1、第一篇 思想方法技巧 第一讲 函数与方程思想,微题型一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 【典例1】(1)已知f(x)=log2x,x2,16,对于函数f(x)值域内的任意实数m,则使x2+mx+42m+4x恒成立的实数x的取值范围为 ( ),A.(-,-2 B.2,+) C.(-,-22,+) D.(-,-2)(2,+),(2)直线y=a分别与曲线y=2(x+1),y=x+ln x交于A,B两 点,则|AB|的最小值为 ( ) A.3 B.2 C. D.,【思路点拨】,【解析】(1)选D.因为x2,16,所以f(x)=log2x1,4, 即m1,4.不等式x2+mx+42m+4x恒
2、成立, 即为m(x-2)+(x-2)20恒成立, 设g(m)=(x-2)m+(x-2)2, 则此函数在1,4上恒大于0,解得x2.,(2)选D.当y=a时,2(x+1)=a,所以 . 设方程x+ln x=a的根为t(t0),则t+ln t=a, 则 设 令g(t)=0,得t=1,当t(0,1)时,g(t)0,所以 所以|AB|的最小值为,【方法点睛】函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧 (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得.,(2)求参数的取值范围一般有两种途径:其一,充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母
3、为元的不等式(组)求解;其二,充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后应用函数知识求值域.,(3)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数.,【跟踪训练】 1.已知函数 g(x)=-x2+2bx-4,若对 任意x1(0,2),x21,2,不等式f(x1)g(x2)恒成立, 则实数b的取值范围为_.,【解析】对任意x1(0,2),x21,2,不等式f(x1) g(x2)恒成立
4、. 等价于f(x)ming(x)max.,令f(x)0得x2-4x+30,解得1x3, 故函数f(x)的单调递增区间是(1, 3), 单调递减区间是(0,1)和(3,+), 故在区间(0,2)上,1是函数f(x)的极小值点,这个极小值点是唯一的,故也是最小值点,所以f(x)min=f(1)=- ,x(0,2). 由于函数g(x)=-x2+2bx-4,x1,2, 当b2时,g(x)max=g(2)=4b-8.,故问题等价于 答案:,微题型二 函数与方程思想在三角函数、平面向量中 的应用 【典例2】(1)若方程cos2x-sin x+a=0在 上有 解,则a的取值范围是_.,(2) (2018秦皇
5、岛一模)已知向量a=(,1), b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数的值为 ( ) A.-1 B.2 C.1 D.-2,【思路点拨】,【解析】(1)方法一:把方程变形为a=-cos2 x+sin x, 设f(x)=-cos2x+sin x,x , 显然,当且仅当a属于f(x)的值域时有解. 因为f(x)=-(1-sin2 x)+sin x= ,且由 x 知sin x(0,1,易求得f(x)的值域为,(-1,1,故a的取值范围是(-1,1.,方法二:令t=sin x, 由x ,可得t(0,1, 将方程变为t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1上有解, 设f(t)=t2+t
6、-1-a,其图象是开口向上的抛物线,对称轴,t=- ,如图所示, 因此,f(t)=0在(0,1上有解等价于 所以-1a1, 故a的取值范围是(-1,1. 答案:(-1,1,(2)选A.方法一:由|a+b|=|a-b|, 可得a2+b2+2ab=a2+b2-2ab,所以ab=0, 故ab=(,1)(+2,1)=2+2+1=0, 解得=-1.,方法二:a+b=(2+2,2),a-b=(-2,0), 由|a+b|=|a-b|, 可得(2+2)2+4=4,解得=-1.,【方法点睛】函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用技巧 (1)研究此类含参数的三角函数方程的问题,通常有两种处理思路:一是分离参数
7、构建函数,将方程有解转化为求函数的值域.二是换元,将复杂方程问题转化熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.,(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识,对平面向量的模进行平方处理,把模问题转化为数量积问题,再利用函数与方程思想来分析与处理,这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式.,【跟踪训练】 2.如图,A是单位圆与x轴的交点,点P在单位圆上,AOP =(0), 四边形OAQP的面积为S.当 取得最大值时,的值为 ( ),【解析】选B.因为 所以四边形OAQP是平行 四边形,于是S=2SAOP=11sin =sin , 因为 所以 =cos +sin = 故
8、 的最大值为 , 此时= .,微题型三 函数与方程思想在数列问题中的应用 【典例3】(1)已知数列an满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为_. (2)(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为 Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.,若a3+b3=5,求bn的通项公式; 若T3=21,求S3.,【思路点拨】,【解析】 (1)因为an+1-an=2n, 所以当n2时,an-an-1=2(n-1), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+2+33=n2-n+33(n2). 又a
9、1=33=1-1+33,故a1满足上式, 所以an=n2-n+33(nN*),所以f(x)在区间(0, )上单调递减,在区间( ,+) 上单调递增, 又5 6,且f(5)=5+ -1= ,所以当n=6时, 有最小值 . 答案:,(2)设an的公差为d,bn的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3.(*) 由a3+b3=5得2d+q2=6.(*) 联立(*)和(*),解得,因此bn的通项公式bn=2n-1. 由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4, 当q=-5时,由(*)得d=8,则S3=21; 当q=4时,由(*)得d
10、=-1,则S3=-6.,【方法点睛】数列问题函数(方程)化法 数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似,但要注意数列问题中n的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性特点,其一般解题步骤是: 第一步:分析数列式子的结构特征. 第二步:根据结构特征构造函数(方程),转化问题形式.,第三步:研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质,主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究. 第四步:回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究,回归问题.,【跟踪训练】 3.已知数列an是各项均为正数的等差数列,a1=2,且 a2,a3,a4+1成等比数列. (1)求数列an的通项公式a
11、n. (2)设数列an的前n项和为 , 若 对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值.,【解析】(1)因为a1=2, =a2(a4+1), 又因为an是正项等差数列,故公差d0, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),(列出方程) 解得d=2或d=-1(舍去), 所以数列an的通项公式an=2n.,(2)由(1)知Sn=n(n+1),令f(x)=2x+ (x1),(构造函数) 则f(x)=2- , 当x1时,f(x)0恒成立, 所以f(x)在1,+)上是增函数, 故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max= , 要使对任意的正整数n,不等式bnk
12、恒成立, 则需使k(bn)max= , 所以实数k的最小值为 .,微题型四 函数与方程思想在解析几何问题中的应用 【典例4】(1)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆 心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB| =4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为 ( ) 世纪金榜导学号,A.2 B.4 C.6 D.8,(2)已知椭圆 的右焦点为F(1,0), 如图,设左顶点为A,上顶点为B,且 .,求椭圆C的方程; 若过F的直线l交椭圆于M,N两点,试确定 的 取值范围.,【思路点拨】,【解析】(1)选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y2=2p
13、x(p0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:,设 点A(x0,2 )在抛物线y2=2px上,所以8=2px0. 点 在圆x2+y2=r2上,所以5+ =r2. 点A(x0,2 )在圆x2+y2=r2上,所以 +8=r2. 联立解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.,(2)由已知,得A(-a,0),B(0,b),F(1,0), 则由 ,得b2-a-1=0.(列出方程) 因为b2=a2-1,所以a2-a-2=0,解得a=2. 所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为 .,()若直线l斜率不存在,则l:x=1, 此时 ()若直线l斜率存在, 设l:y=k(x-1),M(x1,y1
14、),N(x2,y2), 则由 消去y得,(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,(列出方程) 所以 所以 =(x1-1,y1)(x2-1,y2) =(1+k2)x1x2-(x1+x2)+1 = (转化为函数),因为k20,【方法点睛】函数与方程思想在解析几何中的应用 (1)利用方程求椭圆离心率的方法 第一步:设椭圆的标准方程 . 第二步:转化几何、向量、三角等关系为数量关系.,第三步:利用方程思想建立a,b,c的关系式. 构建离心率 (ab0).,(2)解析几何中的最值问题 解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之
15、中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助函数最值的探求来使问题得以解决.,4.(2018安庆一模)已知圆M:x2+y2=r2(r0)与直线 l1:x- y+4=0相切,设点A为圆上一动点,ABx轴于点 B,且动点N满足 ,设动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P,Q两点,求OPQ (O为坐标原点)面积的最大值.,【解析】(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为ABx轴于B, 所以B(x0,0), 由题意得, 所以圆M的方程为M:x2+y2=4. 因为 ,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即 将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4中,得动点N的轨迹方程为,(2)由题意,设直线l: x+y+m=0,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立直线l与椭圆C的方程得 消去y,得 13x2+8 mx+4m2-4=0, =192m2-413(4m2-4)=16(-m2+13)0,解得m213,又点O到直线l的距离,当且仅当m2=13-m2,即m= 时,等号成立. 所以OPQ面积的最大值为1.,
