1、1安庆二中 2018-2019 学年度第二学期高二年级开学检测理科数学试题一、选择题（本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分）1命题“ x0 R， x1”否定是（ ）A xR， x1 B x0R， x01 C xR， x1 D x0R， x012已知向量 （1，1，0）， （1，0，2），且 与 互相垂直，则 k 的值是（ ）A1 B C D3双曲线 x21 过点（ ，4），则它的渐近线方程为（ ）A y2 x B y x C y4 x D y x4.九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用
2、数学。“更相减损术”便是九章算术中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的 a、 b 分别为 96、42，则输出的 i 为（ ）A. 4 B 5 C 6 D75设 xR，则“2x0”是“|x1|1”的（ ）A充分而不必要条件 B既不充分也不必要条件C充要条件 D必要而不充分条件6某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则|xy|的值为（ ）A1 B2 C3 D47如图，空间四边形 OABC 中， ， ， ，点 M 在线开 始 ,输 入 0iabab是否 是否 1i结 束i输 出2段 OA 上，
3、且 OM2 MA，点 N 为 BC 的中点，则 （ ）A + + B +C + D + 8若在区间 3,内任取一个实数 m，则使直线 0myx与圆4)2()1(2yx有公共点的概率为（ ）A、 3 B、 C、 D、5332329已知正方形 ABCD 的顶点 A，B 为椭圆的焦点，顶点 C， D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D10已知双曲线 y21 的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|2 ，则 PF1F2的面积为（ ）A B C1 D11若动圆与圆（ x3） 2+y21 外切，又与直线 x+20 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A
4、 y212 x B y212 x C y26 x D y26 x12已知椭圆 M： +y21，圆 C： x2+y26 a2在第一象限有公共点 P，设圆 C 在点 P处的切线斜率为 k1，椭圆 M 在点 P 处的切线斜率为 k2，则 的取值范围为（ ）A（1，6） B（1，5） C（3，6） D（3，5）二、填空题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分）13我国古代数学算经十书之一的九章算术中有一“衰分”问题“今有北乡八千七3百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人则西乡遣 人”14若椭圆的方程为 + 1，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a 15父亲节小
5、明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上 6 点到 7 点之间，小明的爸爸晚上 5 点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上 5 点半到 6 点半之间求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为_16设 P 是抛物线 y24 x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点，记点 P 到点 A（1，1）的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为 M，若 B（3，2），记| PB|+|PF|的最小值为 N，则 M+N 三、解答题（本大题共
6、计 70 分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）17（10 分）设命题 p：函数 f（x）lg（+ax+1）的定义域为 R；命题 q：函数 f（ x）2 ax1 在（，1上单调递减（）命题 p 为真命题时，求 a 的取值范围；（）若命题“pq”为真，“pq”为假，求实数 a 的取值范围。18（12 分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试成绩低于 6 米为不合格，成绩在 6 至 8 米（含 6 米不含 8 米）的为及格，成绩在 8 米至 12 米（含 8 米和 12 米，假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米）为优秀
7、把获得的所有数据，分成2，4），4，6），6，8），8，10），10，12五组，画出的频率分布直方图如图所示已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间（1）求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”4成绩为优秀的概率；（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的 2 名学生来自不同组的概率519（12 分）如图， ABCD 是边长为 3 的正方形， DE平面ABCD， AF DE， DE3 AF3 （1）求证： AC平面 BDE；（2）求二面角 F B
8、E D 的余弦值；20（12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 与抛物线 y24 x 相交于不同的 A、 B 两点（）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值；（）如果 4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点21（12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， AB BC， BD CD将 ABD 沿 BD 折起，折起后点 A 的位置为点 P，得到几何体 P BCD，如图 2 所示，且平面 PBD平面BCD，（）证明： PB平面 PCD；（）若 AD2，当 PC 和平面 PBD 所成角的正切值为 时，试判断线段 BD 上是否存在点E，使二面角 D PC E 平面角的余弦
9、值为 ？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由622（12 分）已知椭圆 + 1 经过点 P（ ， ），离心率是 ，动点 M（2， t）（ t0）（1）求椭圆的标准方程；（2）求以 OM 为直径且被直线 3x4 y50 截得的弦长为 2 的圆的方程；（3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 做 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，证明线段 ON长是定值，并求出定值7安庆二中 2018-2019 学年度第二学期高二年级开学检测理科数学试题答案1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ x0R， x1”否定是 xR， x1故选： C2【解答】解：根据题意，易得 k + k（
10、1，1，0）+（1，0，2）（ k1， k，2），2 2（1，1，0）（1，0，2）（3，2，2）两向量垂直，3（ k1）+2 k220 k ，故选： D3【解答】解：双曲线 x21 过点（ ，4），可得 ，解得 a4，由其渐近线方程为 y2 x，故选： A4.解：依流程框图得 6, 选 C5【解答】解：解一元一次不等式 2 x0 得 x2，解绝对值不等式| x1|1 得：0 x2，又“ x2”是“0 x2”的必要不充分条件，即“2 x0”是“| x1|1”的必要不充分条件，故选： D6【解答】解：由题意这组数据的平均数为 10，方差为 2 可得： x+y20，（ x10）2+（ y10） 2
11、8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出 x、 y，只要求出| x y|，设 x10+ t， y10 t，由（ x10） 2+（ y10） 28 得 t24；| x y|2| t|4，故选： D7【解答】解： ， + + ， + + ， + + ，8 ， ， ， + + ，故选： A8C9【解答】解：设椭圆方程为 ，（ a b0）正方形 ABCD 的顶点 A， B 为椭圆的焦点，焦距 2c AB，其中 c 0 BC AB，且 BC AB2 c AC 2 c根据椭圆的定义，可得 2a AC+BC2 c+2c椭圆的离心率 e ，故选： A10【解答】解：双曲线 y21 的 a ， b1，c
12、 2，可设 P 在右支上，由双曲线的定义可得| PF1| PF2|2 ，又| PF1|+|PF2|2 ，两式平方相加可得，| PF1|2+|PF2|216，而| F1F2|24 c216，则有| PF1|2+|PF2|2| F1F2|2，即有 PF1F2为直角三角形，即有 PF1F2的面积为 |PF1|PF2| （ ）（ ）1故选： C11【解答】解：根据题意，设动圆的圆心为 M，其半径为 r，若动圆与圆（ x3） 2+y21 外切，则 M 到（3，0）的距离为 r+1，又由动圆与直线 x+20 相切，则 M 到直线 x2 的距离为 r，则 M 到直线 x3 的距离为 r+1，则 M 到点（3
13、，0）的距离与到直线 x3 的距离相等，则 M 的轨迹为以（3，0）为焦点， x3 为准线的抛物线，9则该抛物线的方程为 y212 x，动圆圆心的轨迹为 y212 x，故选： A12【解答】解：设 P（ x0， y0），由椭圆 M： +y21，圆 C： x2+y26 a2在第一象限有公共点 P，当焦点在 x 轴时，即 a1 时，则 ，解得：3 a25，当焦点在 y 轴，即 0 a1 时，显然圆与椭圆无交点，圆 x2+y26 a2在 P 点的切线方程为 x0x+y0y6 a2，则切线斜率 k1 ，椭圆 M： +y21 在 P 点的切线方程为 ，则切线斜率 k2 ，则 a2， 的取值范围（3，5）
14、，故选： D13【解答】解：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人则西乡遣：487 145故答案为：14514【解答】解：椭圆的焦距为 42 c4，即 c2在椭圆中， a2 b2+c2焦点在 x 轴上时：10 a（ a2）4解得： a4焦点在 y 轴上时 a2（10 a）4解得： a8，故答案为：4 或 815【答案】110【解析】设爸爸到家时间为 x，快递员到达时间为 y，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为5.6.7xxy
15、,，面积 1S，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为.5.60xxy,，直线 0xy与直线 6.5x和 y交点坐标分别为 ,和 .5,，218S阴 影，由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：18SP阴 影故答案为1816【解答】解：如下图所示，过点 P 作 PG 垂直于直线 x1，垂足为点 G，由抛物线的定义可得| PG| PF|，所以，点 P 到直线 x1 的距离为| PG|，所以， ，当且仅当 A、 P、 F 三点共线时，| PA|+|PG|取到最小值，即 11如下图所示，过点 P 作直线 PH 垂直于直线 x1，垂足为点 H，由抛物线的定义可得| PH| P
16、F|，点 B 到直线 x1 的距离为 d4，所以，| PB|+|PF| PB|+|PH|4，当且仅当 B、 P、 H 三点共线时，等号成立，即 N4，因此， 故答案为： 17【解答】解：（）当 p 为真时：即函数 f（ x）的定义域为 R，即 x2+ax+10 对 xR 恒成立，所以 a240，解得：2 a2；（）当 q 为真时，由二次函数的单调性得： a1，又命题“ p q”为真，“ p q”为假，则 p、 q 一真一假，或 ，解得：2 a1 或 a218【解答】解：（1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+ a+0.025）21，解得 a0.05所以此次测试总人数为 40答：此次参加
17、“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人 （2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）20.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为 0.4 （3）设事件 A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组由已知，测试成绩在2，4）有 2 人，记为 a， b；在4，6）有 6 人，记为12c， d， e， f， g， h从这 8 人中随机抽取 2 人共 28 种情况ab， ac， ad， ae， af， ag， ah， bc， bd， be， bf， bg， bh， cd， ce， cf， cg，
18、 ch， de， df， dg， dh， ef， eg， eh， fg， fh， gh，事件 A 包括共 12 种情况 ac， ad， ae， af， ag， ah， bc， bd， be， bf， bg， bh，所以事件 A 的概率 P 答：随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率 19【解答】证明：（1）因为 DE平面 ABCD，所以 DE AC 因为 ABCD 是正方形，所以 AC BD，因为 DE BD D，从而 AC平面 BDE解：（2）因为 DA、 DC、 DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系 D xyz，如图所示因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60，即 DBE60，所以
19、由 AD3，知 DE3 ， AF 则 A（3，0，0）， F（3，0， ）， E（0，0，3 ）， B（3，3，0）， C（0，3，0），所以 （0，3， ）， （3，0，2 ），设平面 BEF 的法向量为 （ x， y， z），则 ，即 ，令 z ，则 （4，2， ）因为 AC平面 BDE，所以 为平面 BDE 的法向量， （3，3，0），所以 cos 因为二面角为锐角，所以二面角 F BE D 的余弦值为 1320【解答】解：（）由题意：抛物线焦点为（1，0）设 l： x ty+1 代入抛物线 y24 x 消去 x 得，y24 ty40，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）则
20、y1+y24 t， y1y24 x1x2+y1y2（ ty1+1）（ ty2+1）+ y1y2 t2y1y2+t（ y1+y2）+1+ y1y24 t2+4t2+143（）设 l： x ty+b 代入抛物线 y24 x，消去 x 得y24 ty4 b0 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）则 y1+y24 t， y1y24 b （ ty1+b）（ ty2+b）+ y1y2 t2y1y2+bt（ y1+y2）+ b2+y1y24 bt2+4bt2+b24 b b24 b令 b24 b4， b24 b+40 b2直线 l 过定点（2，0）21【解答】解：（1）证明：平面 PBD平面 B
21、CD，平面 PBD平面 BCD BD，又 BD DC， DC平面 PBD， PB平面 PBD， DC PB，又折叠前后均有 PD PB， DC PD D， PB平面 PDC （2）由（1）知 DC平面 PBD，即 CPD 为线面角，14所以 ，解得 ，又ABD DCB， ，令 AB a 即 ，解得 a2，即 AB2如图所示，以点 D 为坐标原点， 为 x 轴正方向，为 y 轴正方向，过点 D 垂直平面 BCD 为 Z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以 D（0，0，0）， ， ，设 E（ t，0，0），则 ， ， ，设平面 PCD 的法向量为 （ x1， y1， z1），则 ，即 ，解得 （1
22、，0，1）设平面 PCE 的法向量为 （ x2， y2， z2），则 ，即 ，解得 整理得 ，解得 ， （不合题意，舍去） 即 E 为 BD 的四等分点，且 22【解答】解：（1）椭圆 + 1 经过点 P（ ， ），离心率是 ，椭圆方程设为 ，把点 P（ ， ）代入，15得 ，解得 4k22，椭圆的标准方程是 （2）以 OM 为直径的圆的圆心是（1， ），半径 r ，方程为 ，以 OM 为直径圆直线 3x4 y50 截得的弦长为 2，圆心（1， ）到直线 3x4 y50 的距离 d ， ，解得 t4，所求圆的方程是（ x1） 2+（ y2） 25（3）设 N（ x0， y0），点 N 在以 OM 为直径的圆上，所以 x0（ x02）+ y0（ y0 t）0，即： x02+y022 x0+ty0，又 N 在过 F 垂直于 OM 的直线上，所以 ，即 2x0+ty02，所以
