1、12018-2019 学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1.已知集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ， 或 ，所以 ，故选 D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x-2y 的最大值为（ ）x+2y1x-y1y-10 A. B. 1 C. 3 D. 0-3【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的 ABC 及其内部，再将目标函数 z x2 y对应的直线进行平移，可得当 x1， y0 时， z 取得最大值 1【详解
2、】作出不等式组 表示的平面区域，x+2y1x-y1y-10 得到如图的 ABC 及其内部，其中 A（1，1） ， B（2，1） ， C（1，0）设 z F（ x， y） x2 y，将直线 l： z x2 y 进行平移，当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值 z 最大值 F（1，0）1故选： B2【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z x2 y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题3.设 为向量，则“ ”是“ ”的（ ）a,b |ab|=|a|b| a/bA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不
3、充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式推断 与 的充分必要关系 .| a b|=| a| b| a b【详解】 ab=|a|b|cos若向量 一个或都为零向量，显然成立； a, b若 ， ，则 ，若 ，则 ，从而| a b|=| a| b|cos|=| a| b| cos=1 a b a b cos=1， 是 的充要条件故选 C.| a b|=| a| b|cos|=| a| b| “| a b|=| a| b|“ a b【点睛】要证明 p 是 q 的充要条件，要分别从 p 和 ，两个方面验证。q qp4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是A. B.
4、C. D. 2 123 133【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为 2，底面为直角三角形，两直角边分别为 1 和 2，根据底面积乘以高可知体积为 v= ，故12212=2可知答案为 A.考点：三视图点评：主要是考查根据三视图还原几何体，来求解几何体的体积，属于基础题。5.直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角是x3y=0 (x2)2+y2=4A. B. C. D. 6 3 2 23【答案】D【解析】试题分析：圆 的圆心 到直线 的距离 ，圆的半径 ，所以(x2)2+y2=4 (2,0) x3y=0 d=1 r=2弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一
5、底角为 ，所以顶角为 ，即劣弧所对的圆心6 23角是23考点：直线与圆相交问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点6.以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（ ）x24+y23=1A. B. C. D. y23-x2=1 x2-y23=1 x24-y23=1 x23-y24=1【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为 ，求出椭圆 的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的 a、b.x2a2-y2b2=1 x24+y23=1【详解】设双曲线为 ，x2a2-y2b2=1由椭圆 得焦点为（1，0） ，顶点为（2，0） x24+y23=1双曲
6、线的顶点为（1，0）焦点为（2，0） 4 a1， c2， b2 c2 a23双曲线为 x2-y23=1故选： B【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键7.函数 是y=(sinx+cosx)(sinxcosx)A. 奇函数且在 上单调递增0,2B. 奇函数且在 上单调递增2,C. 偶函数且在 上单调递增0,2D. 偶函数且在 上单调递增2,【答案】C【解析】试题分析：函数 化简得y=f(x)f(x)=(sinx+cosx)(sinxcosx)=sin2xcos2x=cos2x，所以函数是偶函数，当 时 ， 是减函数，排除 C 项，f(x)=f(x) x0,2 2x0, y=cos
7、2x所以选 D考点：三角函数性质点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不对称则为非奇非偶函数，三角函数中 是奇函数， 是偶函数y=sinx y=cosx8.已知函数 ，且存在不同的实数 x1， x2，x 3，使得 f（x 1）=f（x 2）f(x)=-x2+2x+1,x22x-2,x2 =f（x 3） ，则 x1x2x3的取值范围是（ ）A. B. C. D. (0,3) (1,2) (0,2) (1,3)【答案】A【解析】【分析】作出 y f（ x）的函数图象，设 x1 x2 x3， f（ x1） f（ x2） f（ x3） t，1 t2，求得 x
8、1， x2， x3，构造函数 g（ t）（ t1） （2+log 2t） ，1 t2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围5【详解】函数 的图象如图所示：f(x)=-x2+2x+1，x 22x-2，x2 设 x1 x2 x3，又当 x2，+）时， f（ x）2 x2 是增函数，当 x3 时， f（ x）2，设 f（ x1） f（ x2） f（ x3） t，1 t2，即有 x12+2x1+1 x22+2x2+1 t，2x3-2=故 x1x2x3（1 ） （1 ） （2+log 2t）- 2-t + 2-t（ t1） （2+log 2t） ，由 g（ t）（ t1） （2+log 2t） ，1
9、t2，可得 g（ t）2+log 2t 0，即 g（ t）在（1，2）递增，又 g（ 1）0， g（ 2）+t-1tln23，可得 g（ t）的范围是（0，3） 故选： A【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）9.已知 ，其中 a，b 是实数，i 是虚数单位，则 a+bi=_a1-i=1+bi【答案】 2+i【解析】【分析】由条件可得， a b+1+（ b1） i，再根据两个复数相等的充要条件求得 a 和 b 的值，即可求得 a+bi 的值6【详解】已知 ， a（1+ bi） （1 i） ，即
10、 a b+1+（ b1） i，a1-i=1+bi ， a2， b1 ，则 a+bi2+ i，a=b+1b-1=0 故答案为 2+ i【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题10.已知正方形 的边长为 ， 为 的中点，则 _ABCD 2 E CD AEBD=【答案】2【解析】 =( + )( - )AE BD AD12DC ADAB= - + - =22- 22=2.AD2AD AB12DC AD12AB DC 12【此处有视频，请去附件查看】11.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数
11、据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为_，_【答案】 (1). 5 (2). 8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出 x、 y 的值【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲组数据的中位数为 15， x5；又乙组数据的平均数为 16.8， 16.8，9+15+(10+y)+18+245 =7解得： y8；综上， x、 y 的值分别为 5、8故答案为：(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题12.等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3a 210a 1，a 59，则 a1_【答案】19【解析】有条件得 a1
12、a 1qa 1q2a 1q10a 1，a 1q49，解得 q3，a 1 .1913.设点（m，n）在直线 x+y=1 位于第一象限内的图象上运动，则 log2m+log2n 的最大值为_【答案】 2【解析】【分析】先根据点在直线上得到 m 与 n 的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件【详解】点（ m， n）在直线 x+y1 位于第一象限内的图象上运动 m+n1， m0， n0，log 2m+log2nlog 2（ mn）log 2（ ） 2log 222 2，m+n2当且仅当 m n 时“”成立=12故答案为：2【点睛】本
13、题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题14.设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x） ，xR，有 f（ -x）+f（x）=x 2，在（0，+）上，f（x）x，若 f（6-m）-f（m）-18+6m0，则实数 m 的取值范围是_【答案】 3,+)【解析】【分析】令 g（ x） f（ x） x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于 m 的不等式，解出即可-128【详解】令 g（ x） f（ x） x2，-12 g（ x）+ g（ x） f（ x） x2+f（ x） x2=x2 x2=0，-12 -12 -函数 g（ x）是奇函数， x（0，+）时， g
14、（ x） f（ x） x0，函数 g（ x）在 x（0，+）递减，又由题意得： f（0）0， g（0）0，故函数 g（ x）在 R 递减，故 f（6 m） f（ m）18+6 m g（6 m） （6 m） 2 g（ m） m20，+12 -12即 g（6 m） g（ m）0， g（6 m） g（ m） ，6 m m，解得： m3，故答案为：3，+） 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 78.0 分）15.ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ，cosB=33 cos(A+B)=-539ac
15、=23（1）求 sinA；(2）求边 c 的值【答案】 （1） ；（2）1223【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解【详解】 （1） cos（ C）cos C，cos(A+B)=-539=则 cosC ，=5399则 sinC ，sin B ，= 1-(539)2= 1-7581=69 = 1-39= 69=63则 sinAsin（ B+C）sin BcosC+cosBsinC =63539+3369=529+29=223（2） ，asinA= csinC ，a223=c69则 c a，=36又 ac2 ，3得 c1【点睛】本题
16、主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键16. 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30（1）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 ,3名女同学 ，现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 被选中且未被选中的概率.【答案】 （1） ；（2）13 215【解析】试题分析：（）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件
17、总数， “至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（）先求10基本事件总数，即从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“ 被选中，而 未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 人，故至少30参加上述一个社团的共有 人，所以从该班级随机选 名同学，该同学至少参加上4530=15 1述一个社团的概率为 P=1545=13.（2）从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，其一切可能的结果组
18、成的基本事件5 3 1A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,，共 个.A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3 15根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“ 被选中且 未被选中”所包含的基本事件有：A1 B1，共 个.A1,B2,A1,B3 2因此 被选中且 未被选中的概率为 .A1 B1 P=215考点：古典概型及其概率计算公式17. 如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知A45，C90，ADC105，ABBD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC(如图乙)
19、，设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点(1)求证：DC平面 ABC；(2)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值；(3)求二面角 BEFA 的余弦值【答案】 （1）见解析（2） （3）24 17【解析】(1)平面 ABD平面 BDC，又ABBD，AB平面 BDC，故 ABDC，又C90，11DCBC，BC ABC 平面 ABC，DC 平面 ABC，故 DC平面 ABC. (2)如图，以 B 为坐标原点，BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CDa，则 BDAB2a，BC a，AD2 a，可得 B(0，0，0)，D(2a，0，0)，3 2A(0，0，2a)，C ，F(a
20、，0，a)，(32a,32a,0) ， (a，0，a)CD (12a,32a,0) BF设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ，由(1)知 DC平面 ABC，cos ，sin .(2 ) CDBF|CD|BF| 12a2a 2a 24 24(3)由(2)知 FE平面 ABC,又BE 平面 ABC，AE 平面 ABC，FEBE，FEAE， AEB 为二面角 BEFA 的平面角.在AEB 中，AEBE AC a，12 12 AB2 BC2 72cosAEB ，即所求二面角 BEFA 的余弦为 .AE2 BE2 AB22AEBE 17 1718.已知数列 的前 项和 ， an n Sn=n2+n2
21、nN*（1）求数列 的通项公式；an（2）设 ，求数列 的前 项和bn=2an+(1)nan bn 2n【答案】 （1） （2）an=n T2n=22n+1+n2【解析】试题分析：（1）由数列的前 n 项和 求解通项公式时一般借助于 ，分Snan= S1(n=1)SnSn1(n2) 两种请款分别求解后验证其能否合并；（2）由数列 的通项公式代入整理数列 的通an bn项为 ，结合特点求和时采用分组求和，将各项中 形式的项和 形式的bn=2n+(1)nn 2n (1)nn项各分一组试题解析：（1）当 时，可得 ；n=1 a1=S1=112当 时，可得 n2 an=SnSn1=n2+n2(n1)2
22、(n1)2 =n检验知， 时也符合n=1故数列 的通项公式为 an an=n（2）由（1）可得 bn=2n+(1)nn记数列 的前 项和为 ，bn 2n T2n则 T2n=(21+22+22n)+(1+23+4+2n)记 ， ，A=21+22+22n B=1+23+4+2n则 ，A=2(122n)12 =22n+12B=(1+2)+(3+4)+(2n1)+2n=n故数列 的前 项和 bn 2n T2n=A+B=22n+1+n2考点：1数列求通项公式；2分组求和19.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（-1，0） 、F 2（1，0） ，短轴的两个端点分别为 B1，B 2（1）若F 1B1B2为
23、等边三角形，求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且 ，求F1PF1Q直线 l 的方程【答案】 （1） ；（2） 或 【解析】试题分析：（1）由F 1B1B2为等边三角形可得 a=2b，又 c=1，集合 a2=b2+c2可求 a2，b 2，则椭圆 C 的方程可求；（2）由给出的椭圆 C 的短轴长为 2，结合 c=1 求出椭圆方程，分过点 F2的直线 l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 转化为数量积等于 0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线 l 的方
24、程可求13解：（1）设椭圆 C 的方程为 根据题意知 ，解得 ，故椭圆 C 的方程为 （2）由 2b=2，得 b=1，所以 a2=b2+c2=2，得椭圆 C 的方程为 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x=1，不符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x1） 由 ，得（2k 2+1）x 24k 2x+2（k 21）=0设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则，因为 ，所以 ，即= ，解得 ，即 k= 故直线 l 的方程为 或 考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程20.已知函数 .若曲线 和曲线 都过点f(
25、x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d) y=f(x) y=g(x)14,且在点 处有相同的切线 .P(0,2) P y=4x+2（）求 的值;a,b,c,d（）若 时, ,求 的取值范围.x2 f(x)kg(x) k【答案】 （I） ；（II） .a=4,b=2,c=2,d=2 1,e2【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意 ,由导数的几何意义可知 ,f(0)=2,g(0)=2 f(0)=4,g(0)=4从而可求得 的值 （2） 由（1）知， ,令a,b,c,d f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1),即证 时 先将函数 求导,讨论导数的正负得F(x)=kg(x)f(
26、x) x2 F(x)0 F(x)=kg(x)f(x)函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值使其最小值大于等于 0 即可试题解析：（1）由已知得 ，f(0)=2,g(0)=2 f(0)=4,g(0)=4而 ，f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c)（4 分）a=4,b=2,c=2,d=2（2）由（1）知， ，设函数 ，由题设可得 ，即 ，令 得 , （6 分）若 ，则 ，当 时，当 时， ，即 F（x）在 单调递减，在 单调递增，故 在 取最小值 ，而 当 时， ，即 恒成立 （8 分）若 ，则 ，当 时， ， 在 单调递增，而 ，当 时， ，即 恒成立，若 ，则 ，15当 时， 不可能恒成立 （10 分）综上所述， 的取值范围为 （12 分）考点：用导数研究函数的性质【此处有视频，请去附件查看】
