1、1张掖市 20182019 学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测数学（文科）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线 的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标【详解】由题意得抛物线的标准方程为 ，焦点在 轴的负半轴上，且 ， ，抛物线 的焦点坐标为 故选 B【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题2.若 ，则 是方程 表示椭圆的（ ）kR k3x2k3+y2k+3=1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.
2、充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】求出方程 表示椭圆时 k 的范围，然后根据充分必要条件的定义进行判断.x2k-3+y2k+3=1【详解】若方程 表示椭圆，则 解得 k3,x2k-3+y2k+3=1 k-30k+30 ,故 是方程 表示椭圆的充要条件，k3x2k-3+y2k+3=1故选：C.2【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判断，属于基础题.3.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”x2=1 x=1 x2=1 x21B. “ ”是“ ”的必要不充分条件x=1 x2x2=0C. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题x=
3、y sinx=sinyD. “ ”是“ ”的充分不必要条件tanx=1 x=4【答案】C【解析】试题分析：对 A，若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”；对 B，当x2=1 x=1时， 成立，但 时， 或 ，所以应为充分不必要条件；对 D， ，则 ，反之，若 则 ，所以为必x=4 tanx=1要不充分条件，所以选 C考点：1充分必要条件的判定；2四种命题4.已知 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）x y xy10x+y302y+10 z=2x+yA. B. 1 C. D. 212 32【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案详解
4、：由变量 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图，x-y-10x+y-302y+10 3化目标函数 z=2x+y 为 y=2x+z，由图可知，当直线 y=2x+z 过 A（ ， ）时直线在 y 轴上的截距最小，z 最小，为12 122 = 12 1212故选：A点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.在 上定义运算 ： ，则满足 的实数 的取值范
5、围（ ）R ab=ab+2a+b x(x2)b0) M E MF1 x直， ，则椭圆 的离心率为（ ）sinMF2F1=12 EA. B. C. D. 33 53 233 32【答案】A【解析】6【分析】在直角 中，由 得到 a,b,c 的等量关系，结合 计算即可得到离MF2F1 tanMF2F1 a2=b2+c2心率.【详解】由已知 ，得 ，则 ,sinMF2F1=12 MF2F1=6 tanMF2F1=33又在椭圆中 , ,|MF1|=b2a|F1F2|=2c故 ,tanMF2F1=|MF1|F1F2|=b2a2c=33即 ,a2-c22ac=a2c-c2a=12e-e2=33解得 e=
6、,33故选：A【点睛】本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.11.已知双曲线 ： 的顶点到其一条渐近线的距离为 1，焦点到其一条渐Cx2a2y2b2=1(a0,b0)近线的距离为 ，则其一条渐近线的倾斜角为（ ）2A. B. C. D. 30 45 60 120【答案】B【解析】【分析】画出图形，由图形找到 a,b,c 的等量关系，然后得到渐近线的斜率，从而得到倾斜角.【详解】由已知可设双曲线的顶点 A 到渐近线 x 的距离|AB|=1,y=ba焦点 到渐近线的距离| ，F2 F2C|= 2由 AB/ 得 ,F2C|AB|F2C|=|OA|OF2|=ac=12则b2a2
7、=c2-a2a2=c2a2-1=2-1=1,设渐近线倾斜角为，则 tan=ba=1,7所以 =45故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，关键是构造 a,b,c 的等量关系，属于基础题.12.设 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数， ， 为其导函数，当 时，f(x) g(x) R f(x) g(x) x0 g(3)=0 f(x)g(x)0 y02x+1y=1 x+2ym2+2m m_【答案】 （-4，2）【解析】试题分析：因为 当且仅当 时取等号，x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy4+24yxxy=8 x=2y所以 m2+2m0,b0) y2=8x F交点为 ，若
8、 ，则双曲线方程为 P |PF|=5【答案】 3xy=0【解析】设点 P(m，n)，依题意得，点 F(2，0)，由点 P 在抛物线 y28x 上，且 PF5 得由此解得 m3，n 224.于是有 由此解得 a21，b 23，该双曲线m 2 5，n2 8m， a2 b2 4，9a2 24b2 1， 的渐近线方程为 y x x.ba 3三、解答题17.设 ：实数 满足 ， ：实数 满足 .p x x2(3a+1)x+2a2+a0 p q【答案】 （1）2x3（2） a232【解析】试题分析：（1）由 得（x-a） （x-（2a+1） ）0，当 a=1 时，代入x2(3a+1)x+2a2+a2018
9、2019【答案】 （1） ， （2）an=2n1 nN* n=1010【解析】【分析】（1）设等差数列 an的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2） ，运用裂项相消bn=2anan+1= 12n-1- 12n+1求和法求和，解不等式可得 n 的最小值【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ，依题意有 ， an d a22=a1a5a3+a4=12 即 (a1+d)2=a1(a1+4d)2a1+5d=12 因为 ，所以解得 ， ， d0 a1=1 d=2从而 的通项公式为 ， . an an=2n-1 nN*11（2）因为 ， b
10、n=2anan+1= 12n-1- 12n+1所以 Sn=(1-13)+(13-15)+.+( 12n-1- 12n+1) =1- 12n+1令 ，解得 ，故1-12n+120182019 n1009n=1010【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题19.在 中，角 ， ， 所对的边分别为， ， ，已知 .ABC A B C b ctanC= 3(acosB+bcosA)（1）求角 ；C（2）若点 在边 上，且 ， 的面积为 ，求边的长.D BC AD=CD=4 ABD 83【答案】(1) ；(2) .C=3
11、 c=47【解析】【试题分析】 （1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得 ，tanC= 3故 .（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.C=3【试题解析】（1）由 及正弦定理可得ctanC= 3(acosB+bcosA)，故 ，sinCtanC= 3(sinAcosB+sinBcosA) sinCtanC= 3sin(A+B)而 ，所以 ，即sinC=sin(A+B)0 tanC= 3 C=3（2）由 及 可得 是正三角形.AD=CD=4 C=3 ACD由 的面积为 可得 ，即 ，ABD 8312ADBDsin23=83 12BD432=83故 ，在 中，由余弦定理可
12、得 ，BD=8 ABD c2=42+82-248cos23=112即 .c=4720.已知函数 ，其中 ，且曲线 在点 处的切线垂直于 .f(x)=x4+axlnx32 aR y=f(x) (1,f(1) y=12x（1）求的值；（2）求函数 的极值.f(x)【答案】 （1） （2）函数 在 时取得极小值 .无极大值a=54 f(x) x=5 f(5)=ln5【解析】12【分析】（1）求导，利用导数几何意义可得 k= ,又切线与 垂直，即 即可得 a 值；f(1) y=12x f(1)=-2，（2）根据导数判断函数的单调性，由单调性即可得到函数极值.【详解】 （1）对 求导得 ， f(x) f
13、(x)=14-ax2-1x由 在点 处切线垂直于直线f(x) (1,f(1) y=12x知 ， f(1)=-34-a=-2解得 ； a=54（2）由（1）问知 ， f(x)=x4+54x-lnx-32则 ， f(x)=14- 54x2-1x=x2-4x-54x2令 ，解得 或 .f(x)=0 x=-1 x=5因 不在 的定义域 内，故舍去. x=-1 f(x) (0,+)当 时， ，故 在 内为减函数； x(0,5) f(x)0 f(x) (5,+)由此知函数 在 时取得极小值 .无极大值；f(x) x=5 f(5)=-ln5【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值问
14、题，属于基础题.21.已知椭圆 的对称中心为原点，焦点在 轴上，左、右焦点分别为 和 ，且 ，C x F1 F2 |F1F2|=2点 在该椭圆上.(1,32)（1）求椭圆 的方程；C（2）过 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，若 的面积为 ，求以 为圆心且与直F1 C A B AF2B1227 F2线相切的圆的方程.【答案】(1) (2) x24+y23=1 y=(x+1)【解析】（）设椭圆的方程为 ，由题意可得：x2a2+y2b2=1,(ab0)椭圆 C 两焦点坐标分别为 ， . .1 分F1(1,0) F2(1,0)13. .3 分2a= (1+1)2+(32)2+ (11)2+(32)2=
15、52+32=4又 ， 4 分a=2, c=1b2=41=3故椭圆的方程为 . .5 分x24+y23=1（）当直线 轴，计算得到： ，x A(1,32),B(1,32)，不符合题意. .6 分SAF2B=12|AB|F1F2|=1232=3当直线与 轴不垂直时，设直线的方程为： ，x y=k(x+1)由 ，消去 y 得 ， .7 分y=k(x+1)x24+y23=1 (3+4k2)x2+8k2x+4k212=0显然 成立，设 ，0 A(x1,y1),B(x2,y2)则 .8 分x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2123+4k2,又|AB|= 1+k2 (x1+x2)24x1x2= 1
16、+k2 64k4(3+4k2)24(4k212)3+4k2即 ， .9 分|AB|= 1+k212k2+13+4k2=12(k2+1)3+4k2又圆 的半径 .10 分F2 r=|k10+k|1+k2 = 2|k|1+k2,所以SAF2B=12|AB|r=1212(k2+1)3+4k2 2|k|1+k2=12|k| 1+k23+4k2 =1227,化简，得 ，17k4+k218=0即 ，解得(k21)(17k2+18)=0 k=1所以， ， .12 分r=2|k|1+k2= 2故圆 的方程为： . .13 分F2 (x1)2+y2=2（）另解：设直线的方程为 ，x=ty1由 ，消去 x 得 ，
17、 恒成立，x=ty1x24+y23=1 (4+3t2)y26ty9=0 0设 ，则 8 分A(x1,y1),B(x2,y2) y1+y2=6t4+3t2,y1y2= 94+3t2,所以 |y1y2|= (y1+y2)24y1y2= 36t2(4+3t2)2+ 364+3t2=12t2+14+3t2;.9 分14又圆 的半径为 ， .10 分F2 r=|1t0+1|1+t2 = 21+t2所以 ，解得 ，SAF2B=12|F1F2|y1y2|=|y1y2|=12t2+14+3t2=1227 t2=1所以 ， 12 分r=21+t2= 2故圆 的方程为： . .13 分F2 (x1)2+y2=22
18、2.已知函数 .f(x)=alnx+a+12x2+1（1）当 时，求 在区间 上的最值；a=12 f(x) 1e,e（2）讨论函数 的单调性；f(x)（3）当 时，有 恒成立，求的取值范围 .11+a2ln(a)【答案】 （） ；（）见解析；（） （ 1，0）【解析】【分析】（1）求出函数在区间 上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进1e,e行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当 时，求出函数-11+a2ln(-a)整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围【详解】 （1）当 时， ，a=-12 f(x)=-12lnx+x24+1,(x0) f(x)=-12
19、x+x2=x2-12x=(x+1)(x-1)2x当 时， 单调递减；当 时， 单调递增x(0,1) f(x)0,f(x)当 时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为 x=1 f(1)=54又 ， ，f(1e)=32+14e2 f(e)=12+e24 f(x)max=12+e2415所以函数在区间 上的最小值为 ，最大值为 1e,e 54 12+e24（2）由题意得 ， f(x)=(a+1)x2+ax x(0,+)当 ，即 时， 恒成立，a+10 a-1 f(x)0 在 上单调递增f(x) (0,+)当 时， ，-1a0 0a+11由 得 ，或 （舍去） ，f(x)=0 x=-aa+1 x=-
20、 -aa+1 在 上单调递减，在 上单调递增f(x) (0,-aa+1) ( -aa+1,+)综上可得，当 ， 在 上单调递增；a0 f(x) (0,+)当 时， 在 上单调递减，在 单调递增；-1a0 f(x) (0,-aa+1) ( -aa+1,+)当 时， 在 上单调递减（3）由（2）可得，当 时， ，若不等式 恒成立，则只需 ，即 ，整理得 ，解得 ， ，又 ， 实数的取值范围为 【点睛】 （1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理对于含有多个变量的恒16成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数
