1、1规律探索一.选择题1. （2018湖北随州3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数” （如1，3，6，10）和“正方形数” （如 1，4，9，16） ，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ）A33 B301 C386 D571【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n= ，第 n 个正方形数为 n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得【解答】解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n= ，第 n 个正方形数为 n2，当 n=19 时， =190200，当 n=20 时， =210200
2、，所以最大的三角形数 m=190；当 n=14 时，n 2=196200，当 n=15 时，n 2=225200，所以最大的正方形数 n=196，则 m+n=386，故选：C【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第 n 个三角形数为1+2+3+n= ，第 n 个正方形数为 n22.（2018山东烟台市3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）A28 B29 C30 D312【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为 120，即可求得相
3、应的 n 的值，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，第 n 个图形有玫瑰花：4n，令 4n=120，得 n=30，故选：C【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出题目中图形的变化规律3.（2018山东济宁市3 分）如图， 小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A B C D【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为1 0， 符合此要求的只有故选：C 4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，2 2=4，2 3=8，2 4=16，2 5=32，2 6=64，2 7=128，2 8=256，则 2+
4、22+23+24+25+21018的末位数字是（ ）A8 B6 C4 D0【分析】通过观察发现：2 n的个位数字是 2，4，8，6 四个一循环，所以根据 20184=5042，得出 22018的个位数字与 22的个位数字相同是 4，进而得出答案【解答】解：2 n的个位数字是 2，4，8，6 四个一循环，20184=5042，2 2018的个位数字与 22的个位数字相同是 4，故 2+22+23+24+25+21018的末位数字是 2+4+8+6+2+4 的尾数，3则 2+22+23+24+25+21018的末位数字是：2+4=6故选：B【点评二.填空题1. （2018湖北江汉油田、潜江市、天门
5、市、仙桃市3 分）如图，在平面直角坐标系中，P 1OA1，P2A1A2，P 3A2A3，都是等腰直角三角形，其直角顶点 P1（3，3） ，P 2，P 3，均在直线 y= x+4 上设P 1OA1，P 2A1A2，P 3A2A3，的面积分别为 S1，S 2，S 3，依据图形所反映的规律，S 2018= 【分析】分别过点 P1.P2.P3作 x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案【解答】解：如图，分别过点 P1.P2.P3作 x 轴的垂线段，垂足分别为点 C.D.E，P 1（3，3） ，且P 1OA1是
6、等腰直角三角形，OC=CA 1=P1C=3，设 A1D=a，则 P2D=a，OD=6+a，点 P2坐标为（6+a，a） ，将点 P2坐标代入 y= x+4，得： （6+a）+4=a，解得：a= ，A 1A2=2a=3，P 2D= ，4同理求得 P3E= 、A 2A3= ，S 1= 63=9.S2= 3 = 、S 3= = 、S 2018= ，故答案为： 【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型2.（2018江苏淮安3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，点 A1的坐标为
7、（1，0） ，过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D1，以 A1D1为边作正方形 A1B1C1D1；过点 C1作直线 l 的垂线，垂足为 A2，交 x 轴于点 B2，以 A2B2为边作正方形 A2B2C2D2；过点 C2作 x 轴的垂线，垂足为 A3，交直线 l 于点 D3，以 A3D3为边作正方形 A3B3C3D3，按此规律操作下所得到的正方形 AnBnCnDn的面积是 （ ） n1 【分析】根据正比例函数的性质得到D 1OA1=45，分别求出正方形 A1B1C1D1的面积、正方形 A2B2C2D2的面积，总结规律解答【解答】解：直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，D 1OA1=
8、45，D 1A1=OA1=1，正方形 A1B1C1D1的面积=1=（ ） 11 ，由勾股定理得，OD 1= ，D 1A2= ，A 2B2=A2O= ，正方形 A2B2C2D2的面积= =（ ） 21 ，同理，A 3D3=OA3= ，5正方形 A3B3C3D3的面积= =（ ） 31 ，由规律可知，正方形 AnBnCnDn的面积=（ ） n1 ，故答案为：（ ） n1 【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到D 1OA1=45，正确找出规律是解题的关键3.（2018山东东营市3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A 2，A 3，和 B1，B 2，
9、B 3，分别在直线y= x+b 和 x 轴上OA 1B1，B 1A2B2，B 2A3B3，都是等腰直角三角形如果点 A1（1，1） ，那么点 A2018的纵坐标是 【分析】因为每个 A 点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点 A 的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半故先设出各点 A 的纵坐标，可以表示 A 的横坐标，代入解析式可求点 A 的纵坐标，规律可求【解答】解：分别过点 A1，A 2，A 3，向 x 轴作垂线，垂足为 C1，C 2，C 3，点 A1（1，1）在直线 y= x+b 上代入求得：b=y= x+OA 1B1为等腰直角三角形OB 1=2设点 A2坐标为（a，b）6B 1A2B2
10、为等腰直角三角形A 2C2=B1C2=ba=OC 2=OB1+B1C2=2+b把 A2（2+b，b）代入 y= x+解得 b=OB 2=5同理设点 A3坐标为（a，b）B 2A3B3为等腰直角三角形A 3C3=B2C3=ba=OC 3=OB2+B2C3=5+b把 A2（5+b，b）代入 y= x+解得 b=以此类推，发现每个 A 的纵坐标依次是前一个的 倍则 A2018的纵坐标是故答案为：【点评】本题为一次函数图象背景下的规律探究题，结合了等腰直角三角形的性质，解答过程中注意对比每个点 A 的纵坐标变化规律4.（2018临安3 分.）已知：2+ =22 ，3+ =32 ，4+ =42 ，5+
11、=52 ，若10+ =102 符合前面式子的规律，则 a+b= 109 【分析】要求 a+b 的值，首先应该认真仔细地观察题目给出的 4 个等式，找到它们的规律，即 中，b=n+1， a=（ n+1） 21【解答】解：根据题中材料可知 = ，10+ =102 ， b=10， a=99，a+b=109【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出式子的规律74. （2018广西桂林3 分）将从 1 开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第 m 行，第 n 列的自然数 10 记为（3，2） ，自然数 15 记为（4，2）按此规律，自然数 2018记为_【答案】 （505，2）【解析
12、】分析：由表格数据排列可知，4 个数一组，奇数行从左向右数字逐渐增大，偶数行从右向左数字逐渐增大，用 2018 除以 4，商确定所在的行数，余数确定所在行的序数，然后解答即可详解：20184=5042.2018 在第 505 行，第 2 列，自然数 2018 记为（505，2）.故答案为：（505，2）.点睛：本题是对数字变化规律的考查，观察出实际有 4 列，但每行数字的排列顺序是解题的关键，还要注意奇数行与偶数行的排列顺序正好相反5. （2018广西南宁3 分）观察下列等式：3 0=1，3 1=3，3 2=9，3 3=27，3 4=81，3 5=243，根据其中规律可得 30+31+32+3
13、2018的结果的个位数字是 3 【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出 30+31+32+32018的结果的个位数字【解答】解：3 0=1，3 1=3，3 2=9，3 3=27，3 4=81，3 5=243，个位数 4 个数一循环，（2018+1）4=504 余 3，1+3+9=13，3 0+31+32+32018的结果的个位数字是：3故答案为：3【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键6. （2018黑龙江龙东地区3 分）如图，已知等边ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1为边作等边三角形，得到第一个等边AB 1C1；再以等边AB 1C1的 B1C1边上的高
14、AB2为边作等边三角形，得到第二个等边AB 2C2；再以等边AB 2C2的 B2C2边上的高 AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB 3C3；，记B 1CB28的面积为 S1，B 2C1B3的面积为 S2，B 3C2B4的面积为 S3，如此下去，则 Sn= （ ） n 【分析】由 AB1为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B1为 BC 的中点，求出 BB1的长，利用勾股定理求出 AB1的长，进而求出第一个等边三角形 AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形 AB2C2的面积，依此类推，得到第 n 个等边三角形 ABnCn的面积【解答】解：等边三角形 ABC 的边长
15、为 2，AB 1BC，BB 1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB 1= ，第一个等边三角形 AB1C1的面积为 （ ） 2= （ ） 1；等边三角形 AB1C1的边长为 ，AB 2B 1C1，B 1B2= ，AB 1= ，根据勾股定理得：AB 2= ，第二个等边三角形 AB2C2的面积为 （ ） 2= （ ） 2；依此类推，第 n 个等边三角形 ABnCn的面积为 （ ） n故答案为： （ ） n【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键7. （2018 黑龙江齐齐哈尔3 分）在平面直角坐标系中，点 A（ ，1）在射线 OM 上，点 B（ ，3
16、）在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 RtABA 1，以 BA1为直角边作第二个 RtBA 1B1，以 A1B1为直角边作第三个RtA 1B1A2，依次规律，得到 RtB 2017A2018B2018，则点 B2018的纵坐标为 3 2019 9【分析】根据题意，分别找到 AB.A1B1.A2B2及 BA 1.B1A2.B2A3线段长度递增规律即可【解答】解：由已知可知点 A.A1.A2.A3A2018各点在正比例函数 y= 的图象上点 B.B1.B2.B3B2018各点在正比例函数 y= 的图象上两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为： 由已知，RtA 1B1A
17、2，到 RtB 2017A2018B2018 都有一个锐角为 30当 A（B）点横坐标为 时，由AB=2，则 BA1=2 ，则点 A1横坐标为 ，B 1点纵坐标为9=32当 A1（B 1）点横坐标为 3 时，由A 1B1=6，则 B1A2=6 ，则点 A2横坐标为 ，B 2点纵坐标为 27=33当 A2（B 2）点横坐标为 9 时，由A 2B2=18，则 B2A3=18 ，则点 A3 横坐标为 ，B3 点纵坐标为 81=34依稀类推点 B2018的纵坐标为 32019故答案为：3 2019【点评】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了含有特殊角的直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合8.（
18、2018广东3 分）如图，已知等边OA 1B1，顶点 A1在双曲线 y= （x0）上，点 B1的坐标为（2，0） 过 B1作 B1A2OA 1交双曲线于点 A2，过 A2作 A2B2A 1B1交 x 轴于点 B2，得到第二个等边B 1A2B2；过 B2作 B2A3B 1A2交双曲线于点 A3，过 A3作 A3B3A 2B2交 x 轴于点 B3，得到第三个等边B 2A3B3；以此类推，则点 B6的坐标为 （2 ，0） 10【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出 B2.B3.B4的坐标，得出规律，进而求出点 B6的坐标【解答】解：如图，作 A2Cx 轴于点 C，设 B
19、1C=a，则 A2C= a，OC=OB1+B1C=2+a，A 2（2+a， a） 点 A2在双曲线 y= （x0）上，（2+a） a= ，解得 a= 1，或 a= 1（舍去） ，OB 2=OB1+2B1C=2+2 2=2 ，点 B2的坐标为（2 ，0） ；作 A3Dx 轴于点 D，设 B2D=b，则 A3D= b，OD=OB2+B2D=2 +b，A 2（2 +b， b） 点 A3在双曲线 y= （x0）上，（2 +b） b= ，解得 b= + ，或 b= （舍去） ，OB 3=OB2+2B2D=2 2 +2 =2 ，点 B3的坐标为（2 ，0） ；同理可得点 B4的坐标为（2 ，0）即（4，0
20、） ；，点 Bn的坐标为（2 ，0） ，点 B6的坐标为（2 ，0） 故答案为（2 ，0） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出 B2.B3.B4的坐标进而得11出点 Bn的规律是解题的关键9. （ 2018广 西 北 海 3 分 ） 观察下列等式： 30 1， 31 3， 32 9 ， 33 27 ， 34 81， 35 243，根据其中规律可 得 30 31 32 32018 的结果的 个 位数字 是 。【答案】3【考点】循环规律【 解 析 】 30 1 ， 31 3 ， 32 9 ， 33 27 ， 34 81 个 位 数 4 个 数 一 循 环 ，
21、 20181 4 504 余 3 ， 1 3 9 13， 30 31 32 32018的个位数字是123 。【点评】找到循环规律判断个位数。10.（2018广西贵港3 分）如图，直线 l 为 y= x，过点 A1（1，0）作 A1B1x 轴，与直线 l 交于点 B1，以原点 O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交 x 轴于点 A2；再作 A2B2x 轴，交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交 x 轴于点 A3；，按此作法进行下去，则点 An的坐标为（ 2 n1 ，0 ） 【分析】依据直线 l 为 y= x，点 A1（1，0） ，A 1B1x 轴，可得 A2（2，0）
22、 ，同理可得，A3（4，0） ，A 4（8，0） ，依据规律可得点 An的坐标为（2 n1 ，0） 【解答】解：直线 l 为 y= x，点 A1（1，0） ，A 1B1x 轴，当 x=1 时，y= ，即 B1（1， ） ，tanA 1OB1= ，A 1OB1=60，A 1B1O=30，OB 1=2OA1=2，以原点 O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交 x 轴于点 A2，A 2（2，0） ，同理可得，A 3（4，0） ，A 4（8，0） ，点 An的坐标为（2 n1 ，0） ，故答案为：2 n1 ，0【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关
23、系式 y=kx+b11.（2018贵州黔西南州3 分）根据下列各式的规律，在横线处填空：， ， = ， ， + =13【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“ + = （n 为正整数） ”，依此规律即可得 出结论【解答】解： + 1= ， + = ， + = ， + = ， + = （n 为正整数） 2018=21009， + = 故答案为： 【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式的变化，找出变化规律“ + = （n 为正整数） ”是解题的关键12.（2018贵州遵义4 分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2018 层的三角形个数为 4035 【分析】根据题意和图形
24、可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，第 1 层三角形的个数为：1，第 2 层三角形的个数为：3，第 3 层三角形的个数为：5，第 4 层三角形的个数为：7，第 5 层三角形的个数为：9，第 n 层的三角形的个数为：2n1，当 n=2018 时，三角形的个数为：220181=4035，故答案为：403511（2018 年湖南省娄底市）设 a1，a 2，a 3是一列正整数，其中 a1表示第一个数，a 2表示第二个数，依此类推，a n表示第 n 个数（n 是正整数）已知 a1=1，4a n=（a n+11）142（a n1） 2，则 a2018= 403
25、5 【分析】由 4an=（a n+11） 2（a n1） 2，可得（a n+11） 2=（a n1） 2+4an=（a n+1） 2，根据 a1，a 2，a 3是一列正整数，得出 an+1=an+2，根据 a1=1，分别求出a2=3，a 3=5，a 4=7，a 5=9，进而发现规律 an=2n1，即可求出 a2018=4035【解答】解：4a n=（a n+11） 2（a n1） 2，（a n+11） 2=（a n1） 2+4an=（a n+1） 2，a 1，a 2，a 3是一列正整数，a n+11=a n+1，a n+1=an+2，a 1=1，a 2=3，a 3=5，a 4=7，a 5=9，
26、a n=2n1，a 2018=4035故答案为 4035【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题解决本题的难点在于得出式子 an+1=an+2三.解答题1. （2018湖北随州11 分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为 1 的分数） ，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将 0. 化为分数形式由于 0. =0.777，设 x=0.777则 10x=7.777得 9x=7，解得 x= ，于是得 0. = 同理可得 0. = = ，1. =1+0
27、. =1+ =根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0. = ，5. = ；（2）将 0. 化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】15（3）0. 1 = ，2.0 = ；（注：0. 1 =0.315315，2.0 =2.01818）【探索发现】（4）试比较 0. 与 1 的大小：0. = 1（填“” 、 “”或“=” ）若已知 0. 8571 = ，则 3. 1428 = （注：0. 857l =0.285714285714）【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有 n 位，则这个分数的分母为 n 个 9
28、，分子为循环节【解答】解：（1）由题意知 0. = 、5. =5+ = ，故答案为： 、 ；（2）0. =0.232323，设 x=0.232323，则 100x=23.2323，得：99x=23，解得：x= ，0. = ；（3）同理0. 1 = = ，2.0 =2+ =故答案为： ，（4）0. = =1故答案为：=3. 1428 =3+ =3+ =故答案为：【点评】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，解答时注意按照阅读材料的示例找到规律162（2018贵州黔西南州12 分） “分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图 1 有 6 个点，图 2
29、有 12 个点，图 3 有 18 个点，按此规律，求图 10.图 n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的 6 块，每块黑点 的个数相同（如图） ，这样图 1 中黑点个数是 61=6 个；图 2 中黑点个数是 62=12 个：图 3 中黑点个数是 63=18 个；所以容易求出图 10.图 n 中黑点的个数分别是 60 个 、 6n 个 请你参考以上“分块计数法” ，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上） ，再完成以下问题：（1）第 5 个点阵中有 61 个圆圈；第 n 个点阵中有 （3n 23n+1） 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于 271 吗？如果会，请求出是第几个点阵【分析】根据规律求得
30、图 10 中黑点个数是 610=60 个；图 n 中黑点个数是 6n 个；（1）第 2 个图中 2 为一块，分为 3 块，余 1，第 2 个图中 3 为一块，分为 6 块，余 1；按此规律得：第 5 个点阵中 5 为一块，分为 12 块，余 1，得第 n 个点阵中有：n3（n1）+1=3n 23n+1，（2）代入 271，列方程，方程有解则存在这样的点阵【解答】解：图 10 中黑点个数是 610=60 个；图 n 中黑点个数是 6n 个，故答案为：60 个，6n 个；（1）如图所示：第 1 个点阵中有：1 个，第 2 个点阵中有：23+1=7 个，第 3 个点阵中有：36+1=17 个，第 4 个点阵中有：49+1=37 个，17第 5 个点阵中有：512+1=60 个，第 n 个点阵中有：n3（n1）+1=3n 23n+1，故答案为：60，3n 23n+1；（2）3n 23n+1=271，n2n90=0，（n10） （n+9）=0，n1=10，n 2=9（舍） ，小圆圈的个数会等于 271，它是第 10 个点阵【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键
