1、12.3.2 数列求和及综合应用考题预测精准猜押一、选择题1.若数列a n的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列a n的前 n项和 Sn= ( )A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2【解析】选 C.Sn=a1+a2+a3+an=(21+21-1)+(22+22-1)+(23+23-1)+(2n+2n-1)=(2+22+2n)+2(1+2+3+n)-n= +2 -n2(1-2)1-2=2(2n-1)+n2+n-n=2n+1+n2-2.2.在数列a n中,已知 a1+a2+an=2n-1,则 + + 等于 ( )2122A.(2n-1)2 B.(2
2、-1)23C.4n-1 D.4-13【解析】选 D.设 Sn为a n的前 n项和,S n=a1+a2+an=2n-1,当 n2 时, Sn-1=2n-1-1,an=2n-1-(2n-1-1)=2n-1(n2),又 a1=21-1=1,所以 an=2n-1.=4n-1,当 n=1时,a 1=1也符合上式,所以 + + = = .2122 4-133.已知数列a n的前 n项和为 Sn,a1=1,a2=2,且 an+2-2an+1+an=0(nN *),记Tn= + + (nN *),则 T2 018= ( )111212A. B.4 0342 018 2 0172 018C. D.4 0362
3、019【解析】选 C.数列a n的前 n项和为 Sn,a1=1,a2=2,且 an+2-2an+1+an=0(nN *),即 an+2-an+1=an+1-an,所以数列a n为等差数列.设公差为 d,所以 d=a2-a1=2-1=1,所以 an=1+n-1=n.所以 Sn=1+2+n= ,所以 =2 ,1所以 Tn= + + ,11121=2 ,(1-12+12-13+1- 1+1)=2 = .(1- 1+1)所以 T2 018= = .4 0362 0194.已知有穷数列a n中,n=1,2,3,729.且 an=(2n-1)(-1)n+1.从数列a n中依次取出a2,a5,a14,构成新
4、数列b n,容易发现数列b n是以-3 为首项,-3 为公比的等比数列.记数列a n的所有项的和为 S,数列b n的所有项的和为 T,则 ( )A.ST B.S=TC.ST.二、填空题5.正项数列a n中,满足 a1=1,a2= , = (nN *),那么 a1a3+a2a4 12 1 1+2+a3a5+anan+2=_. 【解析】由 = (nN *),可得 =anan+2,所以数列a n为等比数11+2 2+1列,因为 a1=1,a2= ,所以 q= ,12 12所以 an= ,所以 anan+2= = ,12-112-1 12+114所以 a1a3= ,a1a3+a2a4+a3a5+ana
5、n+214= = .14(1-14)1-14答案:6.如表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列,a ij表示位于第 i行第 j列的数.则 112在这个“等差数阵”中出现的次数为_. 44 7 10 a1j 7 12 17 a2j 10 17 24 a3j ai1 ai2 ai3 aij 【解析】根据图象和每行、每列都是等差数列,该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3的等差数列:a 1j=4+3(j-1),第二行是首项为 7,公差为 5的等差数列:a 2j=7+5(j-1),第 i行是首项为 4+3(i-1),公差为 2i+1的等差数列,因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1
6、)(j-1)=2ij+i+j,要找 112在该等差数阵中的位置,也就是要找正整数 i,j,使得 2ij+i+j=112,所以 j= ,112-2+1当 i=1时,j=37,当 i=2时,j=22,当 i=4时,j=12,当 i=7时,j=7,当 i=12时,j=4,当 i=22时,j=2,当 i=37时,j=1.所以 112在这个“等差数阵”中出现的次数为 7.答案:7三、解答题7.设正项数列a n的前 n项和为 Sn,已知 Sn,an+1,4成等比数列.(1)求数列a n的通项公式.(2)设 bn= ,设 bn的前 n项和为 Tn,求证:T n0,所以 an-an-1=2,所以数列a n是首项为 1,公差为 2的等差数列,即 an=2n-1,(2)bn= = =1(2-1)(2+1)12( 12-1- 12+1)所以 Tn=12(1-13+13-15+15-17+ 12-1- 12+1)所以 Tn= .12(1- 12+1)12
