1、1动态问题 一.选择题1.（2018山东烟台市3 分）如图，矩形 ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点 P从点 A出发，以lcm/s的速度沿 ADC 方向匀速运动，同时点 Q从点 A出发，以 2cm/s的速度沿 ABC 方向匀速运动，当一个点到达点 C时，另一个点也随之停止设运动时间为 t（s） ，APQ 的面积为 S（cm 2） ，下列能大致反映 S与 t之间函数关系的图象是（ ）A BC D【分析】先根据动点 P和 Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，当 0t4 时，Q 在边 AB上，P 在边 AD上，如图 1，计算 S与 t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项 C
2、.D不正确；当 4t6 时，Q 在边 BC上，P 在边 AD上，如图 2，计算 S与 t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项 B不正确，从而得结论【解答】解：由题意得：AP=t，AQ=2t，当 0t4 时，Q 在边 AB上，P 在边 AD上，如图 1，SAPQ = APAQ= =t2，故选项 C.D不正确；当 4t6 时，Q 在边 BC上，P 在边 AD上，如图 2，SAPQ = APAB= =4t，2故选项 B不正确；故选：A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点 P和 Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出 S与 t的函数关系式2.
3、（2018广西玉林3 分）如图，AOB=60，OA=OB，动点 C从点 O出发，沿射线 OB方向移动，以 AC为边在右侧作等边ACD，连接 BD，则 BD所在直线与 OA所在直线的位置关系是（ ）A平行 B相交C垂直 D平行、相交或垂直【分析】先判断出 OA=OB，OAB=ABO，分两种情况判断出ABD=AOB=60，进而判断出AOCABD，即可得出结论【解答】解：AOB=60，OA=OB，OAB 是等边三角形，OA=AB，OAB=ABO=60当点 C在线段 OB上时，如图 1，ACD 是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC 和ABD 中， ，AOCABD，ABD=A
4、OC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，当点 C在 OB的延长线上时，如图 2，3同的方法得出 OABD，ACD 是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC 和ABD 中， ，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，故选：A3. （2018广西桂林3 分） 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（ ，1） ， （3，1） ， （3，0） ，点 A为线段 MN上的一个动点，连接 AC，过点 A作 交 y轴于点 B，当点 A从 M运动到 N时，点 B随之运动，设点 B的坐标为（0， b）
5、，则 b的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：分两种情形：当 A与点 N、M 重合时来确定 b的最大与最小值即可.详解：如图 1，当点 A与点 N重合时，CAAB，MN 是直线 AB的一部分，N（3，1）OB=1，此时 b=1；当点 A与点 M重合时，如图 2，延长 NM交 y轴于点 D，4易证ACNBMD MN=3- = ,DM= ，CN=1BD= OB=BD-OD= -1= ,即 b=- ， b的取值范围是 .故选 A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键4.（2018广东3 分）如图，点 P是菱形 ABCD边上的一动点，它从
6、点 A出发沿在 ABCD路径匀速运动到点 D，设PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y关于 x的函数图象大致为（ ）A B C D【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P在 AB上，在 BC上和在 CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可【解答】解：分三种情况：当 P在 AB边上时，如图 1，设菱形的高为 h，y= APh，AP 随 x的增大而增大，h 不变，5y 随 x的增大而增大，故选项 C不正确；当 P在边 BC上时，如图 2，y= ADh，AD和 h都不变，在这个过程中，y 不变，故选项 A不正确；当 P在边 CD上时，如图
7、 3，y= PDh，PD 随 x的增大而减小，h 不变，y 随 x的增大而减小，P 点从点 A出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D，P 在三条线段上运动的时间相同，故选项 D不正确；故选：B【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P的位置的不同，分三段求出PAD 的面积的表达式是解题的关键5. （2018广东3 分）如图，点 P是菱形 ABCD边上的一动点，它从点 A出发沿在 ABCD路径匀速运动到点 D，设PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y关于 x的函数图象大致6为（ ）A B C D【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P在 AB上，在 B
8、C上和在 CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可【解答】解：分三种情况：当 P在 AB边上时，如图 1，设菱形的高为 h，y= APh，AP 随 x的增大而增大，h 不变，y 随 x的增大而增大，故选项 C不正确；当 P在边 BC上时，如图 2，y= ADh，AD和 h都不变，在这个过程中，y 不变，故选项 A不正确；当 P在边 CD上时，如图 3，y= PDh，PD 随 x的增大而减小，h 不变，y 随 x的增大而减小，P 点从点 A出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D，P 在三条线段上运动的时间相同，故选项 D不正确；故选：B7【点评】本题考查了
9、动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P的位置的不同，分三段求出PAD 的面积的表达式是解题的关键二.填空题【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b的最值就是确认 OH最值的范围1.（2018江苏无锡2 分）如图，已知XOY=60，点 A在边 OX上，OA=2过点 A作 ACOY于点 C，以 AC为一边在XOY 内作等边三角形 ABC，点 P是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P作 PDOY 交 OX于点 D，作 PEOX 交 OY于点 E设 OD=a，OE=b，则 a+2b的取值范围是 2a+2b5 8【
10、分析】作辅助线，构建 30度的直角三角形，先证明四边形 EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在 RtHEP 中，EPH=30，可得 EH的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH最大和最小值的位置，可得结论【解答】解：过 P作 PHOY 交于点 H，PDOY，PEOX，四边形 EODP是平行四边形，HEP=XOY=60，EP=OD=a，RtHEP 中，EPH=30，EH= EP= a，a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，当 P在 AC边上时，H 与 C重合，此时 OH的最小值=OC= OA=1，即 a+2b的最小值是 2；当 P在点 B时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a
11、+2b）的最大值是 5，2a+2b52. （2018达州3 分）如图，RtABC 中，C=90，AC=2，BC=5，点 D是 BC边上一点且CD=1，点 P是线段 DB上一动点，连接 AP，以 AP为斜边在 AP的下方作等腰 RtAOP当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长为 【分析】过 O点作 OECA 于 E，OFBC 于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF为矩形，由AOP为等腰直角三角形得到 OA=OP，AOP=90，则可证明OAEOPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到 CO平分ACP，从而可判断当 P从点 D出发运动至点 B停止
12、时，点 O的运动路径为一条线段，接着证明 CE= （AC+CP） ，然后分别计算 P点在 D点和 B点时 OC的长，从而计算它们的差即可得到 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长【解答】解：过 O点作 OECA 于 E，OFBC 于 F，连接 CO，如图，AOP 为等腰直角三角形，OA=OP，AOP=90，易得四边形 OECF为矩形，EOF=90，CE=CF，AOE=POF，OAEOPF，AE=PF，OE=OF，CO 平分ACP，当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径为一条线段，9AE=PF，即 ACCE=CFCP，而 CE=CF，CE= （AC+CP） ，OC
13、= CE= （AC+CP） ，当 AC=2，CP=CD=1 时，OC= （2+1）= ，当 AC=2，CP=CB=5 时，OC= （2+5）= ，当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长= =2 故答案为 2 【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算也考查了全等三角形的判定与性质3. （2018杭州4 分）折叠矩形纸片 ABCD时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点A落在 DC边上的点 F处，折痕为 DE，点 E在 AB边上；把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，点 C落在直线 AE上的点 H处，折痕为
14、DG，点 G在 BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则 AD=_。【答案】 或 3 【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折 叠问题） 【解析】 【解答】当点 H在线段 AE上时把ADE 翻折，点 A落在 DC边上的点 F处，折痕为 DE，点 E在 AB边上四边形 ADFE是正方形AD=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG 翻折，点 C落在直线 AE上的点 H处，折痕为 DG，点 G在 BC边上10DC=DH=AB=AD+2在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2+（AD-1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）AD=3+2 当点
15、H在线段 BE上时则 AH=AE-EH=AD+1在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2+（AD+1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3，AD=-1（舍去）故答案为： 或 3【分析】分两种情况：当点 H在线段 AE上；当点 H在线段 BE上。根据的折叠，可得出四边形 ADFE是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1） ，再根据的折叠可得出 DH=AD+2，然后根据勾股定理求出 AD的长。4. （2018嘉兴4 分.）如图,在矩形 中, , ,点 在 上, ,点 是边上一动点,以 为斜边作 .若点 在矩形 的边上,且这样的直角三角
16、形恰好有两个,则的值是_.【答案】0 或 或 4【解析】 【分析】在点 F的运动过程中分别以 EF为直径作圆，观察圆和矩形矩形 边的交点个数即可得到结论.【解答】当点 F与点 A重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.当点 F从点 A向点 B运动时，当 时，共有 4个点 P使 是以 为斜边 .当 时，有 1个点 P使 是以 为斜边 .当 时，有 2个点 P使 是以 为斜边 .11当 时，有 3个点 P使 是以 为斜边 .当 时，有 4个点 P使 是以 为斜边 . 当点 F与点 B重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.故答案为：0 或 或 4【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直
17、角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.三.解答题1.（2018江苏宿迁12 分）如图，在边长为 1的正方形 ABCD中，动点 E.F分别在边 AB.CD上，将正方形 ABCD沿直线 EF折叠，使点 B的对应点 M始终落在边 AD上（点 M不与点 A.D重合） ，点 C落在点 N处，MN 与 CD交于点 P，设 BE=x，（1）当 AM= 时，求 x的值；（2）随着点 M在边 AD上位置的变化，PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形 BEFC的面积为 S，求 S与 x之间的函数表达式，并求出 S的最小值. 【分析】 （1）由折叠性质可知 B
18、E=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 RtAME 中，根据勾股定理得（1-x） 2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B作 BHMN，根据折叠性质知 BE=ME，由等边对等角得EBM=EMB，由等角的余角相等得MBC=BMN，由全等三角形的判定 AAS得 RtABMRtHBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定 HL得 RtBHPRtBCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长和等量代12换即可得出PDM 周长为定值 2.（3）过 F作 FQAB，连接 BM，由折叠
19、性质可知：BEF=MEF,BMEF，由等角的余角相等得EBM=EMB=QFE，由全等三角形的判定 ASA得 RtABMRtQFE，据全等三角形的性质得AM=QE；设 AM长为 a，在 RtAEM 中，根据勾股定理得（1-x） 2+a2=x2,从而得 AM=QE= ,BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S与 x的函数关系式；又由（1-x）2+a2=x2,得 x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0a1） ，代入梯形面积公式即可转为关于 a的二次函数，配方从而求得 S的最小值.【详解】解：（1）由折叠性质可知：BE=ME=x，正方形 ABCD边长为 1，AE=1-x，在 RtAM
20、E 中，AE 2+AM2=ME2 ， 即（1-x） 2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B作 BHMN，BE=ME，EBM=EMB，又EBC=EMN=90，即EBM+MBC=EMB+BMN=90，MBC=BMN，又正方形 ABCD，ADBC，AB=BC，AMB=MBC=BMN，在 RtABM 和 RtHBM 中， ,RtABMRtHBM（AAS） ，AM=HM，AB=HB=BC，在 RtBHP 和 RtBCP 中， , RtBHPRtBCP（HL） ，HP=CP，又C PDM =MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+
21、DP+AM+PC=AD+DC=2.PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.（3）解：过 F作 FQAB，连接 BM，13由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，EBM+BEF=EMB+MEF=QFE+BEF=90,EBM=EMB=QFE，在 RtABM 和 RtQFE 中， ,RtABMRtQFE（ASA） ，AM=QE，设 AM长为 a，在 RtAEM 中，AE 2+AM2=EM2,即（1-x） 2+a2=x2,AM=QE= ,BQ=CF=x- ，S= （CF+BE）BC = （x- +x）1= （2x- ）,又（1-x） 2+a2=x2, x= =AM=BE，BQ=CF= -a，S=
22、（ -a+ ）1= （a 2-a+1）= （a- ） 2+ ，0a1，当 a= 时，S 最小值 = . 【点睛】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）. 2.（2018江苏徐州10 分）如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90，EDF=30操作：将三角板 DEF的直角顶点 E放置于三角板 ABC的斜边 AC上，再将三角板 DEF绕点 E旋转，并使边 DE与边 AB交于点 P，边 EF与边 BC于点 Q探究一：在旋转过程中，（1）如图 2，当 时，EP 与 EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图 3，当 时，
23、EP 与 EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当 时，EP 与 EQ满足的数量关系式为 EP：EQ=1：m ，其中 m的取值范围是 0m2+ （直接写出结论，不必证明）探究二：若 且 AC=30cm，连接 PQ，设EPQ 的面积为 S（cm 2） ，在旋转过程中：14（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着 S取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S的值或取值范围【分析】探究一：（1）连接 BE，根据已知条件得到 E是 AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明 BE=CE，PB
24、E=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论；（2）作 EMAB，ENBC 于 M、N，根据两个角对应相等证明MEPNWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到 EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求 m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析探究二：（1）设 EQ=x，结合上述结论，用 x表示出三角形的面积，根据 x的最值求得面积的最值；（2）首先求得 EQ和 EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论【解答】解：探究一：（1）连接 BE，根据 E是 AC的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=
25、CE，PBE=C，又BEP=CEQ，则BEPCEQ，得 EP=EQ；（2）作 EMAB，ENBC 于 M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过 E点作 EMAB 于点 M，作 ENBC 于点 N，在四边形 PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180（四边形的内角和是 360） ，又EPB+MPE=180（平角是 180） ，MPE=EQN（等量代换） ，RtMEPRtNEQ（AA） ， （两个相似三角形的对应边成比例） ；在 RtAMERtENC =m=， =1：m= ，15EP与
26、 EQ满足的数量关系式为 EP：EQ=1：m，0m2+ ；（当 m2+ 时，EF 与 BC不会相交） 探究二：若 AC=30cm，（1）设 EQ=x，则 S= x2，所以当 x=10 时，面积最小，是 50cm2；当 x=10 时，面积最大，是 75cm2（2）当 x=EB=5 时，S=62.5cm 2，故当 50S62.5 时，这样的三角形有 2个；当 S=50或 62.5S75 时，这样的三角形有一个【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解3.（2018江苏淮安12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+4的图象与 x轴和y轴分别相交于 A.B两点动
27、点 P从点 A出发，在线段 AO上以每秒 3个单位长度的速度向点 O作匀速运动，到达点 O停止运动，点 A关于点 P的对称点为点 Q，以线段 PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为 t秒（1）当 t= 秒时，点 Q的坐标是 （4，0） ；（2）在运动过程中，设正方形 PQMN与AOB 重叠部分的面积为 S，求 S与 t的函数表达式；（3）若正方形 PQMN对角线的交点为 T，请直接写出在运动过程中 OT+PT的最小值【分析】 （1）先确定出点 A的坐标，进而求出 AP，利用对称性即可得出结论；（2）分三种情况，利用正方形的面积减去三角形的面积，利用矩形的面积减去三角形的面积，利用梯形的面积，
28、即可得出结论；16（3）先确定出点 T的运动轨迹，进而找出 OT+PT最小时的点 T的位置，即可得出结论【解答】解：（1）令 y=0， x+4=0，x=6，A（6，0） ，当 t= 秒时，AP=3 =1，OP=OAAP=5，P（5，0） ，由对称性得，Q（4，0） ；故答案为（4，0） ；（2）当点 Q在原点 O时，OQ=6，AP= OQ=3，t=33=1，当 0t1 时，如图 1，令 x=0，y=4，B（0，4） ，OB=4，A（6，0） ，OA=6，在 RtAOB 中，tanOAB= = ，由运动知，AP=3t，P（63t，0） ，Q（66t，0） ，PQ=AP=3t，四边形 PQMN是正
29、方形，MNOA，PN=PQ=3t，在 RtAPD 中，tanOAB= = = ，PD=2t，DN=t，MNOA17DCN=OAB，tanDCN= = = ，CN= t，S=S 正方形 PQMN SCDN =（3t） 2 t t= t2；当 1t 时，如图 2，同的方法得，DN=t，CN= t，S=S 矩形 OENPS CDN =3t（63t） t t= t2+18t；当 t2 时，如图 3，S=S 梯形 OBDP= （2t+4） （63t）=3t 2+12；（3）如图 4，由运动知，P（63t，0） ，Q（66t，0） ，M（66t，3t） ，T 是正方形 PQMN的对角线交点，T（6 t，
30、t）点 T是直线 y= x+2上的一段线段， （3x6） ，作出点 O关于直线 y= x+2的对称点 O交此直线于 G，过点 O作 OFx 轴，则 OF就是OT+PT的最小值，由对称知，OO=2OG，易知，OH=2，OA=6，AH= =2 ，S AOH = OHOA= AHOG，OG= ，OO=在 RtAOH 中，sinOHA= = = ，HOG+AOG=90，HOG+OHA=90，AOG=OHA，在 RtOFO中，OF=OOsinOOF= = ，18即：OT+PT 的最小值为 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，
31、用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点 T的位置是解本题（3）的难点4.（2018江苏苏州10 分）如图，直线 l表示一条东西走向的笔直公路，四边形 ABCD是一块边长为 100米的正方形草地，点 A，D 在直线 l上，小明从点 A出发，沿公路 l向西走了若干米后到达点 E处，然后转身沿射线 EB方向走到点 F处，接着又改变方向沿射线 FC方向走到公路 l上的点 G处，最后沿公路 l回到点 A处设 AE=x米（其中 x0） ，GA=y 米，已知 y与x之间的函数关系如图所示，（1）求图中线段 MN所在直线的函数表达式；19（2）试问小明从起点 A出发直至最后回到点 A处，所走过的路径（
32、即EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 x的值；如果不可以，说明理由【分析】 （1）根据点 M、N 的坐标，利用待定系数法即可求出图中线段 MN所在直线的函数表达式；（2）分 FE=FG、FG=EG 及 EF=EG三种情况考虑：考虑 FE=FG是否成立，连接 EC，通过计算可得出 ED=GD，结合 CDEG，可得出 CE=CG，根据等腰三角形的性质可得出CGE=CEG、FEGCGE，进而可得出 FEFG；考虑 FG=EG是否成立，由正方形的性质可得出 BCEG，进而可得 出FBCFEG，根据相似三角形的性质可得出若 FG=EG则 FC=BC，进而可得出 CG、DG 的长度，在
33、RtCDG 中，利用勾股定理即可求出 x的值；考虑 EF=EG是否成立，同理可得出若 EF=EG则 FB=BC，进而可得出 BE的长度， 在 RtABE 中，利用勾股定理即可求出 x的值综上即可得出结论【解答】解：（1）设线段 MN所在直线的函数表达式为 y=kx+b，将 M（30，230） 、N（100，300）代入 y=kx+b，解得： ，线段 MN所在直线的函数表达式为 y=x+200（2）分三种情况考虑：考虑 FE=FG是否成立，连接 EC，如图所示AE=x，AD=100，GA=x+200，ED=GD=x+100又CDEG，CE=CG，CGE=CEG，FEGCGE，FEFG；考虑 FG
34、=EG是否成立四边形 ABCD是正方形，BCEG，FBCFEG假设 FG=EG成立，则 FC=BC成立，FC=BC=100AE=x，GA=x+200，FG=EG=AE+GA=2x+200，CG=FGFC=2x+200100=2x+100在 RtCDG 中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100，100 2+（x+100） 2=（2x+100） 2，解得：x 1=100（不合题意，舍去） ，x 2= ；20考虑 EF=EG是否成立同理，假设 EF=EG成立，则 FB=BC成立，BE=EFFB=2x+200100=2x+100在 RtABE 中，AE=x，AB=100，BE=2x+10
35、0，100 2+x2=（2x+100） 2，解得：x 1=0（不合题意，舍去） ，x 2= （不合题意，舍去） 综上所述：当 x= 时，EFG 是一个等腰三角形【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分 FE=FG、FG=EG 及 EF=EG三种情况求出 x的值5. （2018嘉兴12 分）我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底” 。（1）概念理解:如图 1,在 中,
36、, . ,试判断 是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图 2, 是“等高底”三角形, 是“等底” ，作 关于 所在直线的对称图形得到,连结 交直线 于点 .若点 是 的重心,求 的值.（3）应用拓展:如图 3,已知 , 与 之间的距离为 2.“等高底” 的“等底” 在直线 上,点 在直线 上,有一边的长是 的 倍.将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 , 所在直线交于点 .求 的值.【答案】 （1）证明见解析；（2） （3） 的值为 , ,221【解析】分析：（1）过点 A作 AD直线 CB于点 D，可以得到 AD=BC=3，即可得到结论；（2）根据 ABC是“等高底”三角形，
37、BC是“等底” ，得到 AD=BC， 再由 A BC与 ABC关于直线 BC对称， 得到 ADC=90，由重心的性质，得到 BC=2BD设 BD=x，则 AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得 AC= x，即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：当 AB= BC时，再分两种情况讨论；当 AC= BC时，再分两种情况讨论即可详解：（1）是理由如下：如图 1，过点 A作 AD直线 CB于点 D， ADC为直角三角形， ADC=90 ACB=30， AC=6， AD= AC=3， AD=BC=3，即 ABC是“等高底”三角形（2）如图 2， ABC是“等高底”三角形， BC是“等底” ， A
38、D=BC， A BC与 ABC关于直线 BC对称， ADC=90点 B是 AA C的重心， BC=2BD设 BD=x，则 AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得 AC= x， （3）当 AB= BC时，如图 3，作 AE l1于点 E， DF AC于点 F“等高底” ABC的“等底”为 BC， l1/l2，l1与 l2之间的距离为 2， AB= BC， BC=AE=2， AB=2 ， BE=2，即 EC=4， AC= 22 ABC绕点 C按顺时针方向旋转 45得到 A B C， CDF=45设 DF=CF=x l1/l2， ACE= DAF， ，即 AF=2x AC=3x= ，可得 x
39、= ， CD= x= 如图 4，此时 ABC是等腰直角三角形， ABC绕点 C按顺时针方向旋转 45得到 A B C， ACD是等腰直角三角形， CD= AC= 当 AC= BC时，如图 5，此时 ABC是等腰直角三角形 ABC绕点 C按顺时针方向旋转 45得到 A B C， A C l1， CD=AB=BC=2如图 6，作 AE l1于点 E，则 AE=BC， AC= BC= AE， ACE=45， ABC绕点 C按顺时针方向旋转 45得到 A B C时，点 A在直线 l1上， A C l2，即直线 A C与 l2无交点综上所述： CD的值为 ， ，223点睛：本题是几何变换-旋转综合题考查
40、了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解6. （2018黑龙江龙东地区10 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的边 AB在 x轴上，点 B坐标（3，0） ，点 C在 y轴正半轴上，且 sinCBO= ，点 P从原点 O出发，以每秒一个单位长度的速度沿 x轴正方向移动，移动时间为 t（0t5）秒，过点 P作平行于 y轴的直线 l，直线 l扫过四边形 OCDA的面积为 S（1）求点 D坐标（2）求 S关于 t的函数关系式（3）在直线 l移动过程中，l 上是否存在一点 Q，使以 B.C.Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出
41、Q点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）在 RtBOC 中，OB=3，sinCBO= = ，设 CO=4k，BC=5k，根据 BC2=CO2+OB2，可得 25k2=16k2+9，推出 k=1或1（舍弃） ，求出菱形的边长即可解决问题；（2）如图 1中，当 0t2 时，直线 l扫过的图象是四边形 CCQP，S=4t如图 2中，当2t5 时，直线 l扫过的图形是五边形 OCQTA分别求解即可解决问题；（3）分三种情形分解求解即可解决问题；【解答】解：（1）在 RtBOC 中，OB=3，sinCBO= = ，设 CO=4k，BC=5k，BC 2=CO2+OB2，25k 2=16k2+9，k
42、=1 或1（舍弃） ，BC=5，OC=4，四边形 ABCD是菱形，CD=BC=5，D（5，4） 24（2）如图 1中，当 0t2 时，直线 l扫过的图象是四边形 CCQP，S=4t如图 2中，当 2t5 时，直线 l扫过的图形是五边形 OCQTAS=S 梯形 OCDAS DQT = （2+5）4 （5t） （5t）= t2+ t （3）如图 3中，当 QB=QC，BQC=90，Q（ ， ） 当 BC=CQ，BCQ=90时，Q（4，1） ；当 BC=BQ，CBQ=90时，Q（1，3） ；综上所述，满足条件的点 Q坐标为（ ， ）或（4，1）或（1，3） 【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、
43、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的25关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题7.（2018广东9 分）已知 RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边 OB=4，将 RtOAB 绕点O顺时针旋转 60，如题图 1，连接 BC（1）填空：OBC= 60 ；（2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP的长度；（3）如图 2，点 M，N 同时从点 O出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M的运动速度为 1.5单位/秒，点 N的运动速度为 1单位/秒，设运动时间为 x
44、秒，OMN 的面积为 y，求当 x为何值时 y取得最大值？最大值为多少？【分析】 （1）只要证明OBC 是等边三角形即可；（2）求出AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：当 0x 时，M 在 OC上运动，N 在 OB上运动，此时过点 N作 NEOC 且交 OC于点 E当 x4 时，M 在 BC上运动，N 在 OB上运动当 4x4.8 时，M、N 都在 BC上运动，作 OGBC 于 G【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60，OBC 是等边三角形，OBC=60故答案为 60（2）如图 1中，OB=4，ABO=30，26OA= OB=
45、2，AB= OA=2 ，S AOC = OAAB= 22 =2 ，BOC 是等边三角形，OBC=60，ABC=ABO+OBC=90，AC= =2 ，OP= = = （3）当 0x 时，M 在 OC上运动，N 在 OB上运动，此时过点 N作 NEOC 且交 OC于点E则 NE=ONsin60= x，S OMN = OMNE= 1.5x x，y= x2x= 时，y 有最大值，最大值= 当 x4 时，M 在 BC上运动，N 在 OB上运动作 MHOB 于 H则 BM=81.5x，MH=BMsin60= （81.5x） ，27y= ONMH= x2+2 x当 x= 时，y 取最大值，y ，当 4x4.
46、8 时，M、N 都在 BC上运动，作 OGBC 于 GMN=122.5x，OG=AB=2 ，y= MNOG=12 x，当 x=4时，y 有最大值，最大值=2 ，综上所述，y 有最大值，最大值为 【点评】本题考查几何变换综合题、30 度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题8.（2018贵州黔西南州16 分）如图 1，已知矩形 AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点 P从点 A出发，以 3cm/s的速度向点 O运动，直到点 O为止；动点 Q同时从点 C出发，以 2cm/s的速度向点 B运动，与点 P同时结束运动（1）点 P到达终点 O的运动时间是 s，此时点 Q的运动距离是 cm；（2）当运动时间为 2s时，P、Q 两点的距离为 6 cm；（3）请你计算出发多久时，点 P和点 Q之间的距离是 10cm；（4）如图
