1、1图形的展开与叠折一.选择题（2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市3 分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）A三棱柱 B三棱锥 C圆柱 D圆锥【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱故选：A【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解一.选择题2.（2018江苏徐州2 分）下列平面展开图是由 5 个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是（ ）A B C D【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，C，D 选项
2、可以拼成一个正方体，而 B 选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图故选：B【点评】解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形3.（2018江苏无锡3 分）下面每个图形都是由 6 个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）2A B C D【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题能组成正方体的“一，四，一” “三，三”“二，二，二” “一，三，二”的基本形态要记牢【解答】解：能折叠成正方体的是故选：C【点评】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，熟练正方体的展开图是解题的关键4. （2018遂宁4 分）如图，5 个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的
3、主视图是（ ）A B C D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形， 故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图5. （2018资阳3 分）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（ ）3A B C D【分析】找到从正面看所得到的图形即可【解答】解：从正面看可得从左往右 2 列正方形的个数依次为 2，1，故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图6. （2018乌鲁木齐4 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A长方体 B正方体 C三棱柱 D圆
4、柱【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得【解答】解：A.长方体的三视图均为矩形，不符合题意；B.正方体的三视图均为正方形，不符合题意；C.三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意；D.圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆，不符合题意；故选：C【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图7. （2018湖州3 分）如图，已知在ABC 中，BAC90，点 D 为 BC 的中点，点 E 在AC 上，将CDE 沿 DE 折叠，使得点 C 恰好落在 BA 的延长线上的点 F 处，连结 AD，则下列结论不一定正确的是（ ）A. AE=EF B. AB
5、=2DEC. ADF 和ADE 的面积相等 D. ADE 和FDE 的面积相等【答案】C【解析】分析：先判断出BFC 是直角三角形，再利用三角形的外角判断出 A 正确，进而判断出 AE=CE，得出 CE 是ABC 的中位线判断出 B 正确，利用等式的性质判断出 D 正确详解：如图，连接 CF，点 D 是 BC 中点，4 BD=CD，由折叠知， ACB= DFE， CD=DF， BD=CD=DF， BFC 是直角三角形， BFC=90， BD=DF， B= BFD， EAF= B+ ACB= BFD+ DFE= AFE， AE=EF，故 A 正确，由折叠知， EF=CE， AE=CE， BD=C
6、D， DE 是 ABC 的中位线， AB=2DE，故 B 正确， AE=CE， S ADE=S CDE，由折叠知， CDE FDE， S CDE=S FDE， S ADE=S FDE，故 D 正确， C 选项不正确，故选：C点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键8. （2018嘉兴3 分）将一张正方形纸片按如图步骤,沿虚线对折两次,然后沿中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ）A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）【答案】A【解析】 【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点
7、一定5在正方形的对角线上, 根据的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选 A【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键9. （2018黑龙江大庆3 分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（ ）A庆 B力 C大 D魅【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相
8、隔一个正方形，“建”与“力”是相对面，“创”与“庆”是相对面，“魅”与“大”是相对面故选：A10. （2018遂宁4 分）如图，5 个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主视图是（ ）A B C D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形， 故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图11. （2018资阳3 分）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（ ）6A B C D【分析】找到从正面看所得到的图形即可【解答】解：从正面看可得从左往右 2 列正方形的个数依次为 2
9、，1，故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图12. （2018乌鲁木齐4 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A长方体 B正方体 C三棱柱 D圆柱【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得【解答】解：A.长方体的三视图均为矩形，不符合题意；B.正方体的三视图均为正方形，不符合题意；C.三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意；D.圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆，不符合题意；故选：C【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图二.填空题1. （2018湖南郴州3 分）如图，圆锥的母线长为 10c
10、m，高为 8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇 形）的弧长为 12 cm （结果用 表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解【解答】解：设底面圆的半径为 rcm，由勾股定理得：r= =6，2r=26=12，7故答案为：12【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般2.（2018江苏徐州3 分）如图，RtABC 中，B=90，AB=3cm，AC=5cm，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于 7 cm【分析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据翻折的性质，可得 AE 与 CE
11、 的关系，根据三角形的周长公式，可得答案【解答】解：在 RtABC 中，B=90，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得 BC= =4由翻折的性质，得 CE=AEABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7故答案为：7【点评】本题考查了翻折的性质，利用了勾股定理，利用翻折的性质得出 CE 与 AE 的关系是阶梯关键，又利用了等量代换3.（2018山东东营市3 分）如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A B C D【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用
12、两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A.C 的最短距离为线段 AC 的长在 RtADC 中，ADC=90，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5，所以 AC= ，8故选：C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答4.（2018临安3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分） ，经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方
13、形，添加的正方形用阴影表示） 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题【解答】解： ，故答案为： 【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平我们有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操9作题型时就束手无策了5. （2018黑龙江大庆3 分）已知圆柱的底面积为 60cm2，高为 4cm，则这个圆柱体积为 240 cm 3【分析】根据圆柱体积=底面积高，即可求出结论【解答】 解：V=Sh=604=240（cm 3） 故答案为：2406. （2018黑
14、龙江龙东地区3 分）用一块半径为 4，圆心角为 90的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为 【分析】设圆锥的底面圆的半径为 r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到 2r= ，然后求出 r 后利用勾股定理计算圆锥的高【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2r= ，解得 r=1，所以此圆锥的高= = 故答案为 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长三.解答题1.（2018江苏宿迁12 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E.F 分别在边 AB
15、.CD上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D重合） ，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，设 BE=x，（1）当 AM= 时，求 x 的值；（2）随着点 M 在边 AD 上位置的变化，PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；10（3）设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值. 【分析】 （1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 RtAME 中，根据勾股定理得（1-x） 2+ =x2 ， 解得：x=
16、.（2）PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B 作 BHMN，根据折叠性质知 BE=ME，由等边对等角得EBM=EMB，由等角的余角相等得MBC=BMN，由全等三角形的判定 AAS 得 RtABMRtHBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定 HL 得 RtBHPRtBCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出PDM 周长为定值 2.（3）过 F 作 FQAB，连接 BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，由等角的余角相等得EBM=EMB=QFE，由全等三角形的判定 ASA 得 RtA
17、BMRtQFE，据全等三角形的性质得 AM=QE；设 AM 长为 a，在 RtAEM 中，根据勾股定理得（1-x） 2+a2=x2,从而得AM=QE= ,BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S 与 x 的函数关系式；又由（1-x） 2+a2=x2,得 x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0a1） ，代入梯形面积公式即可转为关于 a 的二次函数，配方从而求得 S 的最小值.【详解】解：（1）由折叠性质可知：BE=ME=x，正方形 ABCD 边长为 1，AE=1-x，在 RtAME 中，AE 2+AM2=ME2 ， 即（1-x） 2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM 的
18、周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B 作 BHMN，BE=ME，EBM=EMB，又EBC=EMN=90，即EBM+MBC=EMB+BMN=90，MBC=BMN，又正方形 ABCD，ADBC，AB=BC，AMB=MBC=BMN，在 RtABM 和 RtHBM 中， ,RtABMRtHBM（AAS） ，AM=HM，AB=HB=BC，11在 RtBHP 和 RtBCP 中， , RtBHPRtBCP（HL） ，HP=CP，又C PDM =MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2.PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.（3）解：过 F
19、作 FQAB，连接 BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，EBM+BEF=EMB+MEF=QFE+BEF=90,EBM=EMB=QFE，在 RtABM 和 RtQFE 中， ,RtABMRtQFE（ASA） ，AM=QE，设 AM 长为 a，在 RtAEM 中，AE 2+AM2=EM2,即（1-x） 2+a2=x2,AM=QE= ,BQ=CF=x- ，S= （CF+BE）BC = （x- +x）1= （2x- ）,又（1-x） 2+a2=x2, x= =AM=BE，BQ=CF= -a，S= （ -a+ ）1= （a 2-a+1）= （a- ） 2+ ，0a1，当 a= 时，S 最小值
20、 = . 【点睛】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）. 2. （2018黑龙江齐齐哈尔12 分）综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论12实践操作如图 1，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 翻折，使点 B落在矩
21、形 ABCD 所在平面内，BC 和AD 相交于点 E，连接 BD解决向题（1）在图 1 中，BD 和 AC 的位置关系为 平行 ；将AEC 剪下后展开，得到的图形是 菱形 ；（2）若图 1 中的矩形变为平行四边形时（ABBC） ，如图 2 所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 1：1 或 ：1 ；拓展应用（4）在图 2 中，若B=30，AB=4 ，当ABD 恰好为直角三角形时，BC 的长度为 4 或 6 或 8
22、 或 12 【分析】 （1）根据内错角相等两直线平行即可判断；根据菱形的判定方法即可解决问题；（2）只要证明 AE=EC，即可证明结论成立；只要证明ADB=DAC，即可推出BDAC；（3）分两种 情形分别讨论即可解决问题；（4）先证得四边形 ACBD 是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；【解答】解：（1）BDAC将AEC 剪下后展开，得到的图形是菱形；故答案为 BDAC，菱形；（2）选择证明如下：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DAC=ACB，13将ABC 沿 AC 翻折至ABC，ACB=ACB，DAC=ACB，AE=CE，AEC 是等腰三角形；将AEC 剪下后展开，得到
23、的图形四边相等，将AEC 剪下后展开，得到的图形四边是菱形选择证明如下，四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，将ABC 沿 AC 翻折至ABC，BC=BC，BC=AD，BE=DE，CBD=ADB，AEC=BED，ACB=CADADB=DAC，BDAC（3）当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；ABD+ADB=90，y30+y=90，当矩形的长宽之比为 ：1 时，满足条件，此时可以证明四边形 ACDB是等腰梯形，是轴对称图形；综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为 1：1 或 ：1；（4）AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，四边形 ACBD 是等腰梯形，
24、B=30，ABC=CDA=30，ABD 是直角三角形，当BAD=90，ABBC 时，如图 3 中，14设ADB=CBD=y，ABD=y30，解得 y=60，ABD=y30=30，AB=AB=4 ，AD= 4 =4，BC=4，当ADB =90，ABBC 时，如图 4，AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，四边形 ACBD 是等腰梯形，ADB=90，四边形 ACBD 是矩形，ACB=90，ACB=90，B=30，AB=4 ，BC= AB= 4 =6；当BAD=90，ABBC 时，如图 5，15AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，BAD=90，B=30，AB=4 ，ABC=30，AE=4，BE=2AE=8，AE=EC=4，CB=12，当ABD=90时，如图 6，AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，四边形 ACDB是等腰梯形，ABD=90，四边形 ACDB是矩形，BAC=90，B=30，AB=4 ，BC=AB =8；已知当 BC 的长为 4 或 6 或 8 或 12 时，ABD 是直角三角形故答案为：平行，菱形，1：1 或 ：1，4 或 6 或 8 或 12；16【点评】本题考查四边形综合题、翻折变换、矩形的性质、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，本题综合性比较强，属于中考压轴题
