1、- 1 -江西省上饶市六校 2019 届高三数学第一次联考试题 理（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则 ( )20Ax0log|2xBABA B C D),()1,( ),()1,2设 ，则 ( )3izziA
2、 B3 C D2 5 103已知函数 ，则 （ ）,1log)(2xf0)2(fA B C D 2114“ ”是“ ”的( )1x)ln(A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知非零向量 满足 且 ，则向量 的夹角为( ),m2,(2)mn,mnA B C D33446函数 为奇函数，则 ( )21xay2()0axdA B C D16567.九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面 3 节的容积之积 3 升，下面 3 节的容积之积为 9 升，则第 5 节的容积为( )A2 升 B 升 C3 升 D 升6766 38
3、函数 的大致图像为（ ）,sinco)( xxf在- 2 -9. 设 、 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）xy104xy5xyzA 3 B-1 C4 D 5 10设数列 满足 ，且对任意整数 ，总有 成立，则数列na13n1()2nnaa的前 2018 项的和为( )A B C D5858920801911已 知 函 数 ,若函数 在区间21,()()(0)xff()2gxfm2，4内有 3 个零点，则实数 的取值范围是（ ）mA B 1|2m 1|2C D| 1或 |m或12已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，直线 交于点 O 且相互垂直， 与 C 交于点 ，21,l 1l1,BA与
4、C 交于点 ，若使得 成立的直线 有且只有一对，则双曲线2l2,BA|BA21,lC 的离心率的取值范围是（ ）A B C D,1( ,( , ),2(二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为_ 14一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为_.15若不等式 在区间32sincosinxmx上恒成立，则实数 取值范围是_.2,016已知 中， ，点 M 是ABC4,3,90BCA线段 AB 上一动点，点
5、 N 是以点 M 为圆心、1 为半径的圆上一动点，若 ，则 的最大nmn值为_.(第 14 题图)- 3 -三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分）已知在 中， 分别为角 A,B,C 的对应边，点 D 为 BC 边的中点， 的面ABC,abc ABC积为 .23sinD(1)求 的值；sinDA(2)若 ，求 。6,2b18(12 分）在四棱锥 中， ，底面 为菱ABCDPABCD形，点 为菱形对角线 的交点，且 .O, P（1）
6、证明： ；平 面（2）若 ，问：在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面2MA所成角的余弦值为 ？PC7419(12 分）某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有 900 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 内，其频率分布直方图如30,15图（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）从初赛得分在区间 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 7 人参加10,5学校座谈交流，那么从得分在区间 与 各抽取多少人？310,5（3）从（2）抽取的 7 人中，选出 4 人参加全市座谈交流，设 表示得分在 中X10,3参加全市座
7、谈交流的人数，学校打算给这 4 人一定的物质奖励，若该生分数在 给予500 元奖励，若该生分数在 给予 800 元奖励，用 Y 表示学校发的奖金数额，求 Y 的130,5分布列和数学期望。- 4 -20(12 分）已知椭圆 C： 1 ( ab0)的两焦点在 x 轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点x2a2 y2b2的连线构成斜边为 2 的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)动直线 l: 交椭圆 C 于 A， B 两点，30(,)mxnyRnm不 全 为 零试问：在坐标平面上是否存在一个定点 Q，使得以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。21
8、(12 分）已知函数 ，曲线 xfy与 g在原点处()ln(21),(1xfxaxge的切线相同。(1)求 的值；(2)求 f的单调区间和极值；(3)若 0x时， xkfg，求 的取值范围。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 二题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲xOy1Ccos3inxy线 的参数方程为 2C24(,)tRty为 参 数（1）求曲线 的普通方程和曲线 的极坐标方程；12C（2）设 为曲线
9、 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值，并求此时点 的坐PPP标。23 选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 . ()|21|fx()|21|2gxx（1）求不等式 的解集； 3（2）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围。faa- 5 -上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A B B C D D A C B D D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13. 14. 或 15. 16. 356
10、232(,)7127三、解答题：17.解:(1)由 的面积为 且 D 为 BC 的中点可知: 的面积ABC23sinBABD为 1 分26sinD由三角形的面积公式可知: 3 分21sin26iAABB由正弦定理可得: 5 分3sini1D所以 6 分siniBA(2) ,又因为 D 为中点，所以 BC=2BD=6AB,即 BD=3AB7 分6C在 中由正弦定理可得 ,所以DsinsiBADsin3sinBAD由（1）可知 所以 ,1sin3A1n,139 分(0,)B,2D在直角 中 ,所以 .10 分A1,sin3BA,3BDBC=2BD, BC=6在 中用余弦定理，可得BC.12 分22
11、 1cos162,33ba b- 6 -18.答案：（1）证明： 为等腰三角形PDBB又 为 中点 2 分OO底面 为菱形 ACAC4 分平 面6 分P又 BDP平 面解:以 为原点， 为 轴， 与 中点 的连线为 轴， 为 轴，建立空间直角ADxACNyPAz坐标系.则 ，)0,(， ， ， 7 分3,1(BC)0,2()2,(P（2）令 ， 则 ，)2,(PkPM),3(k)2,3(kAM设平面 的一个法向量为D),(zyxn由 得 9 分0nC023x令 得 1y)3,1( 7148732,cos kAMn解得10 分52k又 不存在.即这样的点 M 不存在 12 分10k19.解（1）
12、由题意知 的频率为： ，30,920(.5.07.5)0.3的频率为： 所以分数在 的频率为：0,52(.5.1)39,11 分.3.从而分数在 的 ，2 分9,10.3=02频 率组 距假设该最低分数线为 由题意得 解得 故本次考试复赛x.5(9).015.x10x资格最低分数线应划为 100 分。4 分（2）在区间 与 ， ，5 分10,3,10.2:.:2- 7 -在区间 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 7 人，10,5分在区间 与 各抽取 5 人，2 人结果是 5 人，2 人8 分310,（3） 的可能取值为 2，3，4，则：X9 分314055252447771(2);();
13、()CCCPPXPX从而 Y 的分布列为Y 2600 2300 2000P27471711 分(元)12 分24160()60307EY20.解 (1)椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形， b c. 1 分又斜边长为 2，即 2b2，故 c b1， a ，3 分2椭圆方程为 y21. 4 分x22(2)由题意可知该动直线过定点 ,当 l 与 x 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程1(0)3P为 ；当 l 与 y 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2 y21.916)3(22yx由 得Error!122yx故若存在定点 Q，则 Q 的坐标只可能为 Q(0,1
14、). 6 分下面证明 Q(0,1)为所求：若直线 l 的斜率不存在，上述已经证明.若直线 l 的斜率存在，设直线 l： y kx ，13A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得(918 k2)x212 kx160，7 分- 8 - 144 k264(918 k2)0， x1 x2 ， x1x2 ，8 分12k18k2 9 1618k2 9( x1， y11)， ( x2， y21)，QA QB x1x2( y11)( y21)QA QB (1 k2)x1x2 (x1 x2)4k3 169(1 k2) 0，10 分 169 18k2 4k3 12k9 18k2 169 ，即以线
15、段 AB 为直径的圆恒过点 Q(0,1). 12 分QA QB 21.解：（1）因为 ，/ /21()(),(1xfxaxge依题意， ，得 3 分（2）所以 / 4()2(),12fxx当 时 ；当 时10故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为(,0)的极小值为 ；无极大值； 6 分（3）由（1）知，当 时， , ,此时无论 K 取何值均满足()f()0g7 分()gxkf当 时， 令0()0x()()12ln(1),xhxkfekx所以 -8 分/ 214()12xhek又令 ,所以 因为 时()2)4xHx/()3)42xHxek0x，令 得 9 分3e3k1- 9 -当 时， ，所以
16、在 递增，从而 即满足14k/()0Hx()x0,)()0Hx时， 。10 分当 时， ，所以 在 递增，又因为14k/()25)0xxe/()x0,)，x 趋近 时 趋近 ，根据零点存在性定理所以存在/(0)H/(H使得 ，所以 在 上递减，在 上递增，因为,x/0()x0,)0()x，,所以 ，此时不满足 时， 。11 分()x综上所述，k 的取值范围是 12 分 41,(22.解:（1）对曲线 ： ， ，1C2cosx2sin3y曲线 的普通方程为 2 分21对曲线 消去参数 可得 且2t(4),x(4)2,ty曲线 的直角坐标方程为 3 分C08y又 ，cos,inxycosin8si
17、n()84从而曲线 的极坐标方程为 5 分2 42si()（2）设曲线 上的任意一点为 ， 6 分1C(co,3nP则点 到曲线 ： 的距离P208yx，8 分|2si()8|cos3in6d当 ，即 时， ，此时点 的坐标为 in()163mindP13(,)210 分23.解：（1）由 得： ， 1 分 ()fx|2|x 或 ， 解得： 或 4 分20x 310 312x5x- 10 -不等式 的解集是 5 分()fx 32,)5（2） ，当 时显然不成立，所以 成|1|gx02()fxgax立即 ()(0)fax令 6 分()f即 9 分2()|21|123fxgxx所以实数 的取值范围是 10 分a3,)
