1、第二章 有理数及其运算,初中数学（北师大版）七年级 上册,例1 计算:(1)(+5)+(+7); (2)(-3)+(-8); (3)(-7)+(+5); (4)(-3)+(+8); (5)(-7)+(+7); (6)0+(-4).,解析 (1)(+5)+(+7)=+(|+5|+|+7|)=12. (2)(-3)+(-8)=-(|-3|+|-8|)=-11. (3)(-7)+(+5)=-(|-7|-|+5|)=-2. (4)(-3)+(+8)=+(|+8|-|-3|)=5. (5)(-7)+(+7)=0. (6)0+(-4)=-4.,知识点二 有理数加法的运算律加 法 运 算 律,例2 给下面的
2、计算过程标明理由. (+16)+(-22)+(+34)+(-78) =(+16)+(+34)+(-22)+(-78) =(+16)+(+34)+(-22)+(-78) =(+50)+(-100) =-50. ; ; ; .,解析 第步,交换了加数的位置;第步,将符号相同的两个数结合在 一起;第步,利用了有理数加法法则;第步,同样利用了有理数加法法则.,答案 加法交换律 加法结合律 有理数加法法则 有理数 加法法则,题型一 运用加法运算律进行化简 例1 用简便方法计算: (1)-4.7+(+2.6)+(-3.3)+(+3.4); (2) + +0+ + ; (3) + +|-2.25|+ . 分
3、析 第(1)小题可以先把同号的数结合相加;第(2)小题可以先把同分 母的数结合相加;第(3)小题可以先把小数化为分数,或把分数化为小数, 再把同号的数结合在一起相加.,解析 (1)原式=(-4.7)+(-3.3)+(+2.6)+(+3.4)=(-8)+6=-2. (2)原式= + =(-1)+1=0. (3)原式=(-3.5)+4.75+2.25+(-2.5) =(-3.5)+(-2.5)+(4.75+2.25) =(-6)+7=1.,题型二 运用有理数的加法解决实际问题 例2 某出租汽车下午从停车场出发,沿着东西走向的大街进行汽车运 营,截至晚上6时,行驶记录如下(规定向东为正,向西为负,单
4、位:km): +10,-3,+4,+2,+8,+5,-2,-8,+12,-5,-7. (1)到晚上6时,出租汽车在什么位置? (2)若出租汽车每千米耗油0.06 L,则下午从停车场出发到晚上6时,出租 汽车共耗油多少L? 分析 (1)将这11个数相加,若和为正数,则说明出租汽车在停车场的东 边;若和为负数,则说明出租汽车在停车场的西边;若和为零,则说明出租 汽车与停车场位置相同. (2)要求出租汽车总的耗油量,需求出从下午出发到晚上6时,出租汽车一 共走的路程,即各数的绝对值的和.,解析 (1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(+8)+(+5)+(-2)+(-8)+(+12)+(-5
5、)+(-7) =(+10+4+2+8+5+12)+(-3)+(-2)+(-8)+(-5)+(-7) =(+41)+(-25)=16(km). 答:到晚上6时,出租汽车在停车场正东方向16 km处. (2)|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|+8|+|+5|+|-2|+|-8|+|+12|+|-5|+|-7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7=66(km). 660.06=3.96(L). 答:下午从停车场出发到晚上6时,出租汽车共耗油 3.96 L. 点拨 (1)利用有理数加法解决实际问题,其关键是建立有理数加法模 型,从而把实际问题转化为有理数加法问题,通过加法计算,
6、使问题得到 解决.利用运算律可以简化运算. (2)要求汽车的耗油量,必须先求出出租汽车一共走的路程.,易错点 计算时,带分数拆分错误 例 计算: + . 错解 + = + =(+12)+(-27)+ =-15+1=-14. 正解 + =(+12)+ +(-27)+ =(+12)+(-27)+,=-15+ =-14 . 错因分析 注意带分数是负数时,拆分的整数与分数均为负数.-27 - 27+ ,应是-27 =- =-27- .,知识点一 有理数的加法法则 1.下列计算错误的是 ( ) A. +0.5=-1 B.(-2)+(-2)=4 C.(-71)+0=-71 D.(-1.5)+ =-4,答案
7、 B 根据加法法则得(-2)+(-2)=-(2+2)=-4.,2.(2016重庆巴南月考)-3的绝对值与5的相反数的和是 ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8,答案 B 5的相反数是-5,-3的绝对值是3,|-3|+(-5)=3+(-5)=-2.,3.下列说法中,正确的是 ( ) A.两个有理数相加,符号不变,绝对值相加 B.两个有理数的和一定大于任意一个加数 C.-7+(-5)=-(7-5)=-2 D.两个负数相加,和取负号,并把它们的绝对值相加,答案 D 绝对值不相等的异号两数相加时,和的符号取绝对值较大的 加数的符号,故A错;两个负数相加,和小于任意一个加数,故B错;-7+(-5)
8、= -(7+5)=-12,故C错;D对,故选D.,4.在数5、-2、7、-6中,任意三个不同的数相加,其中最小的和是 ( ) A.10 B.6 C.-3 D.-1,答案 C 因为75-2-6,且三个较小的数相加和最小,所以最小的和 是5+(-2)+(-6)=-3.,5.计算: (1)(-34)+(+56);(2)(-5.5)+(-3.5); (3) + ;(4) +2 .,解析 (1)(-34)+(+56)=+(56-34)=22. (2)(-5.5)+(-3.5)=-(5.5+3.5)=-9. (3) + =- =- . (4) +2 =- =- .,知识点二 有理数加法的运算律 6.7+(
9、-3)+(-4)+18+(-11)=(7+18)+(-3)+(-4)+(-11)是应用了 ( ) A.加法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.加法交换律与结合律,答案 D 本题先是交换加数的位置,再运用加法结合律把同号的加数 结合在一起.,7.利用加法运算律运算. (1)(-5)+3+(+5)+(-2); (2)(-2.78)+(-4.05)+6.17+(-5.43)+2.14; (3) + ; (4) + +(-0.5)+ ; (5)4.5+(-2.5)+9 + +2 .,解析 (1)(-5)+3+(+5)+(-2) =(-5)+(+5)+3+(-2) =1. (2)原式=(-2.78)
10、+(-4.05)+(-5.43)+(6.17+2.14) =-12.26+8.31=-3.95. (3)原式=(+28)+ +(-17)+ =(+28)+(-17)+ =11+ =10 .,(4) + +(-0.5)+ = + =-4+2 =-2. (5)4.5+(-2.5)+9 + +2 =4.5+(-2.5)+ =2+(-4) =-2.,1.一个数是23,另一个数比23的相反数大5,则这两个数的和是 ( ) A.5 B.-5 C.0 D.23,答案 A 由题意得两个数的和是23+(-23)+5=5.,2.如果a、b是有理数,则下列说法成立的是 ( ) A.如果a0 B.如果a0,b0 C.
11、如果a0,b0,且|a|b|,那么a+b0,答案 D 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号, 故只有在明确绝对值大小关系的前提下,才能确定和的符号,故选D.,3.计算:(-9)+5= , + = , +(-0.75)= .,答案 -4; ;0,解析 直接根据加法法则计算.,4.某服装厂上半年各月的盈亏情况如下:盈利1 285万元、亏损140万 元、亏损955万元、盈利140万元、盈利168万元、盈利122万元,则该服 装厂上半年盈利 万元.,答案 620,解析 将盈利记为正,亏损记为负,则该服装厂上半年盈利为1 285+(-14 0)+(-955)+140+168+122=(1
12、 285+168+122)+(-140)+140+(-955)=1 575+ (-955)=620(万元).,1.如果|a+b|=|a|+|b|,那么 ( ) A.a、b同号 B.a、b为一切有理数 C.a、b异号 D.a、b同号或a、b中至少有一个为0,答案 D 因为|a+b|=|a|+|b|,所以根据加法法则,可知a与b同号或a、b中 至少有一个为0,故选D.,2.若m、n互为相反数,则m+8+n= ;已知a+c=-2 016,b+(-d)=2 01 7,则a+b+c+(-d)= .,答案 8;1,解析 因为m、n互为相反数,所以m+n=0,所以m+8+n=(m+n)+8=0+8=8. 因
13、为a+c=-2 016,b+(-d)=2 017,所以a+b+c+(-d)=(a+c)+b+(-d)=(-2 016)+ 2 017=1.,3.用简便方法计算: (1)0.125+ + + +(-0.25); (2) +(-3.36)+ ; (3)(+1)+(-2)+(+99)+(-100).,解析 (1)原式= + + =-3+ +3 = . (2)原式= +(-3.36)+(+7.36) =1+4 =5. (3)原式=(+1)+(-2)+(+99)+(-100) =(-1)+(-1)+(-1) =-50.,4.某仓库存储钢材,5天内进出钢材的吨数如下(“+”表示进库,“-”表 示出库):+
14、20、-25、-13、+28、-16. (1)经过这5天,仓库里的钢材增加或减少了多少吨? (2)如果进出仓库的钢材装卸费都是每吨15元,那么这5天要付多少元装 卸费?,解析 (1)(+20)+(-25)+(-13)+(+28)+(-16) =(20+28)+(-25)+(-13)+(-16) =48+(-54)=-6(吨). 所以经过这5天,仓库里的钢材减少了6吨. (2)(|+20|+|-25|+|-13|+|+28|+|-16|)15 =10215=1 530(元). 答:这5天要付1 530元装卸费.,1.计算3 + +5 + 时,用运算律最为恰当的是 ( ) A. + B. + C.
15、 + D. +,答案 B 把分母相同的数凑在一起计算最为恰当.,2.小于2 018且不小于-2 017的所有整数的和是 ( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018,答案 A 小于2 018且不小于-2 017的整数为2 017,2 016,1,0,-1,-2, -2 017,这些数的和为0,故选A.,一、选择题 1.(2018重庆南岸月考,2,)下列各式运算正确的是 ( ) A.(-3)+(+7)=-4 B.(-2)+(+2)=-4 C.(+6)+(-11)=-5 D.(-5)+(+3)=-8,答案 C (-3)+(+7)=4,(-2)+(+2)=0,(+6)+(-11)=-5,(
16、-5)+(+3)=-2,只有C选 项正确,故选C.,2.(2018山东青岛国开实验中学月考,4,)有理数a,b在数轴上的位 置如图2-4-1所示,则a+b的值 ( )图2-4-1 A.大于0 B.小于0 C.小于a D.大于b,答案 A 由题中数轴可知,-11,所以|b|a|,所以a+b的值为正 数,即a+b0.,二、解答题 3.(2018江西吉安期中,20,)“滴滴打车”是一种新的网上约车的 方式,更方便人们出行,小明国庆节第一天下午营运全是在泰和白凤大 道南北走向的公路上进行的,如果向南记作“-”,向北记作“+”.他这 天下午行车情况如下:(单位:千米,每次行车都有乘客)-2,+5,-1,
17、+8,-3,-2,- 4,+6.请回答:(8分) (1)将最后一名乘客送到目的地时,小明在下午出车的出发地的什么方 向?距下午出车的出发地多远? (2)若规定每趟车的起步价是10元,且每趟车行驶的路程在3千米以内(含 3千米)只收起步价;若超过3千米,除收起步价外,超过的每千米还需收2 元钱,那么小明这天下午收到乘客所给车费共多少元? (3)若小明的出租车每千米耗油0.3 升,每升汽油7元,不计汽车的损耗,那 么小明这天下午是盈利还是亏损了?盈利(或亏损)多少钱?,解析 (1)-2+5+(-1)+8+(-3)+(-2)+(-4)+6=7. 答:小明在下午出车的出发地的北方,距下午出车的出发地7
18、千米. (2)10+10+(5-3)2+10+10+(8-3)2+10+10+10+(4-3)2+10+(6-3) 2=102. 答:小明这天下午收到乘客所给车费共102元. (3)(|-2|+5+|-1|+8+|-3|+|-2|+|-4|+6)0.37 =65.1,102-65.1=36.9. 答:小明这天下午盈利了,盈利36.9元.,1.(2017山东枣庄东方国际学校第一次月考,11,)若x0,y0,且|x| y|,则x+y一定是 ( ) A.负数 B.正数 C.0 D.无法确定符号,答案 A 由加法法则,知异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号. 因为|x|y|且y0,所以x+y取y的符
19、号,其结果一定是负数.,2.(2017甘肃张掖四中期中,5,)绝对值大于2且小于5的所有整数 的和是 ( ) A.7 B.-7 C.0 D.5,答案 C 绝对值大于2且小于5的整数有3、4,3+(-3)+4+(-4)=0.故选 C.,3.(2017广东佛山顺德第一次联考,22,)下表列出了国外几个城市 与首都北京的时差(带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数),如北 京时间的上午10:00时,东京时间的10点已过去了1小时,现在已是11点. (6分),(1)如果现在是北京时间下午3:00,那么现在的纽约时间是多少? (2)此时(北京时间上午9:00)小明想给远在巴黎的姑妈打电话,你认为合 适吗
20、?为什么?,解析 (1)15+(-13)=2. 答:现在的纽约时间是凌晨2点. (2)9+(-7)=2. 答:不合适,因为现在的巴黎时间是凌晨2点.,一、选择题 1.(2017山东滨州中考,1,)计算-(-1)+|-1|的结果为 ( ) A.-2 B.2 C.0 D.-1,答案 B 原式=1+1=2.,2.(2014黑龙江大庆中考,3,)已知ab且a+b=0,则 ( ) A.a0 C.b0 D.a0,答案 D 由a+b=0可知a与b互为相反数,又ab,因此a为正数,b为负数. 故选D.,二、填空题 3.(2017江西中考,9,)中国人最先使用负数.魏晋时期的数学家刘 徽在“正负术”的注文中指出
21、,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表 示正数,斜放表示负数.如图2-4-2,根据刘徽的这种表示法,观察图2-4-2 ,可推算图2-4-2中所得的数值为 .图2-4-2,答案 -3,解析 根据题意可得,题图中的数值为(+2)+(-5)=-3.,1.(2016贵州贵阳中考,1,)下面的数中,与-6的和为0的数是 ( ) A.6 B.-6 C. D.-,答案 A 互为相反数的两个数的和为0,-6的相反数是6,故选A.,2.(2015山东烟台中考,13,)如图,数轴上点A,B所表示的两个数的 和的绝对值是 .,答案 1,解析 由题中数轴知,A表示的数为-3,B表示的数为2.|(-3)+2|=1.,1
22、.传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案,故又称 “龟背图”,中国古代数学史上经常研究此图. (1)现有1,2,3,4,5,6,7,8,9共九个数字,请将它们分别填入图2-4-3的九个 方格中,使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等 于15; (2)通过研究问题(1),利用你发现的规律,将3,5,-7,1,7,-3,9,-5,-1这九个数 字分别填入图2-4-3的九个方格中,使得横、竖、斜对角的三个数的 和都相等., 图2-4-3,解析 (1)如图. (2)如图.,图 图,2.观察下面的一列数,探究其规律: - , ,- , ,- , ,. (1)分别计算第1个数与
23、第2个数的和,第3个数与第4个数的和,第5个数与 第6个数的和; (2)猜想第19个数与第20个数的和.,解析 (1)- + = - = ;- + = - = ;- + = - = . (2) = .,如图所示,将-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7这10个数分别填写在五角星中每两条线 的交点处(每个交点处只填写一个数),将每一条线上的四个数相加,共得 5个数,设为a1,a2,a3,a4,a5,求 (a1+a2+a3+a4+a5)的值;交换其中任何两数的 位置后, (a1+a2+a3+a4+a5)的值是否改变?说明理由.,解析 (a1+a2+a3+a4+a5)=-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7=25,交换其中任何 两数的位置后, (a1+a2+a3+a4+a5)的值不变, 因为a1+a2+a3+a4+a5的值等于所给的十个数每个加2次的和,所以 (a1+a2 +a3+a4+a5)的值等于这十个数的和.,
