1、1三角形的边与角(命题的有关知识) 一.选择题（2018江苏宿迁3 分）如图，点 D 在ABC 的边 AB 的延长线上，DEBC，若A35,C24,则D的度数是（ ）A. 24 B. 59 C. 60 D. 69【答案】B【分析】根据三角形外角性质得DBC=A+C，再由平行线性质得D=DBC.【详解】A=35，C=24，DBC=A+C=35+24=59，又DEBC，D=DBC=59，故选 B.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.2.（2018江苏宿迁3 分）若实数 m、n 满足 ，且 m、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长是 （
2、 ）A. 12 B. 10 C. 8 D. 6【答案】B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论：若腰为 2，底为 4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；若腰为 4，底为 2，再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，m=2，n=4，又m、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，若腰为 2，底为 4，此时不能构成三角形，舍去，若腰为 4，底为 2，则周长为：4+4+2=10，故选 B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出 m、n 的值是解题的关键.3.（2018江苏苏州3 分）如图，在ABC 中，延长 BC
3、 至 D，使得 CD= BC，过 AC 中点 E 作 EFCD（点 F位于点 E 右侧） ，且 EF=2CD，连接 DF若 AB=8，则 DF 的长为（ ）2A3 B4 C2 D3【分析】取 BC 的中点 G，连接 EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设 CD=x，则 EF=BC=2x，证明四边形 EGDF 是平行四边形，可得 DF=EG=4【解答】解：取 BC 的中点 G，连接 EG，E 是 AC 的中点，EG 是ABC 的中位线，EG= AB= =4，设 CD=x，则 EF=BC=2x，BG=CG=x，EF=2x=DG，EFCD，四边形 EGDF 是平行四边形，DF=EG=4，故选：
4、B【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键4.（2018山东聊城市3 分）如图，直线 ABEF，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一点，若BCD=95，CDE=25，则DEF 的度数是（ ）A110 B115 C120 D125【分析】直接延长 FE 交 DC 于点 N，利用平行线的性质得出BCD=DNF=95，再利用三角形外角的性质得出答案【解答】解：延长 FE 交 DC 于点 N，直线 ABEF，BCD=DNF=95，CDE=25，DEF=95+25=1203故选：C【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的
5、外角，正确掌握平行线的性质是解题关键6.（2018山东聊城市3 分）如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在ABC 外的 A处，折痕为 DE如果A=，CEA=，BDA=，那么下列式子中正确的是（ ）A=2+ B=+2 C=+ D=180【分析】根据三角形的外角得：BDA=A+AFD，AFD=A+CEA，代入已知可得结论【解答】解：由折叠得：A=A，BDA=A+AFD，AFD=A+CEA，A=，CEA=，BDA=，BDA=+=2+，故选：A【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键7. （2018杭州3 分）如图，已知点 P 矩形
6、 ABCD 内一点（不含边界） ，设 ， ， ， ，若 ， ，则（ ）4A. B. C. D. 【答案】A 【考点】三角形内角和定理，矩形的性质 【解析】 【解答】解：矩形 ABCDPAB+PAD=90即PAB=90-PABPAB=80PAB+PBA=180-80=10090-PAB+PBA=100即PBA-PAB=10同理可得：PDC-PCB=180-50-90=40由-得：PDC-PCB-（PBA-PAB）=30 故答案为：A【分析】根据矩形的性质，可得出PAB=90-PAB，再根据三角形内角和定理可得出PAB+PBA=100，从而可得出PBA-PAB=10；同理可证得PDC-PCB=40
7、，再将-，可得出答案。8.（2018湖州3 分）如图，AD，CE 分别是ABC 的中线和角平分线若 AB=AC，CAD=20，则ACE 的度数是（ ）A. 20 B. 35 C. 40 D. 70【答案】 B【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 CAB=2 CAD=40， B= ACB= （180- CAB）=70再利用角平分线定义即可得出 ACE= ACB=35详解： AD 是 ABC 的中线， AB=AC， CAD=20， CAB=2 CAD=40， B= ACB= （180- CAB）=70 CE 是 ABC 的角平分线， ACE= ACB=35故选：B点睛：本题
8、考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出 ACB=70是解题的关键9. （2018嘉兴3 分）用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内. B. 点在圆上. C. 点在圆心上. D. 点在圆上或圆内.【答案】D5【解析】 【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选 D.【点评】考查反证
9、法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.10. （2018嘉兴3 分）某届世界杯的小组比赛规则:四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场） ，胜一场得3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.某小组比赛结束后,甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名,各队的总得分恰好是四个连续奇数,则与乙打平的球队是（ ）A. 甲. B. 甲与丁. C. 丙. D. 丙与丁.【答案】B 【考点】推理与论证 【解析】 【解答】解：小组赛一共需要比赛 场，由分析可知甲是最高分，且可能是 9 或 7 分，当甲是 9 分时，乙、丙、丁分别是 7 分、5 分、3 分，因为比赛一场最高得分 3 分，所
10、以 4 个队的总分最多是 63=18 分，而 9+7+5+318，故不符合；当甲是 7 分时，乙、丙、丁分别是 5 分、3 分、1 分，7+5+3+118，符合题意，因为每人要参加 3 场比赛，所以甲是 2 胜一平，乙是 1 胜 2 平，丁是 1 平 2 负，则甲胜丁 1 次，胜丙 1 次，与乙打平 1 次，因为丙是 3 分，所以丙只能是 1 胜 2 负，乙另外一次打平是与丁，则与乙打平的是甲、丁故答案是 B。【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛 3 场，要是 3 场全胜得最高 9 分，根据已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续
11、奇数” ，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。11. （2018广西玉林3 分）如图，AOB=60，OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向移动，以 AC为边在右侧作等边ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是（ ）A平行 B相交C垂直 D平行、相交或垂直6【分析】先判断出 OA=OB，OAB=ABO，分两种情况判断出ABD=AOB=60，进而判断出AOCABD，即可得出结论【解答】解：AOB=60，OA=OB，OAB 是等边三角形，OA=AB，OAB=ABO=60当点 C 在线段 OB 上时，如图 1，ACD 是
12、等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC 和ABD 中， ，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，当点 C 在 OB 的延长线上时，如图 2，同的方法得出 OABD，ACD 是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC 和ABD 中， ，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，故选：A12.（2018福建 A 卷4 分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）A1，1，2 B1，2，4 C2，3，4 D2，3，5【分析】根据三角形中任意两边之和大于
13、第三边，任意两边之差小于第三边即可求解【解答】解：A.1+1=2，不满足三边关系，故错误；B.1+24，不满足三边关系，故错误；C.2+34，满足三边关系，故正确；D.2+3=5，不满足三边关系，故错误故选：C7【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形13.（2018福建 B 卷4 分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）A1，1，2 B1，2，4 C2，3，4 D2，3，5【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求
14、解【解答】解：A.1+1=2，不满足三边关系，故错误；B.1+24，不满足三边关系，故错误；C.2+34，满足三边关系，故正确；D.2+3=5，不满足三边关系，故错误故选：C【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形14. （ 2018广 西 北 海 3分 ） 如图， ACD 是 ABC 的外角， CE 平分 ACD ， 若 A =60，B =40， 则 ECD 等于（ ）8A.40 B.45C.50 D.55【答案】 C【考点】三角形外角的性质，角平分线的定
15、义【 解 析 】 ABC 的 外 角 ACD A B 60 40 100 ,又 因 为 CE 平 分 ACD ， 所 以 ACE ECD 1 ACD 1 100 50.2 2【点评】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和15.（2018贵州贵阳3分） 如图， 在 ABC 中有四条线段 DE， BE， EF， FG , 其中有一条线段是 ABC 的 中线，则该线段是（ B ）（ A）线段 DE （ B）线段 BE （ C）线段 EF （ D）线段 FG16. （2018 湖南长沙 3.00 分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A4cm，5cm，9cm B8cm，8cm，15cm C
16、5cm，5cm，10cm D6cm，7cm，14cm【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边” ，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论【解答】解：A.5+4=9，9=9，该三边不能组成三角形，故此选项错误；B.8+8=16，1615，该三边能组成三角形，故此选项正确；C.5+5=10，10=10，该三边不能组成三角形，故此选项错误；D.6+7=13，1314，9该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可二.填空题1.（2
17、018江苏无锡2 分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 菱形的四条边相等 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，故答案为：菱形的四条边相等【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题2.（2018江苏淮安3 分）若一个等腰三角形的顶角等于 50，则它的底角等于 65 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案【解答】解：等腰三角形的顶角等于 50，又等
18、腰三角形的底角相等，底角等于（18050） =65故答案为：65【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键3.（2018江苏徐州3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D若C=18，则CDA= 126 度【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA 计算求解【解答】解：连接 OD，则ODC=90，COD=72；10OA=OD，ODA=A= COD=36，CDA=CDO+ODA=90+36=126【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关
19、系，等边对等角求解4.（2018江苏苏州3 分）如图，ABC 是一块直角三角板，BAC=90，B=30，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点 A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于点 D，BC与直尺的两边分别交于点 E，F若CAF=20，则BED 的度数为 80 【分析】依据 DEAF，可得BED=BFA，再根据三角形外角性质，即可得到BFA=20+60=80，进而得出BED=80【解答】解：如图所示，DEAF，BED=BFA，又CAF=20，C=60，BFA=20+60=80，BED=80，故答案为：80【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等5（2018
20、 年湖南省娄底市）如图，P 是ABC 的内心，连接 PA.PB.PC，PAB.PBC.PAC 的面积分别为 S1.S2.S3则 S1 S 2+S3（填“”或“=”或“”）【分析】过 P 点作 PDAB 于 D，作 PEAC 于 E，作 PFBC 于 F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解【解答】解：过 P 点作 PDAB 于 D，作 PEAC 于 E，作 PFBC 于 F，P 是ABC 的内心，11PD=PE=PF，S 1= ABPD，S 2= BCPF，S 3= ACPE，ABBC+AC，S 1S 2+S3故答案为：【点评】考查了三角形的内切圆与
21、内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得 PD=PE=PF三.解答题1.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，给出下列四个论断：OA=OC，AB=CD，BAD=DCB，ADBC请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形 ABCD 为平行四边形”作为结论，完成下列各题：构造一个真命题，画图并给出证明；构造一个假命题，举反例加以说明【分析】如果结合，那么这些线段所在的两个三角形是 SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果结合，和结合的情况相同；如果结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么 AD，BC 所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是，它有可能是等腰梯形【解答】解：（1）为论断时：ADBC，DAC=BCA，ADB=DBC又OA=OC，AODCOBAD=BC四边形 ABCD 为平行四边形（2）为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断
