1、1二次函数一.选择题1. （2018湖北随州3 分）如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于 A.B两点，与 y轴交于点 C对称轴为直线 x=1直线 y=x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c交于 C.D两点，D 点在 x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：2a+b+c0；ab+c0；x（ax+b）a+b；a1其中正确的有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】利用抛物线与 y轴的交点位置得到 c0，利用对称轴方程得到 b=2a，则 2a+b+c=c0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x轴的另一个交点在点（1，0）右侧，则当 x=1 时，y0，
2、于是可对进行判断；根据二次函数的性质得到 x=1时，二次函数有最大值，则 ax2+bx+ca+b+c，于是可对进行判断；由于直线 y=x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c交于 C.D两点，D 点在 x轴下方且横坐标小于 3，利用函数图象得 x=3时，一次函数值比二次函数值大，即 9a+3b+c3+c，然后把 b=2a 代入解 a的不等式，则可对进行判断【解答】解：抛物线与 y轴的交点在 x轴上方，c0，抛物线的对称轴为直线 x= =1，b=2a，2a+b+c=2a2a+c=c0，所以正确；抛物线与 x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x轴的另一个交点在
3、点（1，0）右侧，当 x=1 时，y0，ab+c0，所以正确；2x=1 时，二次函数有最大值，ax 2+bx+ca+b+c，ax 2+bxa+b，所以正确；直线 y=x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c交于 C.D两点，D 点在 x轴下方且横坐标小于 3，x=3 时，一次函数值比二次函数值大，即 9a+3b+c3+c，而 b=2a，9a6a3，解得 a1，所以正确故选：A【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解也考查了二次函数图象与系数的关系2. （2018湖北襄阳3 分）已知二次函数 y=x2x+ m1
4、 的图象与 x轴有交点，则 m的取值范围是（ ）Am5 Bm2 Cm5 Dm2【分析】根据已知抛物线与 x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可【解答】解：二次函数 y=x2x+ m1 的图象与 x轴有交点，=（1） 241（ m1）0，解得：m5，故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点，能根据题意得出关于 m的不等式是解此题的关键3.（2018山东东营市3 分）如图所示，已知ABC 中，BC=12，BC 边上的高 h=6，D 为 BC上一点，EFBC，交 AB于点 E，交 AC于点 F，设点 E到边 BC的距离为 x则DEF 的面积 y关于 x的函数图象大致为（ ）3A B C D
5、分析】可过点 A向 BC作 AHBC 于点 H，所以根据相似三角形的性质可求出 EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案【解答】解：过点 A向 BC作 AHBC 于点 H，所以根据相似比可知： = ，即 EF=2（6x）所以 y= 2（6x）x=x 2+6x （0x6）该函数图象是抛物线的一部分，故选：D【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象4.（2018山东烟台市3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） 下列
6、结论：2ab=0；（a+c） 2b 2；当1x3 时，y0；当 a=1时，将抛物线先向上平移 2个单位，再向右平移 1个单位，得到抛物线 y=（x2） 22其中正确的是（ ）A B C D【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案【解答】解：图象与 x轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，二次函数的图象的对称轴为 x= =14 =12a+b=0，故错误；令 x=1，y=ab+c=0，a+c=b，（a+c） 2=b2，故错误；由图可知：当1x3 时，y0，故正确；当 a=1时，y=（x+1） （x3）=（x1） 24将抛物线先向上平移 2个单位，再向右平移 1个单位，得到抛物线 y
7、x11） 24+2=（x2） 22，故正确；故选：D【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型5.（2018上海4 分）下列对二次函数 y=x2x 的图象的描述，正确的是（ ）A开口向下 B对称轴是 y轴C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的【分析】A.由 a=10，可得出抛物线开口向上，选项 A不正确；B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B不正确；C.代入 x=0求出 y值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C正确；D.由 a=10 及抛物线对称轴为直线 x= ，利用二次函数的性质，可得出当 x 时，y
8、随 x值的增大而增大，选项 D不正确综上即可得出结论【解答】解：A.a=10，抛物线开口向上，选项 A不正确；B. = ，抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B不正确；C.当 x=0时，y=x 2x=0，抛物线经过原点，选项 C正确；D.a0，抛物线的对称轴为直线 x= ，5当 x 时，y 随 x值的增大而增大，选项 D不正确故选：C【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键6.（2018达州3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于点 A（1，0） ，与 y轴的交点 B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点
9、 ，对称轴为直线 x=2下列结论：abc0；9a+3b+c0；若点 M（ ，y 1） ，点 N（ ，y 2）是函数图象上的两点，则y1y 2； a 其中正确结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【解答】解：由开口可知：a0，对称轴 x= 0，b0，由抛物线与 y轴的交点可知：c0，abc0，故正确；抛物线与 x轴交于点 A（1，0） ，对称轴为 x=2，抛物线与 x轴的另外一个交点为（5，0） ，x=3 时，y0，9a+3b+c0，故正确；由于 2 ，且（ ，y 2）关于直线 x=2的对称点的坐标为（ ，y 2） ， ，6y 1y
10、 2，故正确， =2，b=4a，x=1，y=0，ab+c=0，c=5a，2c3，25a3， a ，故正确故选：D【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型7.（2018遂宁4 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）A BC D【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线的对称轴在直线 x=1的右侧得到 b0，b2a，即b+2a0，利用抛物线与 y轴交点在 x轴下方得到 c0，也可判断 abc0，利用抛物线与 x轴有 2个交点可判断 b24ac0，利用 x=1可判断 a+b+c0，利用上述结
11、论可对各选项进行判断【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在直线 x=1的右侧，x= 1，7b0，b2a，即 b+2a0，抛物线与 y轴交点在 x轴下方，c0，abc0，抛物线与 x轴有 2个交点，=b 24ac0，x=1 时，y0，a+b+c0故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置：当a与 b同号时，对称轴在 y轴左； 当 a与 b异号时，对称轴在 y轴右常数项 c决定抛物线与 y轴交点：抛物线与 y轴交于（0，c） 抛
12、物线与 x轴交点个数由判别式确定：=b 24ac0 时，抛物线与 x轴有 2个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x轴有 1个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x轴没有交点8. （2018资阳3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有 A.B.c三个字母的等式或不等式： =1；ac+b+1=0 ；abc0；ab+c0其中正确的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a0，1c0，b0，再对各结论进行判断【解答】解： =1 ，抛物线顶点纵坐标为1 ，正确；ac+b+1=0，
13、设 C（0，c） ，则 OC=|c|，OA=OC=|c|，A（c，0）代入抛物线得 ac2+bc+c=0，又 c0，ac+b+1=0，故正确；abc0，从图象中易知 a0，b0，c0，故正确；ab+c0，当 x=1 时 y=ab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质89. （2018杭州3 分）四位同学在研究函数 （b，c 是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 时，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲
14、 B. 乙C. 丙 D.丁【答案】B 【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值 【解析】 【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）设抛物线的解析式为：y=a（x-1） 2+3a+3=4解之：a=1抛物线的解析式为：y=（x-1） 2+3=x2-2x+4当 x=-1时，y=7，乙说法错误故答案为：B【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4） ，因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。10 （2018临安3 分）抛物线 y=3（ x1） 2+1的顶点坐标是（ ）A （
15、1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1）【分析】已知抛物线顶点式 y=a（ x h） 2+k，顶点坐标是（ h， k） 【解答】解：抛物线 y=3（ x1） 2+1是顶点式，顶点坐标是（1，1） 故选 A【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易11. （2018湖州3 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 M， N的坐标分别为（1，2） ， （2，1） ，若抛物线 y=ax2 x+2（ a0）与线段 MN有两个不同的交点，则 a的取值范围是（ ）A. a1 或 a B. aC. a 或 a D. a1 或 a【答案】 A【解析】分析：根据二次函数的性
16、质分两种情形讨论求解即可；详解：抛物线的解析式为 y=ax2-x+29观察图象可知当 a0 时， x=-1时， y2 时，满足条件，即 a+32，即 a-1；当 a0 时， x=2时， y1，且抛物线与直线 MN有交点，满足条件， a ，直线 MN的解析式为 y=- x+ ，由 ，消去 y得到，3 ax2-2x+1=0，0， a ， a 满足条件，综上所述，满足条件的 a的值为 a-1 或 a ，故选：A点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型12. （2018贵州安顺3 分） 已知二次函数
17、 的图象如图，分析下列四个结论： ； ； ； .其中正确的结论有（ ）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【解析】试题解析：由开口向下，可得 又由抛物线与 y轴交于正半轴，可得 10再根据对称轴在 y轴左侧，得到与同号，则可得 故错误；由抛物线与 x轴有两个交点，可得 故正确；当 时， 即 （1）当 时， ,即 （2）（1）+（2）2 得， 即 又因为所以 故错误；因为 时， 时， 所以 即 所以 故正确，综上可知，正确的结论有 2个.故选 B13. （2018广西玉林3 分）如图，一段抛物线 y=x2+4（2x2）为 C1，与 x轴交于 A0，A1 两点，顶点为 D1；将 C1绕点 A1
18、旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C1 与 C2组成一个新的图象，垂直于 y轴的直线l与新图象交于点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，与线段 D1D2交于点 P3（x3，y3） ，设 x1，x2，x3 均为正数，t=x1+x2+x3，则 t的取值范围是（ ）A6t8 B6t8 C10t12 D10t12【分析】首先证明 x1+x2=8，由 2x34，推出 10x1+x2+x312 即可解决问题；【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为 y=（x4）24=x28x+12，设 x1，x2，x3 均为正数，点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2
19、8，2x34，10x1+x2+x312 即 10t12，故选：D14. （2018广西南宁3 分）将抛物线 y= x26x+21 向左平移 2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）11Ay= （x8） 2+5 By= （x4） 2+5 Cy= （x8） 2+3 Dy= （x4） 2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案【解答】解：y= x26x+21= （x 212x）+21= （x6） 236+21= （x6） 2+3，故 y= （x6） 2+3，向左平移 2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y= （x4） 2+3故选：D【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换
20、正确配方将原式变形是解题关键15. （2018黑龙江大庆3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过点 A（1，0） 、点 B（3，0） 、点C（4，y 1） ，若点 D（x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数 y=ax2+bx+c的最小值为4a；若1x 24，则 0y 25a；若 y2y 1，则 x24；一元二次方程 cx2+bx+a=0的两个根为1 和其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】利用交点式写出抛物线解析式为 y=ax22ax3a，配成顶点式得 y=a（x1） 24a，则可对进行判断；计算 x=4时，y=a51=5a，则根据二次函数的
21、性质可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于 b=2a，c=3a，则方程 cx2+bx+a=0化为3ax 22ax+a=0，然后解方程可对进行判断【解答】解：抛物线解析式为 y=a（x+1） （x3） ，12即 y=ax22ax3a，y=a（x1） 24a，当 x=1时，二次函数有最小值4a，所以正确；当 x=4时，y=a51=5a，当1x 24，则4ay 25a，所以错误；点 C（1，5a）关于直线 x=1的对称点为（2，5a） ，当 y2y 1，则 x24 或 x2，所以错误；b=2a，c=3a，方程 cx2+bx+a=0化为3ax 22ax+a=0，整理得 3x2+2x
22、1=0，解得 x1=1，x 2= ，所以正确故选：B16. （2018黑龙江哈尔滨3 分）将抛物线 y=5x 2+1向左平移 1个单位长度，再向下平移 2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay=5（x+1） 21 By=5（x1） 21 Cy=5（x+1） 2+3 Dy=5（x1） 2+3【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案【解答】解：将抛物线 y=5x 2+1向左平移 1个单位长度，得到 y=5（x+1） 2+1，再向下平移 2个单位长度，所得到的抛物线为：y=5（x+1） 21故选：A【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键17. （
23、2018黑龙江齐齐哈尔3 分）抛物线 C1：y 1=mx24mx+2n1 与平行于 x轴的直线交于 A.B两点，且 A点坐标为（1，2） ，请结合图象分析以下结论：对称轴为直线 x=2；抛物线与 y轴交点坐标为（0，1） ；m ；若抛物线 C2：y 2=ax2（a0）与线段 AB恰有一个公共点，则 a的取值范围是a 2；不等式 mx24mx+2n0 的解作为函数 C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（ ）13A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】利用抛物线对称轴方程可判定；与 y轴相交设 x=0，问题可解；当抛物线过 A（1，2）时，带入可以的到 2n=35
24、m，函数关系式中只含有参数 m，由抛物线与 x轴有两个公共点，则由一元二次方程根的判别式可求；求出线段 AB端点坐标，画图象研究临界点问题可解；把不等式问题转化为函数图象问题，答案易得【解答】解：抛物线对称轴为直线 x= 故 正确；当 x=0时，y=2n1 故错误；把 A点坐标（1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n1整理得：2n=35m带入 y1=mx24mx+2n1整理的：y 1=mx24mx+25m由已知，抛物线与 x轴有两个交点则：b 24ac=（4m） 24m（25m）0整理得：36m 28m0m（9m2）0m09m20即 m 故错误；由抛物线的对称性，点 B坐标为（5，2）
25、当 y2=ax2的图象分别过点 A.B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a 的值分别为 a=2.a=a的取值范围是 a2；故正确；不等式 mx24mx+2n0 的解可以看做是，抛物线 y1=mx24mx+2n1 位于直线 y=1 上方的部分，其此时x的取值范围包含在使 y1=mx24mx+2n1 函数值范围之内故正确；故选：B【点评】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与 x轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式18. （2018湖北省恩施3 分）抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为直线 x=1，部分图象如图所示，下列
26、判断14中：abc0；b 24ac0；9a3b+c=0；若点（0.5，y 1） ， （2，y 2）均在抛物线上，则 y1y 2；5a2b+c0其中正确的个数有（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据二次函数的性质一一判断即可【解答】解：抛物线对称轴 x=1，经过（1，0） ， =1，a+b+c=0，b=2a，c=3a，a0，b0，c0，abc0，故错误，抛物线与 x轴有交点，b 24ac0，故正确，抛物线与 x轴交于（3，0） ，9a3b+c=0，故正确，点（0.5，y 1） ， （2，y 2）均在抛物线上，1.52，则 y1y 2；故错误，5a2b+c=5a4a3a=2a0，故正确，故选：B
27、点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型152x2x2(x2(x18. （ 2018广 西 北 海 3分 ） 将 抛 物 线 y 1 26 x21 向 左 平 移 2 个 单 位 后 ， 得 到 新 抛 物 线 的 解 析 式 为A. y 1 8) 25 B. y 14) 252(x 2(xC. y 1 8) 23 D. y 14) 232(x【答案】D2(x【考点】配方法；函数图像的平移规律；点的平移规律；【解析】方法 1：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移。抛物线 y 1 26 x21 可配方12(x6) 2
28、3，顶点坐标为(6,3)因为图形向左平移 2 个单位，所以顶点向左平移 2 个单 位 ， 即 新 的 顶 点 坐 标 变 为 (4,3)， 而 开 口 大 小 不 变 ， 于 是 新 抛 物 线 解 析 式 为 y 1 4) 23方法2：直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移2个单位，即原来解析式 中 所 有 的 “x”均 要 变 为 “x2” ， 于 是 新 抛 物 线 解 析 式 为 y 1 2) 26( x2)21，整理成 y16得 y 1 24 x11，配方后得 y 1 4) 232x 2(x【 点 评 】 本 题 可 运 用 点 的 平 移 规 律 ， 也 可 运 用
29、函 数 图 像 平 移 规 律 ， 但 要 注 意 的 是 二 者 的 区 别 ： 其 中 点 的 平 移规 律 是 上 加 下 减 ， 左 减 右 加 ； 而 函 数 图 像 的 平 移 规 律 是 上 加 下 减 ， 左 加 右 减 。19.（2018广西贵港3 分）如图，抛物线 y= （x+2） （x8）与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，顶点为 M，以 AB为直径作D下列结论：抛物线的对称轴是直线 x=3；D 的面积为 16；抛物线上存在点 E，使四边形 ACED为平行四边形；直线 CM与D 相切其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据抛物线的解析式得出
30、抛物线与 x轴的交点 A.B坐标，由抛物线的对称性即可判定；求得D 的直径 AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，过点 C作 CEAB，交抛物线于 E，如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线 CM、直线 CD的解析式通过它们的斜率进行判定【解答】解：在 y= （x+2） （x8）中，当 y=0时，x=2 或 x=8，点 A（2，0） 、B（8，0） ，抛物线的对称轴为 x= =3，故正确；D 的直径为 8（2）=10，即半径为 5，D 的面积为 25，故错误；在 y= （x+2） （x8）= x2 x4 中，当 x=0时 y=4，点 C（0，4
31、 ，当 y=4 时， x2 x4=4，17解得：x 1=0、x 2=6，所以点 E（6，4） ，则 CE=6，AD=3（2）=5，ADCE，四边形 ACED不是平行四边形，故错误；y= x2 x4= （x3） 2 ，点 M（3， ） ，设直线 CM解析式为 y=kx+b，将点 C（0，4） 、M（3， ）代入，得： ，解得： ，所以直线 CM解析式为 y= x4；设直线 CD解析式为 y=mx+n，将点 C（0，4） 、D（3，0）代入，得： ，解得： ，所以直线 CD解析式为 y= x4，由 =1 知 CMCD 于点 C，直线 CM与D 相切，故正确；故选：B【点评】本题考查了二次函数的综
32、合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等20.（2018贵州贵阳3分）已知二次函数 y x 2 x 6 及一次函数 y x m 将该二次函数在 x 轴上方的图像沿 x 轴翻折到 x 轴下方， 图像的其余部分不变， 得到一个新函数 （如图所 示 ， 当直线 y x m 与新图18像有 4 个交点时， m 的取值范 围是（ D ）（ A） 25 m 34（ B） 25 m 24（ C） 2 m 3（ D） 6 m 2【解 】图解19故选 D21. （2018 湖南长沙 3.00分）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+
33、ax2a 总不经过点P（x 03，x 0216） ，则符合条件的点 P（ ）A有且只有 1个 B有且只有 2个 C有且只有 3个 D有无穷多个【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点 P（x 03，x 0216） ，即可求得点 P的坐标，从而可以解答本题【解答】解：对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点 P（x 03，x 0216） ，x 0216a（x 03） 2+a（x 03）2a（x 04） （x 0+4）a（x 01） （x 04）（x 0+4）a（x 01）x 0=4 或 x0=1，点 P的坐
34、标为（7，0）或（2，15）故选：B【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答22.（2018上海4 分）下列对二次函数 y=x2x 的图象的描述，正确的是（ ）A开口向下 B对称轴是 y轴C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的【分析】A.由 a=10，可得出抛物线开口向上，选项 A不正确；B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B不正确；20C.代入 x=0求出 y值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C正确；D.由 a=10 及抛物线对称轴为直线 x= ，利用二次函数的性质，可得出当 x 时，y 随 x值的增大而增大，
35、选项 D不正确综上即可得出结论【解答】解：A.a=10，抛物线开口向上，选项 A不正确；B. = ，抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B不正确；C.当 x=0时，y=x 2x=0，抛物线经过原点，选项 C正确；D.a0，抛物线的对称轴为直线 x= ，当 x 时，y 随 x值的增大而增大，选项 D不正确故选：C【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键23. （2018达州3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于点 A（1，0） ，与 y轴的交点 B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点） ，对称轴为直线
36、x=2下列结论：abc0；9a+3b+c0；若点 M（ ，y 1） ，点 N（ ，y 2）是函数图象上的两点，则y1y 2； a 其中正确结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【解答】解：由开口可知：a0，21对称轴 x= 0，b0，由抛物线与 y轴的交点可知：c0，abc0，故正确；抛物线与 x轴交于点 A（1，0） ，对称轴为 x=2，抛物线与 x轴的另外一个交点为（5，0） ，x=3 时，y0，9a+3b+c0，故正确；由于 2 ，且（ ，y 2）关于直线 x=2的对称点的坐标为（ ，y 2） ， ，y 1y 2，故正确， =
37、2，b=4a，x=1，y=0，ab+c=0，c=5a，2c3，25a3， a ，故正确故选：D【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型24. （2018遂宁4 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）22A BC D【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线的对称轴在直线 x=1的右侧得到 b0，b2a，即b+2a0，利用抛物线与 y轴交点在 x轴下方得到 c0，也可判断 abc0，利用抛物线与 x轴有 2个交点可判断 b24ac0，利用 x=1可判断 a+b+c0，利用上述结论可对各选
38、项进行判断【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在直线 x=1的右侧，x= 1，b0，b2a，即 b+2a0，抛物线与 y轴交点在 x轴下方，c0，abc0，抛物线与 x轴有 2个交点，=b 24ac0，x=1 时，y0，a+b+c0故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置：当a与 b同号时，对称轴在 y轴左； 当 a与 b异号时，对称轴在 y轴右常数项 c决定抛物线与 y轴交点：抛物线与 y轴交于（0，c） 抛物线与 x轴
39、交点个数由判别式确定：=b 24ac0 时，抛物线与 x轴有 2个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x轴有 1个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x轴没有交点25. （2018资阳3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含23有 A.B.c三个字母的等式或不等式： =1；ac+b+1=0 ；abc0；ab+c0其中正确的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a0，1c0，b0，再对各结论进行判断【解答】解： =1 ，抛物线顶点纵坐标为1 ，正确；ac+b+1=0，设 C
40、0，c） ，则 OC=|c|，OA=OC=|c|，A（c，0）代入抛物线得 ac2+bc+c=0，又 c0，ac+b+1=0，故正确；abc0，从图象中易知 a0，b0，c0，故正确；ab+c0，当 x=1 时 y=ab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质二.填空题1. （2018乌鲁木齐4 分）把拋物线 y=2x24x+3 向左平移 1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得【解答】解：y=2x 24x+3=2（x1） 2
41、1，向左平移 1个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2（x+11） 2+1=2x2+1，故答案为：y=2x 2+1【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减” 2.（2018江苏淮安3 分）将二次函数 y=x21 的图象向上平移 3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 y=x 2+2 【分析】先确定二次函数 y=x21 的顶点坐标为（0，1） ，再根据点平移的规律得到点（0，1）平移后所得对应点的坐标为（0，2） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：二次函数 y=x21 的顶点坐标为（0，1） ，把点（0，1）向
42、上平移 3个单位长度所得对应24点的坐标为（0，2） ，所以平移后的抛物线解析式为 y=x2+2故答案为：y=x 2+2【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式3.（2018江苏苏州3 分 ）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB上的一个动点，分别以 AP，PB 为边在 AB的同侧作菱形 APCD和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，DAP=60M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点当点
43、P在线段 AB上移动时，点 M，N 之间的距离最短为 2 （结果留根号） 【分析】连接 PM、PN首先证明MPN=90设 PA=2a，则 PB=82a，PM=a，PN= （4a） ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接 PM、PN四边形 APCD，四边形 PBFE是菱形，DAP=60，APC=120，EPB=60，M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点，CPM= APC=60，EPN= EPB=30，MPN=60+30=90，设 PA=2a，则 PB=82a，PM=a，PN= （4a） ，MN= = = ，a=3 时，MN 有最小值，最小值为 2 ，故答案为 2 【
44、点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题4. （2018乌鲁木齐4 分）把拋物线 y=2x24x+3 向左平移 1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得25【解答】解：y=2x 24x+3=2（x1） 2+1，向左平移 1个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2（x+11） 2+1=2x2+1，故答案为：y=2x 2+1【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减” 5. （2018湖州4 分）如
45、图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y=ax2+bx（a0）的顶点为 C，与 x轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y=ax2（a0）交于点 B若四边形 ABOC是正方形，则 b的值是 2 【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点 B的坐标为（ ， ） ，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于 b的方程，解之即可得出结论【解答】解：四边形 ABOC是正方形，点 B的坐标为（ ， ） 抛物线 y=ax2过点 B， =a（ ） 2，解得：b 1=0（舍去） ，b 2=2故答案为：2【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于 b的方程是解题的关键6. （2018黑龙江哈尔滨3 分）抛物线 y=2（x+2） 2+4的顶点坐标为 （2，4） 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标【解答】解：y=2（x+2） 2+4，该抛物
