1、13.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【选题明细表】 知识点、方法 题号点到直线的距离 1,2,4,6两平行线间的距离 3,5,9,10综合应用 7,8,11,12,13基础巩固1.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0上,O 是原点,则|OP|的最小值是( B )(A) (B)2 (C) (D)26解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线 x+y-4=0的距离 d= =2 .|4|2 22.已知点(a,1)到直线 x-y+1=0的距离为 1,则 a的值为( D )(A)1 (B)-1 (C) (D)2解析:由题意,得 =1,即|a|= ,|1+1|12+(
2、1)22所以 a= .故选 D.23.(2018四川绵阳市模拟)若 P,Q分别为直线 3x+4y-12=0与 6x+8y+ 5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)95 2910解析:因为 = ,所以两直线平行 ,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距3648 125离,即 = ,所以|PQ|的最小值为 .故选 C.2910 29104.直线 l垂直于直线 y=x+1,原点 O到 l的距离为 1,且 l与 y轴正半轴有交点,则直线 l的方程是( A )(A)x+y- =0 (B)x+y+1=02(C)x+y-1=0 (D)x+y+ =02解析:因
3、为直线 l与直线 y=x+1垂直,所以设直线 l的方程为 y=-x+b.又 l与 y轴正半轴有交点,知 b0,即 x+y-b=0(b0),原点 O(0,0)到直线 x+y-b=0(b0)的距离为 =1,解得 b= (b=- 舍去),所以所求直线 l的方程为 x+y- =0.2 2 25.(2018甘肃武威凉州区期末)已知两条平行直线 l1:3x+4y+5=0, l2:6x+by+c=0间的距离为 3,则 b+c等于( D )(A)-12 (B)48 (C)36 (D)-12或 482解析:将 l1:3x+4y+5=0改写为 6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以 b=8.由 =3,解得
4、c=-20或 c=40.|10|62+82所以 b+c=-12或 48.故选 D.6.若 A(3,2)和 B(-1,4)到直线 l:mx+y+3=0的距离相等,则 m的值等于 . 解析:因为 A,B两点到直线 l的距离相等,所以 ABl 或 l过 AB的中点,所以 =-m或m+3+3=0,所以 m= 或 m=-6.12答案: 或-6127.一直线过点 P(2,0),且点 Q 到该直线的距离等于 4,则该直线的倾斜角为 .(2,433)解析:当过 P点的直线垂直于 x轴时,Q 点到直线的距离等于 4,此时直线的倾斜角为 90,当过 P点的直线不垂直于 x轴时,直线斜率存在,设过 P点的直线为 y
5、=k(x-2),即 kx-y-2k=0.由 d= =4,解得 k= .|2433 2|2+1所以直线的倾斜角为 30.答案:90或 308.过点 P(1,2)引直线,使 A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.解:法一 因为 kAB=-4,线段 AB的中点为(3,-1),所以过 P(1,2)且与直线 AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1),即 4x+y-6=0.此直线符合题意.过 P(1,2)及线段 AB的中点(3,-1)的直线方程为 y-2=- (x-1),32即 3x+2y-7=0.此直线也是所求.故所求直线方程为 4x+y-6=0或 3x+2y-7=0.法二 显
6、然这条直线斜率存在.设直线方程为 y=kx+b,据条件有化简得 或+=2,=43所以 k=-4,b=6或 k=- ,b= .32 72所以直线方程为 y=-4x+6或 y=- x+ ,32 72即 4x+y-6=0或 3x+2y-7=0.能力提升9.两条平行线分别经过点 A(3,0),B(0,4),它们之间的距离 d满足的条件是( B )(A)00,且 d9,所以 =(-54) 2-4(81-d2)(9-d2)0,即 0d3 且 d9.综合可知,所求 d的变化范围为(0,3 .法二 如图所示,显然有 0d|AB|.而|AB|= =3 .(6+3)2+(2+1)2故所求的 d的变化范围为(0,3 .(2)由图可知,当 d取最大值时,两直线垂直于直线 AB.而 kAB= = ,2(1)6(3)13所以所求直线的斜率均为-3.故所求的两条直线方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即 3x+y-20=0和 3x+y+10=0.
