 30.488.因此至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30，35内的概率为 0.488.当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解，即“正难则反”对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解 对称法从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：3(1)求这 50
5、0 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2(同一组中的数据用该区间的x 中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N( ， 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2近似为样本方差 s2.x 利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数利用的结果，求 EX.附： 12.2.150若 Z N( ， 2)，则 P( Z )0.682 7， P( 2 Z 2 )0.954 5.【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x
6、和样本方差 s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30) 20.02(20) 20.09(10)20.2200.3310 20.2420 20.0830 20.02150.(2)由(1)知， Z N(200，150)，从而 P(187.8Z212.2) P(20012.2 Z20012.2)0.682 7.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为 0.682 7，依题意知 X B(100，0.682 7)，所以 EX1000.682 768.27.解决与正态分布有关的问题，在理解 ， 2的意义情况下，记清正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的
