1、1压轴小题抢分练(四)压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过抛物线 x2=2y 上两点 A,B 分别作切线,若两条切线互相垂直,则线段 AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为 ( )A. B.1 C. D.2【解析】选 B.抛物线的方程即:y= ,则 y=x,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则过 A,B 两点切线的斜率为:k 1=x1,k2=x2,由题意可得:x 1x2=-1.由题知抛物线的准线方程为 y=- ,则线段 AB 的中点到抛物线准线的距离为
2、:+ = ( + +2) (2|x1x2|+2)=1,1+22当且仅当|x 1|=|x2|=1 时等号成立.据此可得线段 AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为 1.2.已知函数 f(x)=e2 018x+mx3-m(m0),当 x1+x2=1 时,对于任意的实数 ,都有不等式 f(x1)+f(sin2)f(x 2)+f(cos2)成立,则实数 x1的取值范围是 ( )A.1,+) B.1,2 C.(1,2 D.(1,+)【解析】选 D.令 g(x)=f(x)-f(1-x)=(e2 018x+mx3)-e2 018(1-x)+m(1-x)3,则g(x)=2 018e 2 018x+e2 01
3、8(1-x)+3mx2+(1-x)20,据此可得函数 g(x)单调递增,x1+x2=1,则不等式 f(x1)+f(sin2)f(x 2)+f(cos2),即f(x1)+f(sin2)f(1-x 1)+f(1-sin2),则 f(x1)-f(1-x1)f(1-sin2)-f1-(1-sin 2),2即 g(x1)g(1-sin2),结合函数 g(x)的单调性可得:x 11-sin2 恒成立,当 sin =0 时,(1-sin 2) max=1,结合恒成立的条件可得实数 x1的取值范围是(1,+).3.已知双曲线 - =1(a0,b0)的左右焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线 l:12x-5
4、y -24=02222交双曲线的右支于 A,B 两点,若AF 1B 的平分线的方程为 x-4y+2=0,则三角形 AF1B 内切圆的标准方程为 ( )A. + =(138)2B.(x-1)2+ =C.(x-1)2+ =D. + =【解析】选 A.如图所示,设三角形 AF1B 的内切圆切 AB 于点 E,切 AF1于点 G,切 BF1于点 H,则 BF1-BF2=AF1-AF2,得BH+HF1-(BE+EF2)=AG+GF1-(AE-EF2),所以-EF 2=EF2,即 EF2=0,也就是 E 与 F2重合,由AF 1B 的平分线的方程为 x-4y+2=0,可得 F1(-2,0),故 F2(2,
5、0).设三角形 AF1B 的内切圆的圆心 C(m,n),则3解得 m= ,n= .12 58所以三角形 AF1B 的内切圆的半径为 r= = ,所以三角形 AF1B 的内切圆的标准方程为 + = .(138)24.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a- 时,g(x)0,12所以当 x=- 时,g(x)取最小值 -2 .12 -12当 x=0 时,g(0)=-1,当 x=1 时,g(1)=e0,4直线 y=ax-a 恒过定点(1,0)且斜率为 a,故-ag(0)=-1 且 g(-1)=-3e-1-a-a,解得 a B.ACBC,且 SAGB =SAGC =SBGC ,所以 GH
6、 ,即 tan tan tan .因为正切函数在 上为增函数,(0,2)所以 .6.函数 f(x)=(kx+4)ln x-x(x1),若 f(x)0 的解集为(s,t),且(s,t)中恰有两个整数,则实数 k 的取值范围为 ( )5A. B.(12-2, 122-1) (12-2, 122-1C. D.(13-43, 122-1) (13-43, 122-1【解析】选 D.令 f(x)0,得 kx+4 ,令 g(x)= ,则 g(x)= ,令 g(x)0,解得 xe,令 g(x)0 在(s,t)中恰有两个整数解,由图可知,这两个整数解为 2 和 3,从而有 解得 - 33,4+444, 134
7、3 1227.若曲线 y=ln 的一条切线为 y=ex+b,其中 a,b 为正实数,则 a+ 的取值范围是 ( )A. B.,+)C. D.【解析】选 C.设切点为(x 0,y0),6则有 b=ae-2,因为 b0,所以 a ,a+ =a+ 2.8.已知函数 f(x)满足 f(x)+1= ,当 x0,1时,f(x)=x,若在区间(-1,1上方程f(x)-mx-m=0 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是 ( )A. B.0,12)C. D.0,13) (0,12【解析】选 D.设 x(-1,0),则 x+1(0,1),因为当 x0,1时,f(x)=x,所以 f(x+1)=x+1.因为 f
8、(x)+1= ,可得 f(x)=方程 f(x)-mx-x=0,化为 f(x)=mx+m,画出图象 y=f(x),y=m(x+1),M(1,1),N(-1,0),可得 kMN= .12因为在区间(-1,1上方程 f(x)-mx-x=0 有两个不同的实根,所以 00(其中 e=2.71828为自然对数的底数)的解集中,有且仅有两个正整数,则实数 a 的取值范围为 ( )A. B.943,12)C. D.943, 432)【解析】选 D.x2-axex-aex0x2a(x+1)ex,设 f(x)=x2,g(x)=a(x+1)ex,则原不等式等价于 f(x)g(x).10若 a0,则当 x0 时,f(
9、x)0,g(x)0.因为 f(0)=0,g(0)=a0,所以 f(0)10 的 n 的最小值为_. 【解析】由题意可知数列a n中 an= 的有 2k-1项,这 2k-1项记作第 k 组,2第 k 组中所有项的和为 ,所以前 5 组所有项的和为 = ,且前 5 组的项数为1+2+3+4+521+21+22+23+24=31.第 6 组有 32 项,各项均为 ,即 .62612由 26 可得满足 Sn10 的 n 的最小值为 31+27=58.52 52答案:5815.若实数 x,y,z 满足 x+2y+3z=1,x2+4y2+9z2=1,则 z 的最小值是_. 【解析】x+2y+3z=1,则
10、x=1-2y-3z,据此可得:(1-2y-3z)2+4y2+9z2=1,整理可得 4y2+(6z-2)y+(9z2-3z)=0,满足题意时上述关于 y 的一元二次方程有实数根,则 =(6z-2) 2-16(9z2-3z)0,整理可得(3z-1)(9z+1)0,则- z .19 13则 z 的最小值是- .19答案:-1916.点 F1,F2分别是椭圆 C: +y2=1 的左、右两焦点,点 N 为椭圆 C 的上顶点,若动点 M 满足:22| |2=2 ,则| +2 |的最大值为_. 【解析】设 M(x0,y0),由 +y2=1,22得 N(0,1),F1(-1,0),F2(1,0),则由| |2=2 ,可得 +(y0-1)2=2 -2+2 ,20 20 20化为 +(y0+1)2=4,可设20=(-1-2cos ,1-2sin ),2 =(2-4cos ,2-4sin ),+2 =(1-6cos ,3-6sin ),13| +2 |= 46-12-36= =6+ ,10其中 cos = ,即| +2 |的最大值为 6+ .10答案:6+ 10
