1、第二章 有理数及其运算,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点一 相反数,例1 填空: (1)-5 的相反数为 ; (2)-2是 的相反数; (3)-3的相反数是 .,解析 (1)-5 的相反数是- =5 . (2)在“2”前添加一个“-”号即可得到它的相反数-2. (3)将“-3”括起来,前面加“-”号即可得到它的相反数-(-3).,知识点二 绝对值,例2 求下列各数的绝对值: - , ,-2.5,-(-3),0.,解析 = , = ,|-2.5|=2.5, |-(-3)|=3,|0|=0.,知识点三 利用绝对值比较有理数的大小 两个正数比较大小,绝对值大的数大;两个负数比较大小,绝对值大
2、的数 反而小. 例3 比较- 与- 的大小关系.,解析 因为 = = , = = , , 所以 ,所以- - .,题型一 相反数在数轴上的位置特点及应用 例1 如图2-3-1,数轴上点A表示4,把点A向左移动2个单位长度,得到点 B,点C与点B表示的数互为相反数,求B,C两点表示的数,并把B,C两点在 数轴上表示出来.图2-3-1 分析 结合数轴,能够得到点B表示的数为2,然后根据互为相反数的两 个数只有符号不同,得到点C表示的数.,解析 因为点A表示的数为4,点B是由点A向左移动2个单位长度得到 的,所以点B表示的数为2.因为点C与点B表示的数互为相反数,所以点C 表示的数为-2. 在数轴上
3、表示点B、C如图2-3-2.图2-3-2,题型二 绝对值非负性的应用 例2 (2016内蒙古包头四十三中期中)若|a-4|+|b+5|=0,则a= ,b= .,解析 由绝对值的非负性可知,|a-4|=0,且|b+5|=0,故a-4=0且b+5=0,a= 4,b=-5.,答案 4;-5 点拨 如果几个非负数的和为零,那么这几个非负数都为零.这是一条 很重要的性质.,易错点 不理解绝对值的意义 例 (1)若|x|=4,则x= ; (2)绝对值等于它本身的数是 . 错解 (1)4 (2)正数 正解 (1)4 (2)非负数 常见错因 (1)因为不理解绝对值的意义,只考虑正数,得出x=4,漏掉x=-4.
4、 (2)忽略0的绝对值也是它本身,得出错解:正数.,知识点一 相反数 1.(2017福建中考)3的相反数是 ( ) A.-3 B.- C. D.3,答案 A 只有符号不同的两个数互为相反数,所以3的相反数是-3,故 选A.,2.如果a与- 互为相反数,则a= .,答案,解析 由互为相反数的定义得a= .,3.若数轴上表示互为相反数的两个数对应的点之间的距离是4,则这两 点表示的数是 .,答案 2和-2,解析 由相反数是在原点的两侧且到原点的距离相等的两个点所表示 的数,知这两点表示的数是2和-2.,4.写出下列各数的相反数:+8.5,-3 ,0.35,0,-2,10%,100.,解析 +8.5
5、的相反数是-8.5;-3 的相反数是3 ;0.35的相反数是-0.35;0 的相反数是0;-2的相反数是2;的相反数是-;10%的相反数是-10%;100 的相反数是-100.,知识点二 绝对值 5.下列式子中,正确的是 ( ) A.|-5|=-5 B.|-5|=5 C.|-0.5|=- D.- =,答案 B 因为|-5|=5,所以A选项错误,B选项正确;因为|-0.5|=0.5= ,所 以C选项错误;因为- =- ,所以D选项错误.故选B.,6.一个数a在数轴上所对应的点在原点的左侧,且|a|=2.5,则a= .,答案 -2.5,解析 在原点左侧,且距离原点2.5个单位长度的点表示的数为-2
6、.5.,7.如图2-3-1,数轴的单位长度为1,如果点A,B表示的数的绝对值相等,那 么点A表示的数是 .图2-3-1,答案 -2,解析 设A、B表示的数分别为a、b,由题意可知|a|=|b|=2,因为ab,所以 a=-2,b=2,故点A表示的数是-2.,知识点三 利用绝对值比较有理数的大小 8.绝对值大于2.5且小于7.2的所有负整数为 .,答案 -3,-4,-5,-6,-7,9.(2016广东佛山江义联考)比较大小:(填“”“”或“=”) (1)1 -2.1; (2)- - .,答案 (1) (2),解析 (1)正数大于负数,1-2.1. (2)两个负数比较大小,绝对值大的反而小. = =
7、 , = = , , - - .,1.如图所示,表示互为相反数的两个点是 ( )A.点A和点D B.点B和点C C.点A和点C D.点B和点D,答案 C 点C表示的数是-2,点A表示的数是2,2与-2互为相反数.,2.下列说法中,错误的是 ( ) A.+5的绝对值等于5 B.绝对值等于5的数是5 C.-5的绝对值是5 D.+5、-5的绝对值相等,答案 B 绝对值等于5的数是5,故B错.,3.下列说法正确的是 ( ) A.一个数的绝对值一定是正数 B.绝对值相等的两个数一定是不相等的数 C.负数的绝对值一定是正数 D.绝对值小于3的整数有3个,答案 C 0的绝对值是0,故A错;绝对值相等的两个数
8、有可能相等,故B 错;绝对值小于3的整数有2,1,0,共5个,故D错.故选C.,4.(2017江苏苏州中学月考)已知a为有理数,则下列四个数中一定为非负 数的是 ( ) A.a B.-a C.|-a| D.-|-a|,答案 C 选项A中的a可以表示任何数;选项B中的-a表示a的相反数, 也表示任何数;选项C中的|-a|表示-a的绝对值,根据绝对值的意义,可知|- a|为非负数;选项D的中-|-a|表示|-a|的相反数,由于|-a|为非负数,所以-|-a| 为非正数.故选C.,1.下列说法正确的是 ( ) A.-a的绝对值是a B.若|x|=-x,则x是负数 C.a的绝对值是a D.若m=-n,
9、则|m|=|n|,答案 D 对于D,由m=-n知m与n互为相反数,所以|m|=|n|.,2.(2015山东威海中考改编)已知有理数a,b在数轴上的位置如图2-3-2所 示,下列结论错误的是 ( )图2-3-2 A.|a|1|b| B.1-ab C.1|a|b D.-ba-1,答案 A 如图,根据各数在数轴上的位置可知:-ba-11-a(或|a|)b (或|b|),所以1-ab,1|a|b,-ba-1均正确,只有|a|1|b|错误.故选A.,3.一个数在数轴上所对应的点向左移动2 018个单位长度后,得到它的相 反数对应的点,则这个数是 .,答案 1 009,解析 由题意得移动前后两个点到原点的
10、距离相等,都为1 009,且移动 前的点在原点右侧,故这个数是1 009.,4.已知|a-2|+|b-3|+|c|=0,求a+b+c的值.,解析 因为|a-2|+|b-3|+|c|=0,且|a-2|0,|b-3|0,|c|0,所以a-2=0,b-3=0,c =0,所以a=2,b=3,c=0,所以a+b+c=5.,1.如图所示,若数轴上的两点A、B表示的数分别是a,b,则数a、-a、b、- b中,最大的是 ( )A.a B.-a C.b D.-b,答案 B 由题中数轴可知,a0,且|a|b|,将各数在数轴上表示如 图.所以-ab-ba.,2.(1)若|x|=x,则x的范围是 ; (2)|3.14
11、-|= .,答案 (1)x0 (2)-3.14,解析 (1)若|x|=x,则x为非负数,即x0. (2)因为3.14,所以3.14-0. 负数的绝对值为它的相反数,所以|3.14-|=-(3.14-)=-3.14.,3.检查5袋水泥的质量,把超过标准质量的千克数记为正数,不足标准质 量的千克数记为负数,检查结果如下表所示(单位:千克):,(1)最接近标准质量的是几号水泥? (2)质量最多的水泥比质量最少的水泥多多少千克?,解析 (1)|+10|=10,|-5|=5,|+8|=8,|-7|=7,|-3|=3,因为357810,所以5号 水泥的质量最接近标准质量. (2)因为质量最多的水泥比标准质
12、量多10千克,而质量最少的水泥比标 准质量少7千克,所以质量最多的水泥比质量最少的水泥多10+7=17(千 克).,4.已知a、b、c都是有理数,且满足 + + =1,试判断a、b、c三个数 中正数有几个.,解析 因为 + + =1,且a、b、c都不为零, 所以 、 、 中必然两个等于1,一个等于-1, 所以a、b、c三个数中正数有两个.,一、选择题 1.(2018山东青岛国开实验中学月考,3,)图2-3-3是一个正方体纸 盒的展开图,按虚线折成正方体后,若使相对面上的两数互为相反数,则 A、B、C表示的数依次是 ( )图2-3-3 A.-5、-、 B.-、5、 C.-5、 、 D.5、-,答
13、案 A 由正方体的展开图知,A与5互为相反数,B与互为相反数,C 与- 互为相反数,故A、B、C表示的数依次是-5、-、 .故选A.,2.(2018四川雅安中学月考,9,)下列有理数的大小关系判断正确 的是 ( ) A.- - B.0|-10| C.|-3|-0.01,答案 A 因为- = ,- =- , - ,所以A选项正确;因为|-10|=1 00,所以B选项不正确;因为|-3|=|+3|=3,所以C选项不正确;因为|-1|=1,|-0. 01|=0.01,10.01,所以-1-0.01,所以D选项不正确.故选A.,二、填空题 3.(2018重庆一一O中学期中,17,)若|-a|=5,则a
14、= .,答案 5,解析 正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,所以a=5.,三、解答题 4.(2018四川成都龙泉驿月考,19,)如图2-3-4,在数轴上表示下列 各数,并用“”号把这些数连接起来. -(-4),-|3.5|,-0.5,0,+(+2.5),1.5.图2-3-4,解析 如图:由图可知-|3.5|-0.501.5+(+2.5)-(-4).,1.(2017广东佛山顺德月考,9,)下列各组数中,不相等的一组是 ( ) A.-(+7),-|-7| B.-(+7),-|+7| C.+(-7),-(+7) D.+(+7),-|-7|,答案 D 因为+(+7)=7,-|-7|=-7,
15、所以选D.,2.(2018山东枣庄山亭期中,5,)下列说法中正确的是 ( ) A.任何有理数的绝对值都是正数 B.最大的负有理数是-1 C.0是最小的数 D.如果两个数互为相反数,那么它们的绝对值相等,答案 D 互为相反数的两个数在数轴上所对应的点到原点的距离相 等,故它们的绝对值相等.,3.(2016广东深圳锦华实验学校质检,12,)若|x+2|+|y-3|=0,则x= ,y= .,答案 -2;3,解析 易知|x+2|0,|y-3|0,又|x+2|+|y-3|=0,x+2=0,y-3=0,x=-2,y= 3.,选择题 1.(2017贵州黔东南州中考,1,)|-2|的值是 ( ) A.-2 B
16、.2 C.- D.,答案 B -20,|-2|=2,故选B.,2.(2017广东广州中考,1,)如图2-3-5,数轴上两点A,B表示的数互 为相反数,则点B表示的数为 ( )图2-3-5 A.-6 B.6 C.0 D.无法确定,答案 B 点A表示的数为-6,点B表示的数与点A表示的数互为相反 数,点B表示的数为6,故选B.,3.(2015山东菏泽中考,6,)如图2-3-6,四个有理数在数轴上的对应 点为M,P,N,Q,若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最 小的数的点是 ( )图2-3-6 A.点M B.点N C.点P D.点Q,答案 C 因为点M,N表示的有理数互为相反数, 所
17、以原点的位置大约在O点(如图). 所以表示绝对值最小的数的点是点P.故选C.,1.(2017辽宁沈阳中考,1,)7的相反数是 ( ) A.-7 B.- C. D.7,答案 A 只有符号不相同的两个数互为相反数,所以7的相反数是-7, 故选A.,2.(2017黑龙江齐齐哈尔中考,1,)-2 017的绝对值是 ( ) A.-2 017 B.2 017 C.- D.,答案 B 负数的绝对值是它的相反数,即|-2 017|=2 017,故选B.,3.(2017新疆乌鲁木齐中考,1,)如图,数轴上点A表示数a,则|a|是 ( )A.2 B.1 C.-1 D.-2,答案 A 在题中数轴上,点A表示的数是-
18、2,所以a=-2,|a|是2,故选A.,(2018重庆巴南月考)认真阅读下面的材料,完成有关问题. 材料:在学习绝对值时,老师教过我们绝对值的几何含义,如|5-3|表示5、 3在数轴上对应的两点之间的距离;|5+3|=|5-(-3)|,所以|5+3|表示5、-3在 数轴上对应的两点之间的距离;|5|=|5-0|,所以|5|表示5在数轴上对应的点 到原点的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B 两点之间的距离可表示为|a-b|. 问题(1):点A、B、C在数轴上分别表示有理数-5、-1、3,那么A到B的距 离是 ,A到C的距离是 (直接填最后结果); 问题(2):点A、B
19、、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1,那么A到B的距,离与A到C的距离之和可以表示为 (用含绝对值的式 子表示); 问题(3):利用数轴探究:满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是 ; 设|x-3|+|x+1|=p,当x的值在不小于-1且不大于3的范围内时,p的值是不 变的,而且是p的最小值,这个最小值是 ;当x的值在 的 范围内时,|x|+|x-2|的最小值是 ; 问题(4):求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此时x的值.,解析 (1)4;8. (2)|x-(-2)|+|x-1|或|x+2|+|x-1|. (3)-2、4. 4;不小于0且不大于2(或0x2);2. (4
20、)因为当x不小于-1且不大于3时,|x-3|+|x+1|的最小值是4, 所以当|x-2|最小时,|x-3|+|x-2|+|x+1|有最小值, 所以当|x-2|=0时,即x=2时,|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值是4.,1.(1)当a0时,a -a;当a=0时,a -a;当a0时,a -a; (2)请仿照(1)的方法,比较a和 的大小.,解析 (1);=;1时,a ;当-1 ; 当a=-1时,a= ;当a-1时,a .,2.已知a,b,c为有理数,且它们在数轴上的位置如图所示.(1)判断a,b,c的正负性; (2)在数轴上标出a,b,c的相反数的位置; (3)根据数轴化简:|a|= ,|b|= ,|c|= ,|-a|= ,|-b|= ,|-c|= ; (4)若|a|=5.5,|b|=2.5,|c|=7,求a,b,c的值.,解析 (1)a0,b0,c0,即a为正数,b,c为负数. (2)如图所示.(3)a;-b;-c;a;-b;-c. (4)a=5.5,b=-2.5,c=-7.,
