1、1专题能力提升练 十五 坐标系与参数方程(30 分钟 60 分)1.(2018南充二模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 =3=(其中 为参数),曲线 C2:(x-1)2+y2=1,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的极坐标方程.(2)若射线 = (0)与曲线 C1,C2分别交于 A,B 两点,求|AB|.6【解析】(1)由 得 +y2=1,=3,= 23所以曲线 C1的普通方程为 +y2=1.23把 x=cos ,y=sin ,代入(x-1) 2+y2=1,得到(cos -1) 2+(sin ) 2=1,化简得到
2、曲线 C2的极坐标方程为 =2cos .(2)依题意可设 A ,B .(1,6) (2,6)曲线 C1的极坐标方程为 2+2 2sin2=3.将 = (0)代入 C1的极坐标方程得 2+ 2=3,6 12解得 1= ,将 = (0)代入 C2的极坐标方程得 2= ,6所以|AB|=| 1- 2|= - .32.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).在以原点=1- 3,=1+O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 =2cos .2(1)求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程.(2)若直线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点
3、,求POQ.【解析】(1)由 =1- 3,=1+得 l 的普通方程为 x+ y=1+ ,又因为 所以 l 的极坐标方程为 (cos + sin )=1+ ,=,=,(或 2sin =1+ )由 =2cos 得 2=2cos ,即 x2+y2=2x,所以 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.(2)方法一:设 P,Q 的极坐标分别为( 1, 1),( 2, 2),则POQ=| 1- 2|,由 (+3)=1+3,=2, 消去 得 2cos (cos + sin )=1+ ,化为 cos 2+ sin 2= ,即 sin = ,因为 ,即 2+ ,所以 2+ = 或 2+ = ,(0,2) 6
4、(6,76) 63 623即 或 所以POQ=| 1- 2|= .1=4,2=12 6方法二:曲线 C 的方程可化为(x-1) 2+y2=1,表示圆心为 C(1,0)且半径为 1 的圆.3将 l 的参数方程化为标准形式 (其中 t为参数),代入 C 的直角坐标方=1- 32,=1+12程为 x2+y2-2x=0 得,+ -2 =0,(1+12)2整理得,t 2+t=0,解得 t=0 或 t=-1,设 P,Q 对应的参数分别为 t1,t 2,则|PQ|=|t1-t 2|=1.所以PCQ= ,3又因为 O 是圆 C 上的点,所以POQ= = .6方法三:曲线 C 的方程可化为(x-1) 2+y2=
5、1,表示圆心为 C(1,0)且半径为 1 的圆.又由得 l 的普通方程为 x+ y-(1+ )=0,则点 C 到直线 l 的距离为 d= ,所以|PQ|=2 =1,所以PCQ 是等边三角形,所以PCQ= ,3又因为 O 是圆 C 上的点,所以POQ= = .63.在直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的方程为 y2=4x.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程.(2)直线 l 的参数方程是 (t 为参数), l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=4 ,求=2+= l 的倾斜角.【解析】(1)因为 代入 y2=4x,=,=,所以 sin 2-4cos =
6、0.4(2)不妨设点 A,B 对应的参数分别是 t1,t2,把直线 l 的参数方程代入抛物线方程得:t2sin2-4cos t-8=0,所以则|AB|=|t 1-t2|= =4 ,所以 sin = ,所以 = 或 .4344.(2018潍坊一模)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数,0),在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 2= .21+2(1)求曲线 C 的直角坐标方程.(2)设点 M 的坐标为(1,0),直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 + 的值.1| 1|【解析】(1)曲线 2= ,即 2+ 2sin2=
7、2,21+2因为 2=x2+y2,sin =y,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+2y2=2,即 +y2=1.22(2)将 代入 x2+2y2=2 并整理得(1+sin 2)t 2+2tcos -1=0,=1+= 5所以 t1+t2=- ,t1t2= ,所以 + = = = ,1| 1|+| |1-2|-12因为|t 1-t2|= (1+2)2-412= =42(1+2)2+41+2所以 + = =2 .1| 1|221+211+25.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1,C2的极坐标方程分别为 =2sin ,cos = .(-4)(
8、1)求 C1和 C2交点的极坐标.(2)直线 l 的参数方程为: (t 为参数),直线 l 与 x 轴的交点为 P,且=- 3+32,=12 与 C1交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|.【解析】(1)C 1,C2极坐标方程分别为 =2sin ,cos = ,(-4)化为直角坐标方程分别为 x2+(y-1)2=1,x+y-2=0.得交点坐标为(0,2),(1,1).6即 C1和 C2交点的极坐标分别为 , .(2,2)(2)把直线 l 的参数方程: (t 为参数),代入 x2+(y-1)2=1,=- 3+32,=12 得 + =1,即 t2-4t+3=0,t1+t2=4,t1t2=3,所以
9、|PA|+|PB|=4.6.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 M 的参数方程为 ( 为参数), l1,l2为过点 O 的两条直线, l1交 M 于 A,B 两点, l2=1+,=1+交 M 于 C,D 两点,且 l1的倾斜角为 ,AOC= .6(1)求 l1和 M 的极坐标方程.(2)当 时,求点 O 到 A,B,C,D 四点距离之和的最大值.(0,6【解析】(1)依题意,直线 l1的极坐标方程为 =(R).由 消去 ,=1+,=1+得(x-1) 2+(y-1)2=1.将 x=cos ,y=sin 代入上式,得 2-2cos -2sin +1=
10、0,故 M 的极坐标方程为 2-2cos -2sin +1=0.7(2)依题意可设 A( 1,),B( 2,),C ,(3,+6)D ,且 1, 2, 3, 4均为正数.(4,+6)将 = 代入 2-2cos -2sin +1=0,得 2-2(cos +sin )+1=0,所以 1+ 2=2(cos +sin ),同理可得, 3+ 4=2 ,所以点 O 到 A,B,C,D 四点的距离之和为 1+ 2+ 3+ 4=2(cos +sin )+2=(1+ )sin +(3+ )cos =2(1+ )sin .因为 ,所以当 sin =1,(0,6)即 = 时, 1+ 2+ 3+ 4取得最大值 2+2
11、 ,6所以点 O 到 A,B,C,D 四点距离之和的最大值为 2+2 .【加固训练】(2018蚌埠二模)已知曲线 C1的参数方程是 ( 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程是 =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 .(2,3)(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标.(2)设 P 为 C1上任意一点,求|PA| 2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.8【解析】(1)由题意,A,B,C,D 的极坐标分别为 , , , .(2,3)(2,56)(2,43)(2,116)所以 A(1, ),B(- ,1),C(-1,- ),D( ,-1).(2)设 P(2cos ,3sin )|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4(4cos2+9sin 2+4)=4(8+5sin 2)32,52.
