1、1点直线与圆的位置关系 一.选择题1.（2018江苏徐州2 分）O 1和O 2的半径分别为 5 和 2，O 1O2=3，则O 1和O 2的位置关系是（ ）A内含 B内切 C相交 D外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断O 1与O 2的位置关系【解答】解：O 1和O 2的半径分别为 5 和 2，O 1O2=3，则 52=3，O 1和O 2内切故选：B【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R 和 r，且 Rr，圆心距为 P：外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 RrPR+r；内切 P=Rr；内含 PRr2.（2018上海4 分）如图，已知POQ=30
2、，点 A.B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间） ，半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ）A5OB9 B4OB9 C3OB7 D2OB7【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA=4，再确认B 与A 相切时，OB 的长，可得结论【解答】解：设A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD，ADOP，O=30，AD=2，OA=4，当B 与A 相内切时，设切点为 C，如图 1，BC=3，OB=OA+AB=4+32=5；当A 与B 相外切时，设切点为 E，如图 2，OB=OA+AB=4+2+3=9，半径长
3、为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是：5OB9，故选：A2【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定 OB 的取值范围3. （2018湖州4 分）如图，已知ABC 的内切圆O 与 BC 边相切于点 D，连结 OB，OD若ABC=40，则BOD 的度数是 70 【分析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到 OB 平分ABC，ODBC，则OBD= ABC=20，然后利用互余计算BOD 的度数【解答】解：ABC 的内切圆O 与 BC 边相切于点 D，OB 平分ABC，ODBC，OBD= ABC=
4、 40=20，BOD=90OBD=70故答案为 70【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角4.（2018嘉兴3 分）用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内. B. 点在圆上. C. 点在圆心上. D. 点在圆上或圆内.【答案】D3【解析】 【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选 D.【点评】考查反证
5、法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.5.（2018福建 A 卷4 分）如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AC 交O 于点 D，若ACB=50，则BOD 等于（ ）A40 B50 C60 D80【分析】根据切线的性质得到ABC=90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC 是O 的切线，ABC=90，A=90ACB=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：D【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键6.（2018福建 B 卷4 分）如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于
6、点 B，AC 交O 于点 D，若ACB=50，则BOD 等于（ ）A40 B50 C60 D80【分析】根据切线的性质得到ABC=90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC 是O 的切线，ABC=90，4A=90ACB=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：D【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键7. （2018 湖南湘西州 4.00 分）如图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC.CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为 5，CD=8，则弦 AC 的长为（ ）A10 B8 C4 D4【分析】由
7、 AB 是圆的切线知 AOAB，结合 CDAB 知 AOCD，从而得出 CE=4，RtCOE 中求得 OE=3 及AE=8，在 RtACE 中利用勾股定理可得答案【解答】解：直线 AB 与O 相切于点 A，OAAB，又CDAB，AOCD，记垂足为 E，CD=8，CE=DE= CD=4，连接 OC，则 OC=OA=5，在 RtOCE 中，OE= = =3，AE=AO+OE=8，则 AC= = =4 ，故选：D【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理8.（2018上海4 分）如图，已知POQ=30，点 A.B 在射线 OQ 上（点 A 在点
8、 O、B 之间） ，半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ）5A5OB9 B4OB9 C3OB7 D2OB7【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA=4，再确认B 与A 相切时，OB 的长，可得结论【解答】解：设A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD，ADOP，O=30，AD=2，OA=4，当B 与A 相内切时，设切点为 C，如图 1，BC=3，OB=OA+AB=4+32=5；当A 与B 相外切时，设切点为 E，如图 2，OB=OA+AB=4+2+3=9，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取
9、值范围是：5OB9，故选：A【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定 OB 的取值范围二.填空题61.（2018江苏徐州3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D若C=18，则CDA= 126 度【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA 计算求解【解答】解：连接 OD，则ODC=90，COD=72；OA=OD，ODA=A= COD=36，CDA=CDO+ODA=90+36=126【点评】本题利用
10、了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解2.（2018内蒙古包头市3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D，点 E 在 上（不与点 B，C 重合） ，连接 BE，CE若D=40，则BEC= 115 度【分析】连接 OC，根据切线的性质求出DCO，求出COB，即可求出答案【解答】解：连接 OC，DC 切O 于 C，DCO=90，D=40，COB=D+DCO=130， 的度数是 130，7 的度数是 360130=230，BEC= =115，故答案为：115【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出DCO 的
11、度数是解此题的关键3. （2018嘉兴4 分.）如图,量角器的 度刻度线为 .将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量角器相切于点 ,直尺另一边交量角器于点 ，量得 ,点 在量角器上的读数为 .则该直尺的宽度为_【答案】【解析】 【分析】连接 OC,OD,OC 与 AD 交于点 E，根据圆周角定理有 根据垂径定理有：解直角 即可.【解答】连接 OC,OD,OC 与 AD 交于点 E，直尺的宽度： 故答案为：【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.4. （2018广西玉林3 分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘
12、两个交点处的读数分别是“4”和“16” （单位：cm） ，请你帮小华算8出圆盘的半径是 10 cm【分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【解答】解：如图，记圆的圆心为 O，连接 OB，OC 交 AB 于 D，OCAB，BD= AB，由图知，AB=164=12cm，CD=2cm，BD=6，设圆的半径为 r，则 OD=r2，OB=r，在 RtBOD 中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，r2=36+（r2）2，r=10cm，故答案为 104. （2018黑龙江大庆3 分）在ABC 中，C=90，AB=10，且 AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 2 【分
13、析】先 利用勾股定理计算出 BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径= （A.b 为直角边，c 为斜边）进行计算【解答】解：C=90，AB=10，AC=6，BC= =8，这个三角形的内切圆半径= =2故答案为 25. （2018广东3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECDS 扇形 EOD计算由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积，然后利用三角
14、形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，OD=2，OEBC，9易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积=S 正方形 OECDS 扇形 EOD=22 =4，阴影部分的面积= 24（4）=故答案为 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式6. （2018 湖南长沙 3.00 分）如图，点 A，B，D 在O 上，A=20，BC 是O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交
15、 BC 于点 C，则OCB= 50 度【分析】由圆周角定理易求BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90，进而可求出求出OCB的度【解答】解：A=20，BOC=40，BC 是O 的切线，B 为切点，OBC=90，OCB=9040=50，故答案为：50【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键三.解答题1. （2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市8 分）如图，在O 中，AB 为直径，AC 为弦过 BC延长线上一点 G，作 GDAO 于点 D，交 AC 于点 E，交O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM（1）判断 C
16、M 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ECF=2A，CM=6，CF=4，求 MF 的长10【分析】 （1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到ACB=90，再根据斜边上的中线性质得 MC=MG=ME，所以G=1，接着证明1+2=90，从而得到OCM=90，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断 CM 为O 的切线；（2）先证明G=A，再证明EMC=4，则可判定EFCECM，利用相似比先计算出 CE，再计算出EF，然后计算 MEEF 即可【解答】解：（1）CM 与O 相切理由如下：连接 OC，如图，GDAO 于点 D，G+GBD=90，AB 为直径，ACB=90，M 点为 GE 的中点，
17、MC=MG=ME，G=1，OB=OC，B=2，1+2=90，OCM=90，OCCM，CM 为O 的切线；（2）1+3+4=90，5+3+4=90，1=5，而1=G，5=A，G=A，4=2A，4=2G，而EMC=G+1=2G，EMC=4，11而FEC=CEM，EFCECM， = = ，即 = = ，CE=4，EF= ，MF=MEEF=6 = 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d：直线 l 和O相交dr；直线 l 和O 相切d=r；直线 l 和O 相离dr也考查了圆周角定理2. （2018湖北随州8 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O
18、 上一点，CN 为O 的切线，OMAB 于点O，分别交 AC.CN 于 D.M 两点（1）求证：MD=MC；（2）若O 的半径为 5，AC=4 ，求 MC 的长【分析】 （1）连接 OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可【解答】解：（1）连接 OC，CN 为O 的切线，12OCCM，OCA+ACM=90，OMAB，OAC+ODA=90，OA=OC，OAC=OCA， ACM=ODA=CDM，MD=MC；（2）由题意可知 AB=52=10，AC=4 ，AB 是O 的直径，ACB=90，BC= ，AOD=ACB，A=A，AODACB， ，即 ，可得：OD=
19、2.5，设 MC=MD=x，在 RtOCM 中，由勾股定理得：（x+2.5） 2=x2+52，解得：x= ，即 MC= 【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题3. （2018湖北襄阳8 分）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE（1）求证：DA=DE；（2）若 AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积【分析】 （1）连接 OE推知 CD 为O 的切线，即可证明 DA=DE；（2）利用分割法求
20、得阴影部分的面积13【解答】解：（1）证明：连接 OE.OCOB=OE，OBE=OEBBC=EC，CBE=CEB，OBC=OECBC 为O 的切线，OEC=OBC=90；OE 为半径，CD 为O 的切线，AD 切O 于点 A，DA=DE；（2）如图，过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，AD=BF，DF=AB=6，DC=BC+AD=4 BC= =2 ，BCAD=2 ，BC=3 在直角OBC 中，tanBOE= = ，BOC=60在OEC 与OBC 中，OECOBC（SSS） ，BOE=2BOC=120S 阴影部分 =S 四边形 BCEOS 扇形 OBE=2 BCOB =
21、9 314【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算4. （2018湖南郴州8 分）已知 BC 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是O 的弦，AEC=30（1）求证：直线 AD 是O 的切线；（2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长【分析】 （1）先求出ABC=30，进而求出BAD=120，即可求出OAB=30，结论得证；（2）先求出AOC=60，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论【解答】解：（1）如图，AEC=30，ABC=30，AB=AD，D=ABC=3
22、0，根据三角形的内角和定理得，BAD=120，连接 OA，OA=OB，OAB=ABC=30，OAD=BADOAB=90，OAAD，点 A 在O 上，直线 AD 是O 的切线；（2）连接 OA，AEC=30，AOC=60，BCAE 于 M，AE=2AM，OMA=90，在 RtAOM 中，AM=OAsinAOM=4sin60=2 ，AE=2AM=4 15【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出AOC=60是解本题的关键5. （2018湖南怀化12 分）已知：如图，AB 是O 的直径，AB=4，点 F，C 是O 上两点，连接AC，
23、AF，OC，弦 AC 平分FAB，BOC=60，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为点 D（1）求扇形 OBC 的面积（结果保留） ；（2）求证：CD 是O 的切线【分析】 （1）由扇形的面积公式即可求出答案（2）易证FAC=ACO，从而可知 ADOC，由于 CDAF，所以 CDOC，所以 CD 是O 的切线【解答】解：（1）AB=4，OB=2COB=60，S 扇形 OBC= =（2）AC 平分FAB，FAC=CAO，AO=CO，ACO=CAOFAC=ACOADOC，CDAF，CDOCC 在圆上，16CD 是O 的切线【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形
24、面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型6.（2018江苏宿迁10 分）如图，AB.AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D，过点 A 作O 的切线与 OD的延长线交于点 P，PC.AB 的延长线交于点 F.（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC=60,AB=10,求线段 CF 的长.【答案】 （1）证明见解析；（2）CF=5 . 【分析】试题分析：（1） 、连接 OC，可以证得OAPOCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP=90，即 OCPC，即可证得；（2） 、依据切线的性质定理可知 OCPE，然后通过解直角三角函数，求得 OF 的值，再减去
25、圆的半径即可试题解析：（1） 、连接 OC，ODAC，OD 经过圆心 O，AD=CD，PA=PC，在OAP 和OCP 中， ，OAPOCP（SSS） ，OCP=OAPPA 是O 的切线，OAP=90OCP=90，即 OCPCPC 是O 的切线（2） 、AB 是直径，ACB=90，CAB=30，COF=60，PC 是O 的切线，AB=10，OCPF，OC=OB= AB=5，OF= =10，BF=OFOB=517【点睛】 （1） 、切线的判定与性质；（2） 、解直角三角形7.（2018江苏淮安10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为 A，BC 交O 于点 D，点 E是 AC
26、的中点（1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为 2，B=50，AC=4.8，求图中阴影部分的面积【分析】 （1）连接 OE.OD，如图，根据切线的性质得OAC=90，再证明AOEDOE 得到ODE=OAE=90，然后根据切线的判定定理得到 DE 为O 的切线；（2）先计算出AOD=2B=100，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积【解答】解：（1）直线 DE 与O 相切理由如下：连接 OE.OD，如图，AC 是O 的切线，ABAC，OAC=90，点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点，OEBC，1=B，2=3，OB=OD，B=3，1=
27、2，在AOE 和DOE 中，AOEDOE，ODE=OAE=90，18OAAE，DE 为O 的切线；（2）点 E 是 AC 的中点，AE= AC=2.4，AOD=2B=250=100，图中阴影部分的面积=2 22.4 =4.8 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和扇形的面积公式8.（2018江苏苏州10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为D，CE 垂直 AB，垂足为 E延长 DA 交O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC
28、（1）求证：CD=CE；（2）若 AE=GE，求证：CEO 是等腰直角三角形【分析】 （1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根据 AAS 证明CDACEA（AAS） ，可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA，得DCA=ECA，由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5，可得结论；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180，则 3x+3x+2x=180，可得结论【解答】证明：（1）连接 AC，CD 是O 的切线，OCCD，ADCD，DCO=
29、D=90，ADOC，DAC=ACO，19OC=OA，CAO=ACO，DAC=CAO，CEAB，CEA=90，在CDA 和CEA 中， ，CDACEA（AAS） ，CD=CE；（2）证法 一：连接 BC，CDACEA，DCA=ECA，CEAG，AE=EG，CA=CG，ECA=ECG，AB 是O 的直径，ACB=90，CEAB，ACE=B，B=F，F=ACE=DCA=ECG，D=90，DCF+F=90，F=DCA=ACE=ECG=22.5，AOC=2F=45，CEO 是等腰直角三角形；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，ADOC，OAF=AOC=2x，CGA=OAF+F=3x，CEAG，AE=
30、EG，CA=CG，EAC=CGA，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，DAC=EAC=CGA=3x，DAC+EAC+OAF=180，3x+3x+2x=180，x=22.5，AOC=2x=45，CEO 是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用9.（2018内蒙古包头市10 分）如图，在 RtACB 中，ACB=90，以点 A 为圆心，AC 长为半径的圆交 AB于点 D，BA 的延长线交A 于
31、点 E，连接 CE，CD，F 是A 上一点，点 F 与点 C 位于 BE 两侧，且FAB=ABC，连接 BF20（1）求证：BCD=BEC；（2）若 BC=2，BD=1，求 CE 的长及 sinABF 的值【分析】 （1）先利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出BDCBCE 得出比例式求出 BE=4，DE=3，利用勾股定理求出 CD，CE，再判断出AFMBAC，进而判断出四边形 FNCA 是矩形，求出 FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出 BF，即可得出结论【解答】解：（1）ACB=90，BCD+ACD=90，DE 是A 的直径，DCE=90，BEC+CDE=90，AD=AC，CDE
32、=ACD，BCD=BEC，（2）BCD=BEC，EBC=EBC，BDCBCE， ，BC=2，BD=1，BE=4，EC=2CD，DE=BEBD=3，在 RtDCE 中，DE 2=CD2+CE2=9，CD= ，CE= ，过点 F 作 FMAB 于 M，FAB=ABC，FMA=ACB=90，AFMBAC， ，DE=3，21AD=AF=AC= ，AB= ，FM= ，过点 F 作 FNBC 于 N，FNC=90，FAB=ABC，FABC，FAC=ACB=90，四边形 FNCA 是矩形，FN=AC= ，NC=AF= ，BN= ，在 RtFBN 中，BF= ，在 RtFBM 中，sinABF= 【点评】此题
33、主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键10.（2018山东烟台市10 分）如图，已知 D，E 分别为ABC 的边 AB，BC 上两点，点 A，C，E 在D 上，点 B，D 在E 上F 为 上一点，连接 FE 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 AB 于点 M（1）若EBD 为 ，请将CAD 用含 的代数式表示；（2）若 EM=MB，请说明当CAD 为多少度时，直线 EF 为D 的切线；（3）在（2）的条件下，若 AD= ，求 的值22【分析】 （1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：EDB=EBD=，CAD=ACD
34、，DCE=DEC=2，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设MBE=x，同理得：EMB=MBE=x，根据切线的性质知：DEF=90，所以CED+MEB=90，同理根据三角形内角和定理可得CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；根据（1）的结论计算MBE=30，证明CDE 是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD= ，求 EM=1，MF=EFEM= 1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE= ，代入化简可得结论【解答】解：（1）连接 CD.DE，E 中，ED=EB，EDB=EBD=，CED=EDB+EBD=2，D 中，DC=DE=AD，CAD=ACD，DCE=DEC=2，
35、ACB 中，CAD+ACD+DCE+EBD=180，CAD= = ；（2）设MBE=x，EM=MB，EMB=MBE=x，当 EF 为D 的切线时，DEF=90，CED+MEB=90，CED=DCE=90x，ACB 中，同理得，CAD+ACD+DCE+EBD=180，2CAD=18090=90，CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；由（1）得：CAD= ；MBE=30，CED=2MBE=60，CD=DE，CDE 是等边三角形，CD=CE=DE=EF=AD= ，RtDEM 中，EDM=30，DE= ，EM=1，MF=EFEM= 1，ACB 中，NCB=45+30=75，23CNE 中，CE
36、N=BEF=30，CNE=75，CNE=NCB=75，EN=CE= ， = = =2+ 【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型11.（2018山东济宁市8 分）如图，在 RtABC 中，C=90，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，作 EDEB 交AB 于点 D，O 是BED 的外接圆（1）求证：AC 是O 的切线；（2）已知O 的半径为 2.5，BE=4，求 BC，AD 的长【分析】 （1）连接 OE，由 OB=OE 知OBE=OEB.由 BE 平分ABC
37、 知OBE=CBE，据此得OEB=CBE，从而得出 OEBC，进一步即可得证；（2）证BDEBEC 得 = ，据此可求得 BC 的长度，再证AOEABC 得 = ，据此可得 AD 的长【解答】解：（1）如图，连接 OE，OB=OE，OBE=OEB，24BE 平分ABC，OBE=CBE，OEB=CBE，OEBC，又C=90，AEO=90，即 OEAC，AC 为O 的切线；（2）EDBE，BED=C=90，又DBE=EBC，BDEBEC， = ，即 = ，BC= ；AEO=C=90，A=A，AOEABC， = ，即 = ，解得：AD= 【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判
38、定与性质及相似三角形的判定与性质12.（2018山东东营市8 分）如图，CD 是O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若 BD= AD，AC=3，求 CD 的长【分析】 （1）连接 OD，由 OB=OD 可得出OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于 180，利25用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C.CAD=CDB 可得出CDBCAD，根据相似三角形的性质结合 BD= AD.AC=3，即可求出CD 的长【解答】 （1）证明：连接 OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD 是O 的切线，OD 是O 的半径，ODB+BD
39、C=90AB 是O 的直径，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD， = BD= AD， = ， = ，又AC=3，CD=2【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出CAD=BDC；（2）利用相似三角形的性质找出 13. （2018达州8 分）已知：如图，以等边ABC 的边 BC 为直径作O，分别交 AB，AC 于点 D，E，过点D 作 DFAC 交 AC 于点 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若等边ABC 的边长为 8，求由 、DF、EF 围成的阴影部分面积2
40、6【分析】 （1）连接 CD.OD，先利用等腰三角形的性质证 AD=BD，再证 OD 为ABC 的中位线得 DOAC，根据DFAC 可得；（2）连接 OE.作 OGAC，求出 EF、DF 的长及DOE 的度数，根据阴影部分面积=S 梯形 EFDOS 扇形 DOE计算可得【解答】解：（1）如图，连接 CD.OD，BC 是O 的直径，CDB=90，即 CDAB，又ABC 是等边三角形，AD=BD，BO=CO，DO 是ABC 的中位线，ODAC，DFAC，DFOD，DF 是O 的切线；（2）连接 OE.作 OGAC 于点 G，OGF=DFG=ODF=90，四边形 OGFD 是矩形，FG=OD=4，O
41、C=OE=OD=OB，且COE=B=60，OBD 和OCE 均为等边三角形，27BOD=COE=60，CE=OC=4，EG= CE=2.DF=OG=OCsin60=2 ，DOE=60，EF=FGEG=2，则阴影部分面积为 S 梯形 EFDOS 扇形 DOE= （2+4）2 =6 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为 90即可注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长14. （2018遂宁10 分）如图，过O 外一点 P 作O 的切线 PA 切O 于点 A，连接 PO 并延长，与O 交于 C
42、.D 两点，M 是半圆 CD 的中点，连接 AM 交 CD 于点 N，连接 AC.CM（1）求证：CM 2=MNMA；（2）若P=30，PC=2，求 CM 的长【分析】 （1）由 = 知CAM=DCM，根据CMA=NMC 证AMCCMN 即可得；（2）连接 OA.DM，由 RtPAO 中P=30知 OA= PO= （PC+CO） ，据此求得 OA=OC=2，再证CMD 是等腰直角三角形得 CM 的长【解答】解：（1）O 中，M 点是半圆 CD 的中点， = ，CAM=DCM，又CMA=NMC，AMCCMN， = ，即 CM2=MNMA；（2）连接 OA.DM，28PA 是O 的切线，PAO=9
43、0，又P=30，OA= PO= （PC+CO） ，设O 的半径为 r，PC=2，r= （2+r） ，解得：r=2，又CD 是直径，CMD=90，CM=DM，CMD 是等腰直角三角形，在 RtCMD 中，由勾股定理得 CM2+DM2=CD2，即 2CM2=（2r） 2=16，则 CM2=8，CM=2 【点评】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点15. （2018资阳9 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，点 P 是底边 BC 上一点且满足 PA=PB，O 是PAB 的外接圆，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D（1）求证
44、：PD 是O 的切线；（2）若 BC=8，tanABC= ，求O 的半径【分析】 （1）先根据圆的性质得： ，由垂径定理可得：OPAB，根据平行线可得：OPPD，所以 PD是O 的切线；29（2）如图 2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设 CG= ，BG=2x，利用勾股定理计算x= ，设 AC=a，则 AB=a，AG= a，在 RtACG 中，由勾股定理列方程可得 a 的值，同理设O 的半径为 r，同理列方程可得 r 的值【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OP，PA=PB， ，OPAB，PDAB，OPPD，PD 是O 的切线；（2）如图 2，过 C 作 CGBA，交 BA 的延长线于 G，RtBCG 中，tanABC= ，设 CG= ，BG=2x，BC= x，BC=8，即 x=8，x= ，CG= x= ，BG=2x= ，设 AC=a，则 AB=a，AG= a，在 RtACG 中，由勾股定理得：AG 2+CG2=AC2， ，a=2 ，AB=2 ，BE= ，RtBEP
