1、1压轴大题高分练 7.函数与导数(C 组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(ln x-x+1).(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数.(2)若函数 f(x)的最小值为-e,求 a 的取值范围.【解析】(1)f(x)=(x-1)e x+a = (x0),(-1)(-)令 g(x)=xex-a(x0),g(x)=(x+1)e x0,故 g(x)在(0,+)上单调递增,则 g(x)g(0)=-a.因此当 a0 或 a=e 时,f(x)只有一个零点;当 0e 时,f(x)有两个零点.(2)当 a0 时,xe x-a0,则函数 f(
2、x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=-e.当 a0 时,则函数 y=xex-a 在(0,+)上单调递增,则必存在正数 x0,使得 x0 -a=0.若 ae,则 x01,函数 f(x)在(0,1)与(x 0,+)上单调递增,在(1,x 0)上单调递减,又 f(1)=-e,故不符合题意.若 a=e,则 x0=1,f(x)0,函数在(0,+)上单调递增,又 f(1)=-e,故不符合题意.若 02 时,讨论 f(x)的单调性.(2)若 b=1,F(x)=f(x)- ,且当 a-2 时,不等式 F(x)2 在区间(0,2上有解,求实数 a 的取值范围.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0,+)
3、,由 2a+b=4 得 f(x)=aln x+ + (4-2a)x+1,所以 f(x)= - +4-2a12= .-(-2)-1(2-1)2令 f(x)=0,得 x1= ,x2= .12 1-2当 a=4 时,f(x)0,f(x)在(0,+)内单调递减;当 20 ,12 1-2 12 1-2所以 f(x)在 , 上单调递减,在 上单调递增;(0,12) (12, 1-2)当 a4 时,f(x)0 ,1-2 12 1-2 12所以,f(x)在 , 上单调递减,在 上单调递增.(0, 1-2) ( 1-2,12)(2)由题意,当 a-2 时,F(x)在区间(0,2上的最大值 F(x)max2.当 b=1 时,F(x)=aln x+ +x+1- =aln x- +x+1,则 F(x)= (00,故 F(x)在(0,2上单调递增,F(x) max=F(2);当 a2 时,设 x2+ax+1=0(=a 2-40)的两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=-a0,故 F(x)在(0,2上单调递增,F(x) max=F(2).综上,当 a-2 时,F(x)在区间(0,2上的最大值F(x)max=F(2)=aln 2- +2+12,12解得 a- ,122所以实数 a 的取值范围是 .- 122,+)
