1、第三章 整式及其加减,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点一 单项式,例1 判断下列各式是不是单项式.如果是,请指出它的系数与次数. -13a, xy2,mn,- ,23a2b, a+b,x,- . 分析 根据单项式的定义解答,由数字与字母的乘积组成的式子叫单项 式,单独的一个数或字母也是单项式, a+b含有加法运算,不是单项式,-含有分母,且分母中含有字母,不是单项式.,解析 单项式:-13a, xy2,mn,23a2b,x,- .其中,-13a的系数为-13,次数 为1; xy2的系数为 ,次数为3;mn的系数为,次数为2;23a2b的系数为23, 次数为3;x的系数为1,次数为1;-
2、 的系数为- ,次数为5. 温馨提示 判断一个式子是不是单项式,关键是看式子中的数与字母、 字母与字母之间是否只有乘法运算,即式子中不含运算符号“+”或 “-”,分母中不含有字母.,知识点二 多项式,例2 指出下列多项式的项和次数,并说明它是几次几项式. (1)a3-a2b+ab2-b3;(2)3n4-2n2+1.,解析 (1)多项式a3-a2b+ab2-b3的项是a3,-a2b,ab2,-b3,次数是3,它是三次四 项式. (2)多项式3n4-2n2+1的项是3n4,-2n2,1,次数是4,它是四次三项式.,例3 判断下列各式是不是整式: 1;r; r3;x+ ; ; .,解析 是单项式,是
3、多项式,而中 的分母是字母,故不 是整式. 故是整式,不是整式.,题型一 根据单项式、多项式次数的定义确定字母的值 例1 已知多项式-2x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四项式,单项式-x2ny5-m与该多项 式的次数相同,求m,n的值.,解析 根据题意可得2+m+1=6, 解得m=3, 由题意得单项式-x2ny5-m的次数是6, 所以2n+5-m=6, 即2n+5-3=6, 解得n=2, 所以m,n的值分别是3,2.,题型二 有关单项式的探索型试题 例2 有一列单项式-x,2x2,-3x3,-19x19,20x20,. (1)根据你发现的规律,写出第100个,第101个,第102个单项式
4、; (2)你能进一步写出第n个单项式吗?,解析 (1)第100个,第101个,第102个单项式分别是100x100,-101x101,102x102. (2)第n个单项式是(-1)nnxn. 点拨 对于整式排列的规律探究题,主要是探究指数和系数的规律,注 意系数符号的规律.,易错点 确定单项式的系数、次数时出错 例 (1)- 的次数是 ,系数是 ; (2)-32xy2的次数是 ,系数是 .,错解 (1)4;- (2)5;-3,正解 (1)3;- (2)3;-32,错因分析 不能准确理解单项式的系数、次数的概念,系数应是单项式 中的数字因数,单项式的次数是所有字母的指数和.如- =- a2b,系
5、 数应为- ,次数是2+1=3;-32xy2的系数应为-32,而不是-3,次数是1+2=3.,知识点一 单项式 1.(2016云南昆明三中期中)下列式子:-abc2,c,0,2a2+3b+1, , 中,单项 式有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,答案 B 由单项式的概念知,-abc2,c,0, 均为单项式,故选B.,2.(2018山东枣庄山亭期中)下列关于单项式-3x5y2的说法中,正确的是 ( ) A.它的系数是3 B.它的次数是7 C.它的次数是5 D.它的次数是2,答案 B 单项式的系数要带上数字前面的符号,次数为所有字母的指 数和,-3x5y2的系数为-3,次数为7,故
6、选B.,3.下列语句中错误的是 ( ) A.数字0也是单项式 B.单项式-a的系数与次数都是1 C. xy是二次单项式 D.- 的系数是-,答案 B 单项式-a的系数是-1,次数是1,故B错误.故选B.,4.判断下列各式是不是单项式.如果不是,请简要说明理由;如果是,请指 出它们的系数和次数. (1)x+2;(2) ;(3)r2;(4)- ab2.,解析 (1)不是单项式,含有加法运算. (2)不是单项式,因为 的分母中含有字母,因此 不是数与字母的积的形 式,所以不是单项式. (3)是单项式,r2的系数为,次数为2. (4)是单项式,- ab2的系数为- ,次数为3.,知识点二 多项式 5.
7、对于多项式-3x+2xy2-1,下列说法正确的是 ( ) A.一次项系数是3 B.最高次项是2xy2 C.常数项是1 D.是四次三项式,答案 B 多项式-3x+2xy2-1是三次三项式,一次项系数是-3,常数项是- 1,所以A、C、D均错误,故选B.,知识点三 整式 6.下列式子:x2+2, +4, , ,-5x,0中,整式有 ( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个,答案 C 整式有x2+2, ,-5x,0,共4个.,7.把下列各式分别填在相应的大括号里:4, , +b,R2-r2, x2,2x-3,- x2+yz,a2+ +2. 单项式: ; 多项式: ; 整式: .,解析 单项式:
8、 ; 多项式: ; 整式: .,1.(2018河南齐源期中)下列说法中正确的是 ( ) A. 是单项式 B.-x的系数为-1 C.-5不是单项式 D.-5a2b的次数是3,答案 D 含有加法运算,不是单项式;-x的系数是-;-5是单项式, 故A、B、C选项均不正确,只有D选项正确,故选D.,2.在 ,x+1,-2,- ,0.72xy, , 各式中,单项式的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 C 依据单项式的定义,-2,- ,0.72xy, 是单项式,共4个,故选C.,3.下列各组单项式中,次数相同的是 ( ) A.3ab与-4xy2 B.3与a C.- x2y2与xy D.a
9、3与xy2,答案 D A选项中,3ab和-4xy2的次数分别为2和3,B选项中,3和a的次 数分别为0和1,C选项中,- x2y2和xy的次数分别为4和2,只有D选项中的 两个单项式的次数相同,都是3次.,4.3x3y2-2x2y4+xy-1是 次 项式,最高次项是 ,-1 叫做 项.,答案 六;四;-2x2y4;常数,解析 多项式3x3y2-2x2y4+xy-1是六次四项式,其中最高次项是-2x2y4,-1是 常数项.,5.(1)单项式 的系数是 ,次数是 ; (2)单项式2x3y4的系数是 ,次数是 .,答案 (1) ;6 (2)2;7,解析 单项式中的数字因数为单项式的系数,所有字母的指
10、数和为单项 式的次数,是数字.,1.如果整式xn-3-5x+2是关于x的四次三项式,那么n等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 D 由已知得xn-3是最高次项,所以n-3=4,n=7,故选D.,2.如果一个多项式的次数是5,那么这个多项式中任何一项的次数都 ( ) A.小于5 B.大于5 C.不小于5 D.不大于5,答案 D 多项式的次数指的是最高次项的次数,故任何一项的次数都 不大于5.,1.若(m-2)x2yn+1是关于x,y的五次单项式,则m,n的值分别是 ( ) A.m=0,n=2 B.m0,n=2 C.m2,n=2 D.m=2,n=5,答案 C 因为(m-2)x2yn+
11、1是关于x,y的五次单项式,所以2+n+1=5,且m-2 0,解得n=2,m2,故选C.,2.单项式- 的系数为a,次数为b则ab的值为 .,答案,解析 由题意知,a=- ,b=2,所以ab= = .,3.已知关于x的多项式3x6+(m+1)x3-5x-(n-2)x2+1不含x的二次项和三次项, 求(mn)m+n的值.,解析 由已知得-(n-2)=0,且m+1=0,解得n=2,m=-1,所以(mn)m+n=(-1)2-1+ 2=(-2)1=-2.,答案 C A选项中,- 的系数为- ;B选项中,32ab3的次数为4;C选项为x+ y,是多项式;D选项中,x2+x-1的常数项为-1,只有C选项正
12、确.故选C.,2.(2018陕西西安音乐学院附中期中,7,)下列说法正确的是 ( ) A.字母a和数字1都不是单项式 B. 可以看做 与3的乘积,因此 是单项式 C.单项式xyz的次数是3 D.单项式- 的系数是2,次数是4,答案 C 单独的数字或字母也是单项式,故A选项错误; 表示3x,因 此 不是单项式,故B选项错误;xyz的次数为1+1+1=3,故C选项正确;-=- x3y,系数为- ,故D选项错误.,答案 二;三,解析 一个多项式的次数是几次,就叫做几次式;多项式含有几项,就叫 做几项式.所以2x2-3x+5是二次三项式.,解析 当4xn+2是最高次项时,n+2=3,所以n=1, 此时
13、,n3-2n+3=13-21+3=2. 当-5x2-n是最高次项时,2-n=3,所以n=-1. 此时,n3-2n+3=(-1)3-2(-1)+3=-1+2+3=4.,1.(2018河北高碑店期中,7,)单项式-3xy2z3的系数和次数分别是 ( ) A.-,5 B.-1,6 C.-3,6 D.-3,7,答案 C -3xy2z3的系数为-3,次数为1+2+3=6,故选C.,2.(2017山东枣庄山亭期中,15,)如果代数式x2+(2a-6)xy+x2+y2+9 中不含xy项,则a= .,答案 3,解析 代数式中不含xy项,则xy项的系数为0,故有2a-6=0,解得a=3.,3.(2018江西九江
14、柴桑期中,17,)五次单项式(k-3)x|k|y2 的系数为 .,答案 -6,解析 因为单项式(k-3)x|k|y2的次数为5,所以|k|+2=5,所以|k|=3,所以k=3, 又因为k-30,所以k3,所以k=-3.所以该单项式的系数为-6.,答案 D 单项式中的数字因数叫做单项式的系数,单项式 的系数 是 .,2.(2015福建厦门中考,3,)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则 这个单项式可以是 ( ) A.-2xy2 B.3x2 C.2xy3 D.2x3,答案 D -2xy2的系数是-2,次数是3;3x2的系数是3,次数是2;2xy3的系数 是2,次数是4,所以A,B,C错误.2x3
15、的系数是2,次数是3,故选D.,答案 -13x8,解析 分别从单项式系数的符号,系数的绝对值,字母x的指数三方面找 规律.单项式系数的符号规律是奇负偶正;单项式系数的绝对值是从1开 始的连续奇数;字母x的指数是从2开始的连续整数. 由此可知第n个单项式为(-1)n(2n-1)xn+1, 所以第7个单项式为-13x8.,1.(2015内蒙古通辽中考,5,)下列说法中,正确的是 ( ) A.- x2的系数是 B. a2的系数为 C.3ab2的系数是3a D. xy2的系数是,答案 D 选项A中,- x2的系数是- ;选项B中, a2的系数是 ;选项C 中,3ab2的系数是3;选项D中, xy2的系
16、数是 ,故选D.,2.(2013广东佛山中考,9,)多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的 系数分别是 ( ) A.3,-3 B.2,-3 C.5,-3 D.2,3,答案 A 根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得, 此多项式的次数为3,最高次项是-3xy2,由系数是数字因数得,-3xy2的系数 为-3.,3.(2014广西北海中考,17,)下列式子按一定规律排列: , , ,则第2 014个式子是 .,答案,解析 通过观察可以发现,分母是从2开始的连续偶数,则第n个式子的 分母是2n,分子的指数是从1开始的连续奇数,则第n个式子的分子的指 数是2n-1,所以第n个式子为 ,
17、所以第2 014个式子是 .,1.有一个多项式a10-a9b+a8b2-a7b3+,按这样的规律写下去,你知道第7项 是什么吗?最后一项呢?这是一个几次几项式?有什么规律?,解析 可以观察出,这个多项式从左到右a的指数逐项减1,b的指数逐项 加1,所以第7项是a4b6,最后一项是b10,这个多项式是关于a,b的十次十一 项式,第n个单项式是(-1)n+1a11-nbn-1,这里n代表第n项.,2.观察下列单项式:-x,3x2,-5x3,7x4,-37x19,39x20,写出第n个单项式. 为了解决这个问题,特提供下面的解题思路: (1)这组单项式的系数的符号规律是 ,系数的绝对值是 ; (2)
18、这组单项式的次数是 ; (3)根据上面的归纳,可以猜想第n个单项式是 ;(只填写一 个式子) (4)请你根据猜想,写出第2 017个、第2 018个单项式.,解析 (1)奇负偶正;从1开始的连续奇数. (2)从1开始的连续自然数. (3)(-1)n(2n-1)xn. (4)把n=2 017,2 018分别代入(3)中的代数式,则这两个单项式分别为-4 0 33x2 017,4 035x2 018.,在一堂数学活动课上,同在一个合作学习小组的小杰、小亮、小丁、 小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受: 小杰说:“绝对值不大于4的整数有7个.” 小亮说:“当m=3时,代数式3x-y-mx+2中不含x项.” 小丁说:“若|a|=3,|b|=2,则a+b的值为5或1.” 小彭说:“多项式-2x+x2y+y3是三次三项式.” 你觉得他们的说法正确吗?如不正确,请帮他们改正,写出正确的说法.,解析 小杰的说法错误,应为绝对值不大于4的整数有9个. 小亮的说法对. 小丁的说法错误,应为若|a|=3,|b|=2,则a+b的值为5或1. 小彭的说法对.,
