1、第二章 有理数及其运算,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点一 加减混合运算统一成加法运算,例1 把(+3)+(-2)+(-4)-(-16)写成省略加号和括号的和的形式,并用两种 读法读出式子.,解析 (+3)+(-2)+(-4)-(-16) =(+3)+(-2)+(-4)+(+16)=3-2-4+16. 读法一:3减2减4加16. 读法二:正3、负2、负4、正16的和.,例2 (2016重庆万州二中月考)计算: (1)2+(-18)-(-8)-4; (2) -5 + - - .,解析 (1)原式=2-18+8-4=(2+8)+(-18-4) =10+(-22)=-12. (2)原式=-3
2、2 -5 +3 +5 +2 =-32 + + =-32 +0+6=-26 .,知识点三 应用有理数加减混合运算解决“水位变化”问题 水位的变化问题是典型的利用有理数的加减混合运算解决的实际问题. 首先要理解在水位的变化图表下面标明的“注”或“注意”的含义: (1)正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降,参考对象 是前一天的水位;(2)正号表示比某一参考水位上升,负号表示比某一参 考水位下降,参考对象是某一具体水位值. 例3 下表是小明记录的今年雨季某条河一周内的水位变化情况(上周 末的水位达到警戒水位).,注:正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降. (1)本周哪一天河
3、流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它们位于警戒 水位之上还是之下?与警戒水位的距离分别是多少? (2)与上周末相比,本周末河流水位是上升了,是下降了,还是没有变化? (3)以警戒水位为原点,用折线统计图表示本周的水位情况.,题型一 运算律在有理数加减运算中的应用 例1 计算:-0.5- +2.75- .,解析 解法一:-0.5- +2.75- =- +3 +2 -7 = + =-8+6=-2.,题型二 利用有理数的加减混合运算解决实际问题 例2 某股民上星期五买进某公司股票1 000股,每股27元,下表为本周内 该股票每日收盘时每股的涨跌情况(单位:元):,注:正号表示该天收盘时股价比前一天
4、收盘时股价上涨,负号表示该天 收盘时股价比前一天收盘时股价下跌. (1)星期三收盘时,每股是多少元? (2)本周内各天收盘时的最高价是每股多少元?最低价是每股多少元?,解析 (1)星期三收盘时,每股的价格是27+(+4)+(+4.5)+(-1)=34.5(元). (2)由于股票价格在星期一、星期二两天连续上涨以后持续下跌,所以 星期二收盘时股票价格最高,每股的价格是27+(+4)+(+4.5)=35.5(元).星 期三、星期四、星期五三天连续下跌,而且这三天的跌幅已超过了前两 天的涨幅,所以星期五收盘时股票价格最低,每股的价格是35.5+(-1)+(- 2.5)+(-6)=26(元).,易错点
5、 在应用加法交换律时没有把性质符号一起交换 例 计算:-8 +1.93- -3.07+6. 错解 -8 +1.93- -3.07+6 =-8 + -(1.93+3.07)+6 =-8-5+6=-7. 正解 -8 +1.93- -3.07+6 =-8 - -3.07+(1.93+6) =-12.27+7.93=-4.34.,错因分析 这个算式是省略了“+”的和的形式,在交换加数的位置时,式子中的“+”“-”都是性质符号,必须和加数一起交换位置,如-(1.93+3.07)的意义是-1.93与-3.07的和,而原式是+1.93与-3.07的和,错在交换加数的位置时,符号没有一起交换.,知识点一 加减
6、混合运算统一成加法运算 1.(2016山西农大附中月考)将-3-(+6)-(-5)+(-2)写成省略括号的和的形式 是 ( ) A.-3+6-5-2 B.-3-6+5-2 C.-3-6-5-2 D.-3-6+5+2,答案 B -3-(+6)-(-5)+(-2)=-3+(-6)+5+(-2)=-3-6+5-2.,2. - - + 可以读作 ,也可以读作 .,答案 正 、负 、负 、正 的和; 减 减 加,知识点二 有理数的加减混合运算 3.下列各式运用结合律变形错误的是 ( ) A.1+(-0.25)+(-0.75)=1+(-0.25)+(-0.75) B.1-2+3-4+5-6=(1-2)+(
7、3-4)+(5-6) C. - - + = + D.7-8-3+6+2=(7-3)+(-8)+(6+2),答案 C - - + = + .故选C.,4.在(-3)+(-7)-( )=-7的括号内应填 .,答案 -3,解析 因为(-3)+(-7)-(-7)=(-10)+(+7)=-3,所以括号内应填-3.,5.计算. (1)(-38)-(-24)-(+65); (2)13+7-(-20)-(-40)-6; (3)27-18+(-7)-32; (4)3 - +2 + ; (5)23-41.23+23 -2-8.77-18 ; (6)6 +24-18+4 -16+18-6.8-3.2.,知识点三 应
8、用有理数加减混合运算解决“水位变化”问题 6.某一河流的警戒水位为50.2米,最高水位为54.5米,平均水位为45.3米, 最低水位为27.3米.如果取警戒水位作为0点,则最高水位为 米, 平均水位为 米,最低水位为 米.(高于警戒水位为正数),答案 4.3;-4.9;-22.9,解析 最高水位为54.5-50.2=4.3米. 平均水位为45.3-50.2=45.3+(-50.2)=-4.9米. 最低水位为27.3-50.2=27.3+(-50.2)=-22.9米.,7.甲、乙两队进行拔河比赛,甲队在右,乙队在左,平衡位置记为0,如果甲 队向右拉1米记作+1米,那么乙队向左拉1米记作-1米.下
9、表记录了双方 较量的过程,请你计算并回答下列问题.,(1)最终的位置偏左还是偏右? (2)以此可以判断哪队赢了吗?,解析 (1)+10-8+8-6=(+10)+(-8)+(+8)+(-6)=(+10)+(+8)+(-8)+(-6)=18 +(-14)=4(米),所以最终的位置偏右. (2)由(1)知最终的位置偏右4米,所以甲队赢了.,1.将3-10-7中省略的“+”号添上应得到 ( ) A.3+10+7 B.-3+(-10)+(-7) C.3+(-10)+(-7) D.3-(+10)-(+7),答案 C 在各“加数”前填上“+”号,将“加数”用括号括起来.,2.小明今年在银行办理了7笔储蓄业务
10、:取出9.5元,存进5元,取出8元,存 进12元,存进25元,取出12.5元,取出2元,这时银行现款增加了 ( ) A.12.55元 B.-12.25元 C.10元 D.-12元,答案 C -9.5+5-8+12+25-12.5-2 =(-9.5-8-12.5-2)+(5+12+25) =(-32)+42=10(元),这时银行现款增加了10元.,3.小明近期几次数学测试成绩如下:第一次85分,第二次比第一次高8分, 第三次比第二次低12分,第四次又比第三次高10分,那么小明第四次测 试的成绩是 ( ) A.90分 B.75分 C.91分 D.81分,答案 C 第四次测试的成绩为85+8-12+
11、10=91(分).,4.运用加法运算律将 - + + 写成 可使计算简便,结果是 .,答案 + ;-1,解析 运用加法交换律和结合律,让同分母的先相加减,这样可使计算 简便.,5.(2017安徽宿州埇桥第一次质检)某大型超市9月1日到5日的收入、支 出情况如下表:,运用你所学的知识,给超市简单记一笔账. (1)哪几天是亏本,哪几天是盈利的? (2)9月1日到5日,该超市总盈利是多少?,解析 (1)1日:20-15=5万元,盈利; 2日:24-26=-2万元,亏本; 3日:15-18=-3万元,亏本; 4日:19-14=5万元,盈利; 5日:30-17=13万元,盈利. 答:2日、3日亏本;1日
12、、4日、5日盈利. (2)总盈利=5-2-3+5+13=18万元. 答:9月1日到5日,该超市总盈利18万元.,(2017天津八中月考)某路公交车从起点经过A、B、C、D站到达终点, 路途中上下车的人数如下表所示.(用正数表示上车的人数,负数表示下 车的人数),(1)公交车行驶在哪两站之间时车上的乘客最多?到终点下车的有多少 人?填在表格相应的位置; (2)若每人乘坐一站需买票0.5元,问该车出车一次能收入多少钱?,解析 (1)根据题表知,18+15-3=30,30+12-4=38,38+7-10=35,35+5-11=29, 故公交车行驶在B站和C站之间时车上人数最多.到终点前,车上有18+
13、1 5-3+12-4+7-10+5-11=(18+15+12+7+5)+(-3-4-10-11)=57-28=29(人).故到 终点下车的有29人.故填29. (2)由(1)得(18+30+38+35+29)0.5=75(元). 答:该车出车一次能收入75元.,1.若|a-6|+|b+5|=0,则-b+a- 的值是 ( ) A.10 B.-11 C. D.-,答案 A 由|a-6|+|b+5|=0,得a-6=0,b+5=0,所以a=6,b=-5,所以-b+a- =-(- 5)+6- =10 .,2.我们规定“*”是一种数学运算符号,如果A*B=(A+B)-(A-B),那么3*(- 5)= .,
14、答案 -10,解析 由题中条件可得3*(-5)=3+(-5)-3-(-5)=(3-5)-(3+5)=-2-8=-10.,3.观察例题中的计算过程和方法,再计算后面的题目. 例:-5 + +17 + . 解:原式= + + + =(-5)+(-9)+(-3)+17+ =0+ =-1 . 上述这种方法叫做拆项法,灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简 便.请用上面的方法计算:+ +4 034+ .,解析 原式=-2 017- -2 016- +4 034-1- =(-2 017-2 016+4 034-1)+ =-2.,解答题 (2018四川成都龙泉驿月考,25,)某淘宝商家计划平均每天销售某 品
15、牌儿童滑板车100辆,但由于种种原因,实际每天的销售量与计划量相 比有出入.下表是某周的销售情况(超额记为正、不足记为负):(10分),(1)根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车 辆; (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 辆; (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量? (4)该店实行每日计件工资制,每销售一辆滑板车可得40元,若超额完成 任务,则超过部分每辆另奖15元;少销售一辆扣20元,那么该店铺的销售 人员这一周的工资总额是多少元?,解析 (1)296. (2)29. (3)+4-3-5+14-8+21-6=170, 本周实际销售总量达到了计划
16、数量. (4)(17+1007)40+(4+14+21)15+(-3-5-8-6)20=28 825(元). 答:该店铺的销售人员这一周的工资总额是28 825元.,1.(2017山东枣庄二十九中月考,26,)计算: (1)(-5.5)+(-3.2)-(-2.5)-4.8; (2) - - -(-2.75); (3)(-0.5)- +3.75- .,解析 (1)原式=-5.5-3.2+2.5-4.8=(-5.5+2.5)+(-3.2-4.8)=-3-8=-11. (2)原式= -1 -2 +2 = -1 +(-2+2)+ = + = -1=- . (3)原式=-0.5+3.25+3.75-8.
17、5 =(-0.5-8.5)+(3.25+3.75)=-9+7=-2.,2.(2017江西吉安二中第一次月考,19,)小明和小梅做摸球游戏,每 人摸5个球,摸到红球记为-3分,摸到白球记为0分,摸到黄球记为2分.摸 完球后,他们将摸到的5个球所代表的数相加,和较大的获胜. 小明摸到的球分别为:红球、黄球、红球、白球、红球. 小梅摸到的球分别为:黄球、黄球、白球、红球、红球. (1)小明和小梅谁获胜? (2)若将条件“和较大的获胜”改为“和的绝对值较大的获胜”,问小 明和小梅谁获胜?,解析 (1)小明得分:-3+2-3+0-3=-9+2=-7分, 小梅得分:2+2+0-3-3=4-6=-2分. 因
18、为-2-7,所以小梅获胜. (2)由(1)知小明得-7分,小梅得-2分, 因为|-7|=7,|-2|=2, 所以|-7|-2|,所以小明获胜.,答案 C 这4筐杨梅的总质量是54+(-0.1-0.3+0.2+0.3)=20.1(千克),故 选C.,1.(2016山东淄博中考,6,)张老师买了一辆启辰R50X汽车,为了掌 握车的油耗情况,在连续两次加油时做了如下工作:(1)把油箱加满油;(2) 记录了两次加油时的累计里程(注:“累计里程”指汽车从出厂开始累 计行驶的路程).以下是张老师连续两次加油时的记录:,则在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 ( ) A.3升 B.5升 C.7.5升
19、D.9升,答案 C 由题意得,行驶6 600-6 200=400(千米),耗油30升,所以该车每 100千米平均耗油量为304=7.5(升).故选C.,2.(2014江苏徐州中考,8,)点A、B、C在同一条数轴上,其中点A、 B表示的数分别为-3、1.若BC=2,则AC等于( ) A.3 B.2 C.3或5 D.2或6,答案 D 当点C在点B的右侧时,点C表示的数为3,则AC=3-(-3)=6;当点 C在点B的左侧时,点C表示的数为-1,则AC=-1-(-3)=2,故AC等于2或6,故 选D.,1.规定图形 表示运算a-b+c,图形 表示运算x+z-y-w,则+ = .,答案 -8,解析 由已
20、知得, =1-(-2)+3=1+2+3=6, =4+(-6)-7-5=4+(-6)+(- 7)+(-5)=4+(-18)=-14. 所以 + =6+(-14)=-8.,2.问题:能否将1,2,3,4,10这10个数分成两组并分别求和,且使所求的 两个和的差为5? 解:1+2+3+10=55,要满足题设要求,需将这10个数分成两组,一组的 和为30,另一组的和为25,然后把它们相减. 下面给出一种分法,例如:(6+7+8+9)-(1+2+3+4+5+10)=5. 应用:在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数前面任意添上“+”或“-”. (1)能否使它们的和等于-7?若能,给出一种添
21、加符号的方法;若不能,请说 明理由; (2)能否使它们的和等于-2?若能,给出一种添加符号的方法;若不能,请说 明理由.,解析 (1)能使它们的和等于-7.例如:(+1)+(-2)+(+3)+(-4)+(+5)+(-6)+(+ 7)+(+8)+(-9)+(-10)=1-2+3-4+5-6+7+8-9-10=-7.(答案不唯一) (2)不能.理由:一组数无论如何添加符号,它们的和的奇偶性是不变的,因 为1+2+3+10=55,55是一个奇数,所以无论符号“+”“-”怎么添加, 其和不可能为偶数.,解析 (1)4.6-3=4-(-3)=7. (2)-6.25+ -7.9=(-7)+(-1)-7 =(-7)+(-1)+(-7)=-15.,若规定用x表示不超过x的最大的整数,如5.34=5,-1.24=-2. 计算:(1)4.6-3;(2)-6.25+ -7.9.,
