1、1鲁教版中考数学三角形分类训练四（相似三角形）相似三角形的几种基本图形：(1)如图 1-10-63：称为“平行线型”的相似三角形.图 1-10-63 (2)如图 1-10-64，其中1=2，则 ADE ABC称为“相交线型”的相似三角形.图 1-10-64(3)如图 1-10-65：1=2， B= D，则 ADE ABC，称为“旋转型”的相似三角形.图 1-10-65 (4)如图 1-10-66，其他类型的相似三角形.图 1-10-66 典例诠释：考点一 平行线分线段成比例定理的应用例 1 (2016平谷一模)如图 1-10-67，在 ABC中， DE BC， AE EC=23， DE=4，则
2、 BC的长为( )2图 1-10-67A10 B8 C6 D5【答案】 A【名师点评】 此题通过两个三角形相似，找到对应边之比 DE BC=AE AC，从而计算出BC的长.例 2 (2016东城一模)如图 1-10-68，有一池塘，要测池塘两端 A， B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和 B的点 C，连接 AC并延长至 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长至 E，使 CE=CB，连接 ED. 若量出 DE=58米，则 A， B间的距离为( )图 1-10-68A29 米 B 58 米 C60 米 D116 米【答案】 B考点二 相似三角形的判定和性质的应用例 3 (
3、2016西城二模)利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 cm的一个等边三角形放大成边长为 20 cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为( )A.12 B.14 C.18 D.116【答案】 D【名师点评】 此题考查两个三角形相似的性质，即相似比的平方=面积比，从而得到答案.例 4 (2016东城二模)如图 1-10-69，点 P在 ABC的边 AC上，请你添加一个条件，使得 ABP ACB，这个条件可以是 .图 1-10-69【答案】 ABP= C(答案不唯一) 3【名师点评】 此题考查两个三角形相似的条件，注意图中隐含有一对公共角 A，此题答案不唯一.考点三 相似三角形的实际
4、应用例 5 (2016房山一模)为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B和点 C，使得 AB BC，然后再在河岸上选点 E，使得EC BC，设 BC与 AE交于点 D，如图 1-10-70所示，测得 BD=120米， DC=60米， EC=50米，那么这条河的大致宽度是( )图 1-10-70A.75米 B.25米 C.100米 D.120米【答案】 C【名师点评】 此题利用两个三角形相似来解决实际问题，学生要能准确地列出AB EC=BD DC，从而计算出河宽 AB的长.基础精练11.(2016燕山一模)为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视
5、力表由于书房空间狭小，他想根据测试距离为 5 m的大视力表制作一个测试距离为 3 m的小视力表如图1-10-71，如果大视力表中“E”的高度是 3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是( )图 1-10-7A3 cm B2.5 cm C2.3 cm D2.1 cm【答案】 D2.(2016房山二模)如图 1-10-72，在 ABC中，点 D， E分别在边 AB,AC上，且 AED= ABC,DE=3,BC=5,AC=12.求 AD的长. 4图 1-10-72【解】 AED= ABC, A= A, AED ABC, =. DE=3,BC=5,AC=12, =, AD=.3.(2016海淀二
6、模)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图 1-10-73所示，木杆 EF的长为 2 m，它的影长 FD为 3 m，测得 OA为 201 m，则金字塔的高度 BO为 m图 1-10-73【答案】 134 4.(2016石景山二模)如图 1-10-74，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点 A，在近岸取点 B， C， D， E，使点 A， B， D 在一条直线上，且 AD DE，点 A， C， E也在一条直线上且 DE BC如果 BC=24 m， BD=12 m， DE=40 m，
7、则河的宽度 AB约为( )图 1-10-74A20 m B18 m C28 m D30 m 【答案】 B5.(2016东城期末)如图 1-10-75，在 ABC中， D为 BC 上一点， BAD= C， AB=6， BD=4，求 CD的长.图 1-10-75【解】 BAD= C， B= B， ABC DBA. =. = BDBC.5 BC=9， CD=BC BD=5.6.(2014 丰台一模)如图 1-10-76是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点 A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD的顶端 C处，已知 AB BD， CD BD，且测得 AB=1.
8、2米， BP=1.8米， PD=12米，那么该古城墙的高度是( )图 1-10-76A6 米 B8 米 C18 米 D24 米【答案】 B7.如图 1-10-77，在 ABC中， D， E分别是 AB， AC上的点， DE BC，且 AD=AB，则 ADE的周长与 ABC的周长的比为 .图 1-10-77 【答案】 13 8.如图 1-10-78，在 ABC中， D， E分别是 AB， AC边上的点，且 DE BC，如果DE BC=35,那么 AE AC的值为( ) 图 1-10-78 A.32 B.23 C.25 D.35【答案】 D9.如图 1-10-79，点 A(6，3)， B(6，0)
9、在直角坐标系内,以原点 O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段 AB缩小后得到线段 CD，那么点 C的坐标为( )6图 1-10-79A(3，1) B(2，0) C(3，3) D(2，1)【答案】 D10.(2016房山期末)如图 1-10-80，在矩形 ABCD中，边 AD=8，将矩形 ABCD折叠，使得点B落在 CD边上的点 P处图 1-10-80 (1)如图 1-10-81，设折痕与边 BC交于点 O，连接 OP， OA已知 OCP与 PDA的面积比为14，求边 AB的长.图 1-10-81(2)动点 M在线段 AP上(不与点 P， A重合)，动点 N在线段 AB的延长线上，且 BN
10、=PM，连接 MN， PB，交于点 F，过点 M作 ME BP于点 E在图 1-10-80中画出图形.在 OCP与 PDA的面积比为 14 不变的情况下，试问动点 M,N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由【解】 (1)如图 1-10-82.7图 1-10-82 四边形 ABCD是矩形， C= D=90, 1+3=90 由折叠可得 APO= B=90， 1+2=90 2= 3又 D= C， OCP PDA OCP与 PDA的面积比为 14， =, CP=AD=4设 OP=x，则 CO=8 x在 Rt PCO中， C=90，由勾股定理得解得 x=5 AB=AP=2OP=10,
11、 边 AB的长为 10(2)如图 1-10-83.图 1-10-83在 OCP与 PDA的面积比为 14 这一条件不变的情况下，点 M,N在移动过程中，线段EF的长度是不变的过点 M作 MQ AN，交 PB于点 Q，如图 1-10-84 AP=AB， MQ AN， APB= ABP= MQP, MP=MQ8图 1-10-84又 ME PQ, 点 E是 PQ的中点. BN=PM， BN=MQ.又 MQ AN， QMF= N.在 MQF和 NBF中， MQF NBF, QF=BF. EF=PB 在 BCP中， C=90， PC=4， BC=AD=8， PB=4为定值， EF=PB为定值.故在 OC
12、P与 PDA的面积比为 14 这一条件不变的情况下，点 M， N在移动过程中，线段EF的长度是不变的，且 EF=211.如图 1-10-85,在四边形 ABCD中， AB CD， A=90， AB=2， AD=5， P是 AD上一动点(点 P不与 A,D重合)， PE BP， PE交 DC于点图 1-10-85(1)求证： ABP DPE.(2)设 AP x， DE=y，求 y与 x之间的函数关系式，并写出 x的取值范围.(3)请你探索在点 P运动的过程中，四边形 ABED能否构成矩形？如果能，求出 AP的长；如果不能，请说明理由(1)【证明】 A=90， 1+3=90. PE BP， 1+2
13、=90, 3=2. AB CD， A=90， D= A=90 ABP DPE.9图 1-10-86(2)【解】 由 ABP DPE可得=. AB=2， AD=5， AP x， DE=y, DP=5 x, =,整理，得 y=+ x(0x5).(3)【解】 能构成矩形当 DE=AB=2时，四 边形 ABED构成矩形，即 DE=y=+ x=2,解得 x=1或 x=4, AP的长为 1或 4.真题演练：1.(2016北京)如图 1-10-87，小军、小珠之间的距离为 2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8 m,1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为 1.8 m,1.5 m，则路灯的高 为
14、m.图 1-10-87【答案】 32.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图 1-10-88，在 ABC中，点 D在线段 BC上， BAD=75， CAD=30， AD=2， BD=2DC，求 AC的长.图 1-10-88小腾发现，过点 C作 CE AB，交 AD的延长线于点 E,通过构造 ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 1-10-89).10图 1-10-89请回答： ACE的度数为 , AC的长为 .参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图 1-10-90，在四边形 ABCD中， BAC=90， CAD=30， ADC=75， AC与 BD交于点 E， AE=2， BE=2
15、ED，求 BC的长.图 1-10-90【解】 ACE=75， AC的长为 3如图 1-10-91,过点 D作 DF AC于点 F图 1-10-91 BAC=90= DFA， AB DF， ABE FDE， =2， EF=1， AB=2DF在 ACD中， CAD=30， ADC=75， ACD=75， AC=AD DF AC， AFD=90，在 AFD中， AF=2+1=3， FAD=30， DF=AFtan 30=， AD=2DF=2. AC=AD=2， AB=2DF=2. BC=2.3.如图 1-10-92，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF保持水平，并且边 DE与点 B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE40 cm,EF=20 cm，测得边 DF离地面的高度 AC1.5 m， CD8 m，则树高 AB 11m.【答案】 5.5 图 1-10-92 4.如图 1-10-93，在 ABC中，点 D,E分别在 AB,AC边上， DE BC，若AD AB=34， AE=6，则 AC等于( )图 1-10-93A.3 B.4 C.6 D.8【答案】 D
