1、1第 6 节 带电粒子在匀强磁场中的运动一、带电粒子在匀强磁场中的运动1只考虑磁场作用力时，平行射入匀强磁场的带电粒子，做 运动。2垂直射入匀强磁场中的带电粒子在洛伦兹力的作用下做 运动。其轨道半径，运行周期 ，由周期公式可知带电粒子的运动周期与粒子的 成正比，与 和磁感应强度成反比，而与 和 无关。二、回旋加速器1回旋加速器的核心部件是两个 。2粒子每经过一次加速，其轨道半径变大，粒子圆周运动的周期 。3最大动能：由 和 ，得 ， R 为 D 形盒的半径，即粒子在回旋加速器中获得的最大动能与 q、 m、 B、 R 有关，与加速电压无关。匀速直线 匀速圆周 质量 电荷量 轨道半径 运动速率D
2、形盒 不变一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法1如何确定“圆心”（1）由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两个点），过这两个点作带电粒子运动方向的垂线（这两条垂线即为粒子在这两点时所受洛伦兹力的方向），则两条垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。（2）若只知过其中一个点的粒子的运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两条垂线的交点就是圆心，如图（b）所示。（3）若知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在2的点，如图（c）所示，此时要将其中
3、一个速度的延长线与另一个速度的反向延长线相交成一角（ PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点 O，该点就是圆心。2如何确定“半径”方法一：由物理方程求半径 ；方法二：由几何方程求，一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。3如何确定“圆心角与时间”（ 1） 速度的偏向角 等于圆弧所对应的圆心角（回旋角） 等于 2 倍的弦切角 ，如图所示。（2）时间的计算方法。方法一：由圆心角求， 。方法二：由弧长求， 。4带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法三步法（1）画轨迹：即画出运动轨迹，并确定圆心，用几何方法求半径。（2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联
4、系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。（3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。【例题 1】如图所示，在一个边长为 a 的正六边形区域内存在磁感应强度为 B，方向垂3直于纸面向里的匀强磁场，三个相同带正电的粒子，比荷为 ，先后从 A 点沿 AD 方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受到磁场力作用，已知编号为的粒子恰好从 F 点飞出磁场区域，编号为的粒子恰好从 E 点飞出磁场区域，编号为的粒子从 ED 边上的某一点垂直边界飞出磁场区域，则A编号为的粒子在磁场区域内运动的时间为B编号为的粒子在磁场区域内运动的时间为C
5、三个粒子进入磁场的速度依次增加D三个粒子在磁场内运动的时间依次增加参考答案：C4二、带电粒子在叠加场中的运动带电粒子（带电体）在叠加场中运动的分析方法1弄清叠加场的组成。2进行受力分析。3确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。4画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律解题。（1）当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。（2）当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。（3）当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。（4）对于临界问题，注意挖掘隐含条件。5记住三点：能够正确对叠加场中的带电粒子从受力、运动、能
6、量三个方面进行分析（1）受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析。这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等。（2）运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动。（3）根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。【例题 2】如图所示，带电平行金属板相距为 2R，在两板间半径为 R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，两板及其左侧边缘连线均与磁场边界刚好相切。一质子（不计重力）沿两板间中心线 O1O2从左侧 O1点以
7、某一速度射入，沿直线通过圆形磁场区域，然后恰好从极板边缘飞出，在极板间运动时间为 t0。若仅撤去磁场，质子仍5从 O1点以相同速度射入，经 时间打到极板上。（1）求两极板间电压 U；（2）求质子从极板间飞出时的速度大小；（3）若两极板不带电，保持磁场不变，质子仍沿中心线 O1O2从左侧 O1点射入，欲使质子从两板间左侧飞出，射入的速度应满足什么条件。参考答案：（1） （2） （3）试题解析：（1）设质子从左侧 O1点射入的速度为 v0，极板长为 L，在复合场中做匀速运动，电场力等于洛伦兹力 ，又因 ，则有质子在电场中做类平抛运动，设类平抛运动的时间为 t，则联立 ，可得6则从极板间飞出时的速度
8、大小：（3）设质子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 r，质子恰好从上极板左边缘飞出时速度的偏转角为 ，由几何关系可知： = =45，因为 ，所以根据向心力公式 ，解得：所以质子从两板左侧间飞出的条件为 三、带电粒子在洛伦兹力作用下运动的多解问题类型 分析带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解如图，带电粒子以速度 v 进入匀强磁场中；如带正电，其轨迹为 a，如带负电，其轨迹为 b磁场方向不确定只知道磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解如图，带正电的
9、粒子以速度 v 进入匀强磁场，若 B垂直纸面向里，其轨迹为 a，若 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过 180从入射界面这边反向飞出，于是形成多解7运动具有不唯一带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间内运动时，往往运动具有周期性，因而形成多解【例题 3】（2018云南省建水县高三四校联考）如图所示，在边长为 L 的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为 B.在正方形对角线 CE 上有一点P，其到 CF， CD 距离均为 ，且在 P 点处有一个发射正离子的装置，能连续不
10、断地向纸面内的各方向发射出速率不同的正离子已知离子的质量为 m，电荷量为 q，不计离子重力及离子间相互作用力（1）速率在什么范围内的所有离子均不可能射出正方形区域？（2）求速率为 v 的离子在 DE 边的射出点距离 D 点的范围参考答案：（1） （2）8由几何关系得：R2（ x ） 2（ R ） 2计算可得 x L9R2（ LR） 2（ d2 ） 2解得 d2故速率为 v 的离子在 DE 边的射出点距离 D 点的范围为四、求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带
11、电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（1）带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；（2）射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。1两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。2两种方法一是物理方法：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。二是数学方法：（1）利用三角函数求极值；（2）利用二次方程的判别式求极值；
12、10（3）利用不等式的性质求极值；（4）利用图像法等。3从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。【例题 4】如图所示，宽 x=2 cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里，现有一群带正电的粒子从 O 点以相同的速率沿纸面以不同的方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径均为 r=5 cm，则A右边界：-4 cm4 cm 和 y8 cm 有粒子射出D左边界：0F2， a1=a2B F1F2， a1a2D F10）。粒
13、子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成 30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为A BC D20（2018江苏卷）如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为 4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为 2d，中轴线与磁场区域两侧相交于 O、 O点，各区域磁感应强度大小相等某粒子质量为 m、电荷量为+ q，从 O 沿轴线射入磁场当入射速度为 v0时，粒子从 O 上方 处射出磁场取 sin53=0.8，cos53=0.6。20（1）求磁感应强度大小 B；
14、（2）入射速度为 5v0时，求粒子从 O 运动到 O的时间 t；（3）入射速度仍为 5v0，通过沿轴线 OO平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从 O 运动到 O的时间增加 t，求 t 的最大值。21（2018天津卷）如图所示，在水平线 ab 下方有一匀强电场，电场强度为 E，方向竖直向下， ab 的上方存在匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为 R、 的半圆环形区域，外圆与 ab 的交点分别为 M、 N。一质量为 m、电荷量为 q 的带负电粒子在电场中 P 点静止释放，由 M 进入磁场，从 N 射出，不计粒子重力。（1）求粒子从 P 到 M 所用的时间
15、t；（2）若粒子从与 P 同一水平线上的 Q 点水平射出，同样能由 M 进入磁场，从 N 射出，粒子从 M 到 N 的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q 时速度 的大小。22（2018新课标全国 III 卷）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压 U 加速后在纸面内水平向右运动，自 M 点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为 v1，并在磁场边界的 N 点射出；乙种离子在 MN 的中点射出； MN 长为 l。不计重力影响和离子间的相互作用。求： 21（1）磁场的磁感应强度大小；（2）甲、乙两种离
16、子的比荷之比。23 （ 2018新 课 标 全 国 I 卷 ） 如 图 ， 在 y0 的 区 域 存 在 方 向 沿 y 轴 负 方 向 的 匀 强 电 场 ，场 强 大 小 为 E， 在 yF2，A 正确，B 错误。【名师点睛】洛伦兹力方向的特点（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。（3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力方向时，要注意判断结果与正电荷恰好相反。（4）洛伦兹力对运动电荷（或带电体）不做功，不改变速度的大小，但它可改变运动电荷（或带电体）速度的方向，影响带电体所受其他力的大小，影
17、响带电体的运动时间等。23【名师点睛】本题考查了粒子在磁场中的运动，应用牛顿第二定律以及几何知识即可正确解题。5CD【解析】 a 粒子是 30入射的，而 b 粒子是 60入射的，由于从 B 点射出，则 a 粒子受到的洛伦兹力方向沿 b 粒子速度方向，而 b 粒子受到的洛伦兹力方向沿 a 粒子速度方向，由磁场方向，得 a 粒子带负电，而 b 粒子带正电，故 A 错误；如图连接AB， AB 连线是两粒子的运动圆弧对应的弦，则弦的中垂线（红线）与各自速度方向的垂直线（虚线）的交点即为各自圆心。两圆心的连线与两个半径构成一个角为 30，另一个为 60的直角三角形，根据几何关系，则有两半径相比为 ，故B
18、 错误；根据 可知 ，则两粒子所带的电量之比，故 C 正确；根据 可知 ， a 粒子圆弧对应的圆心角为 120，而 b 粒子圆弧对应的圆心角为 60，则 ，故 D 正确。246BD【解析】导体的电子定向移动形成电流，电子的运动方向与电流方向相反，电流方向向右，则电子向左运动由左手定则判断，电子会偏向上表面，下表面上出现等量的正电荷，电场线向上，导体上表面的电势小于下表面的电势，故 A 错误；当电场力与洛伦兹力平衡时，则有 ，得 U=hvB，导体中通过的电流为 I=nevdh，由 得 ， 解 得 ： ， 故 B 正 确 ； 电 子 所 受 静 电 力 的 大 小 为 ： F 静 =eE=eU/h
19、，故C 错误；电子所受的洛伦兹力的大小为： F 洛 =eBv，故 D 正确。【名师点睛】所谓霍尔效应，是指磁场作用于载流金属导体、半导体中的载流子时，产生横向电位差的物理现象。霍尔效应在新课标教材中作为课题研究材料，解答此题所需的知识都是考生应该掌握的。对于开放性物理试题，要有较强的阅读能力和获取信息能力。9D【解析】进入 B0的粒子满足 ，知道粒子电荷量后，便可求出 m 的质量，所以25质谱仪可以用来分析同位素，故 A 正确；假设粒子带正电，则受电场力向右，由左手定则可判断磁场方向垂直直面向外，故 B 正确；由 ，得 ，此时离子受力平衡，可沿直线穿过选择器，故 C 正确；由 ，知 R 越小，
20、荷质比越大，故 D 错误。【名师点睛】质谱仪工作原理应采取分段分析的方法，即粒子加速阶段，速度选择阶段，在磁场中运动阶段。带电粒子经加速后进入速度选择器，速度为 粒子可通过选择器，然后进入 B0，打在 S 板的不同位置。11B【解析】粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场区域的最大速度粒子沿圆弧从 B 到 A，恰与环状域外圆相切，如图所示： 为轨迹圆心。设 AO= BO= r，由几何关系得 ，由牛顿第二定律可知： ，解得： ，联立解得： ，故 B 正确，ACD 错误。12C【解析】粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 ，解得，当粒子的轨迹与屏幕相切时为临界情况，即打到荧屏上的边界，找
21、到圆心26O（到 S 点的距离与到 MN 的距离相等的点），如图所示，由几何知识知，设粒子打在荧屏上最左侧的 C 点，则，则范围的长度为 x1+x2=20 cm；故选 C。【名师点睛】1、本题是一道关于带电粒子在磁场中的运动的题目，结合牛顿第二定律得到粒子圆周运动的半径是关键；2、经分析知，粒子能打在荧屏上的临界情况是轨迹与 MN 相切；3、先根据牛顿第二定律计算出粒子圆周运动的半径，然后根据几何关系求解。（2）设粒子从 OA 边两个不同位置射入磁场，能从 OC 边上的同一点 P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图（a）所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为 1和 2。由几何关系有 1=180
22、2粒子两次在磁场中运动的时间分别为 t1与 t2，则 t1+t2= =2t027（3）如图（b），由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为150。设 O为圆弧的圆心，圆弧的半径为 r0，圆弧与 AC 相切与 B 点，从 D 点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有 OOD= BOA=30r0cos OOD+ =L设粒子此次入射速度的大小为 v0，由圆周运动规律联立解得14（1）小球在细杆上做加速越来越小的减速运动最后匀速运动可得：（2） 平均速度方向由 P 点指向 M 点（3） （4）（1）小球在细杆上做加速度越来越小的减速运动，最后匀速运动。28由 得小球以 v2竖直向
23、上过 MP，在 PMN 中匀速直线运动，再以 v2竖直过 MN，当小球的加速度为零时，重力势能变化量最大为 （4）当 B0取最小值时 v 最大，在电磁场中运动半径最大，小球能由 PQ 射出，有几何关系可知，半径由 得在细杆上有15C【解析】由题可知，当带电粒子在复合场内做匀速直线运动，即 ，则 ，若仅撤除电场，粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，说明要满足题意需要对磁场与电场的方向以及强弱程度都要有要求，例如：电场方向向下，磁场方向垂直纸面向里等，但是对电性和电量无要求，故选项 C 正确，ABD 错误。29【名师点睛】本题考查了带电粒子在复合场中的运动，实际上是考查了速度选择器的相关知识，注
24、意当粒子的速度与磁场不平行时，才会受到洛伦兹力的作用，所以对电场和磁场的方向有要求的。【名师点睛】此题是带电粒子在有界磁场中的运动问题；解题时关键是要画出粒子运动的轨迹草图，知道能打到最远处的粒子运动的弧长是半圆周，结合几何关系即可求解。18A【解析】作出粒子的运动轨迹，由几何知识可得，轨迹的圆心角为 ，两个运动具有等时性，则 ，解得 ，故选 A。【名师点睛】此题考查带电粒子在匀强磁场中的运动问题；解题时必须要画出规范的粒子运动的草图，结合几何关系找到粒子在磁场中运动的偏转角，根据两个运动的等时性求解未知量；此题难度中等，意在考查考生对物理知识与数学知识的综合能力。3019D【解析】根据题意，
25、粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，则轨迹与 ON 相切，设切点为 C 点，入射点为 D 点，出射点为 A 点，粒子在磁场中的轨迹圆心为 点，根据几何知识可得 ，则三角形 AB 为等边三角形，故 AB=60，而 MON=30， OCA=90，故 C A 为一条直线，所以 AOC 为直角三角形，故粒子离开磁场的出射点到 O 的距离为 ，而半径公式 ，故距离为 ，D 正确。【方法技巧】带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式 ，周期公式 ，运动时间公式 ，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题。则（3）将中间两磁场分别向中央移动距离 x粒子向上的偏移量 y=2r（1cos ）+ xtan由 y2 d，解得则当 xm= 时， t 有最大值
