1、第四章 几何图形初步,初中数学（人教版）七年级 上册,知识点一 角的认识 1.角的认识及分类,例1 下列说法正确的有 ( ) 两条射线组成的图形是角;角的大小与边的长短有关;角的两边 可以画得一样长,也可以一长一短;角的两边是两条射线;因为平角 的两边成一条直线,所以一条直线可以看成一个平角;周角是一条射 线. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,解析 是错的,若两条射线无公共端点,则构成的图形不是角;是错 的,角的两边是两条射线,没有长短之分;是正确的;是错的,直线 和平角是两种不同的图形,平角有顶点和两边,它与直线不同;是错的, 周角是由顶点和两条边构成的,而射线不是,故选A.,答案
2、A,2.角的表示方法 角的几何符号为“”,角的表示方法有以下几种:,注意 角的符号应书写标准,“”不可与“”混淆.,例2 如图4-3-1-1,写出全部符合条件的角.图4-3-1-1 (1)能用一个大写字母表示的角; (2)能用一个数字表示的角,并将这些角用字母表示出来; (3)以D为顶点且小于平角的角; (4)以A为顶点且小于平角的角.,分析 当一个顶点处只有一个角时,这个角可以用顶点处的一个大写字 母表示;当一个顶点处有多个角时,则这个角可以用三个大写字母表示, 并且将顶点处的字母写在中间.,解析 (1)B. (2)1可用ABD(ABC,ABE,B)表示;2可用CAD表示. (3)ADC和A
3、DB. (4)BAD,DAC(2)和BAC.,知识点二 角的度量与换算,解析 (1)2.45=2+0.45=2+0.4560=227. (2)332436=33+24+36 =33+24+0.6=33+24.6 =33+0. 41=33.41. 方法归纳 (1)把高级单位转化为低级单位要乘进率;(2)把低级单位转 化为高级单位要除以进率;(3)转化时必须逐级进行,“越级”转化容易 出错.,例3 (1)把2.45换算成用度、分、秒表示的形式; (2)把332436换算成用度表示的形式.,题型一 探究角的个数 例1 如图4-3-1-2所示,在AOB的内部有4条射线,则图中角的个数为 ( )图4-3
4、-1-2 A.10 B.15 C.5 D.20,解析 解法一:解法二:以OA为边的角有5个,以OC为边的角有5个,以OB为边的角 有5个,并且每个角都数了2次,故图中有 =15(个)角,故选B.,答案 B,点拨 数角的个数必须不重不漏,从一点引出n(n2)条射线组成的角 有 个.,题型二 钟表中的角度 例2 观察常用时钟,回答下列问题: (1)早晨7时整,时针和分针构成多少度的角? (2)时针多长时间转一圈?它转动的速度是每小时多少度? (3)从7:00到7:40,分针转动了多少度?,解析 (1)因为钟表的表面有12个大格,每个大格对应的夹角均为360 12=30,7时整,时针和分针之间相差5
5、个大格, 所以7时整,时针与分针的夹角是530=150. (2)时针12个小时转一圈,36012=30, 所以它转动的速度是每小时30. (3)从7:00到7:40分针转动了8个大格, 所以分针转动了830=240.,点拨 解决时钟时针、分针转动角度的问题时,要注意时针转动一大 格,转过角度即周角的十二分之一,即30.每一个大格之间又分为5个小 格,即分针转动一个小格,转过角度为6.注意时针与分针转动角度的速 度比值是112,时针转动30,分针转动360.分针与秒针转动角度的速 度之比是160,分针转动6(一个小格),秒针转动360(一周).,知识点一 角的认识 1.下列说法错误的有 ( )
6、有公共点的两条射线组成的图形是角;从一点引出的两条射线所组 成的图形是角;角的大小与两边所画的长度有关;线段绕着一个端 点旋转也可以形成角. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 公共点与公共端点不同,故错误;角的大小不因两边所画的 长短而改变,故错误;角的两边是射线,故错误.由角的定义可知正确.,2.如图4-3-1-1所示,表示1的其他方法中,不正确的是 ( )图4-3-1-1 A.ACB B.C C.BCA D.ACD,答案 B 由题图知,ACB,BCA与ACD所表示的角都是1;因为 以C为顶点的角不止一个,所以选项B不正确.,3.(2018江西临川一中月考)下列四个图形中,能
7、用、AOB、O三 种方法表示同一个角的是 ( ),答案 C C选项中,以O为顶点的角只有一个,可以用O来表示,且 、AOB、O为同一个角.,4.如图4-3-1-2,下列说法:1就是ABC;2就是DBC;以B为 顶点的角有3个,它们是1,2,ABC;ADB也可以表示成D; BCD也可以表示成ACB,还可以表示成C,其中说法正确的有 ( )图4-3-1-2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 B 1就是ABD,故说法错误;2就是DBC,故说法 正确;以B为顶点的角有3个,它们是1,2,ABC,故说法正确; 以D为顶点的角不止一个,故ADB不能用D表示,故说法错误; BCD也可以表示成AC
8、B,还可以表示成C,故说法正确,故选B.,5.如图4-3-1-3,点O是直线AB上一点,图中小于180的角共有 ( )图4-3-1-3 A.7个 B.9个 C.8个 D.10个,答案 B 题图中小于180的角有AOC,AOD,AOE,COD, COE,COB,DOE,DOB,EOB,共9个.,6.如图4-3-1-4,在射线OB上取一点C,过点C作直线MN交OA于点D,则图 中小于平角的角共有 个.图4-3-1-4,答案 9,解析 符合条件的角中,以点C为顶点的角有BCD,BCM,MCO, DCO;以点D为顶点的角有ADN,MDA,MDO,NDO;以点O为顶 点的角有O.故图中符合条件的角共有9
9、个.,7.(1)用10倍放大镜看30的角,你观察到的角是 ; (2)用10倍放大镜看50的角,60的角,你观察到的角是 , ; (3)由(1),(2),你得到的结论是 .,答案 (1)30 (2)50;60 (3)在放大镜下角的大小不变,解析 因为角的大小只与角的两边张开的程度有关,所以角在放大镜下 大小不变.,知识点二 角的度量与换算 8.一块手表早上8点整的表针的位置如图4-3-1-5,那么分针与时针所组 成的小于平角的角的度数是 ( )图4-3-1-5 A.60 B.80 C.120 D.150,答案 C 由题图知,表盘被分成12个大格,每格对应的夹角为30.早上 8点,分针与时针所组成
10、的小于平角的角的度数为304=120.故选C.,9.下列各式中,正确的角度互化是 ( ) A.63.5=6350 B.231236=23.48 C.181818=18.33 D.22.25=2215,答案 D 63.5=63+0.560=6330,故A选项错误;231236=23+ 12+ 36=23.21,故B选项错误;181818=18+ 18+18=18.305,故C选项错误;22.25=22+0.2560=2215,故D选 项正确.,10.将下列各角用度、分、秒表示出来. (1)32.41;(2)75.5;(3) .,解析 (1)32.41=32+0.4160=32+24.6=32+2
11、4+0.660=322436. (2)75.5=75+0.560=7530. (3) = 60=5.,11.用度表示下列各角. (1)3736;(2)516;(3)152436.,解析 (1)3736=37+ =37+0.6=37+ =37+0.01=37.01. (2)516=51+ =51+0.1=51.1. (3)152436=1524+ =1524+0.6=15+24.6=15+ =15+0.41 =15.41.,1.下列说法正确的是 ( ) A.一条直线便是一个平角 B.由两条射线组成的图形叫做角 C.周角就是一条射线 D.由一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角,答案 D 有公共端点
12、的两条射线组成的图形叫做角,选项A错;说直线 是一个平角是错误的,但一个平角可以看成是一条直线,选项B错;一条 射线不是一个周角,而一个周角却可以看成一条射线,选项C错;选项D正 确.,2.下列对角的表示方法理解错误的是 ( ) A.角可用三个大写字母表示,表示顶点的字母写在中间 B.任何角都可以用一个大写字母表示 C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字来表示 D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示,答案 B 同一顶点处只有一个角时,才能用一个大写字母表示.,3.下午2点30分时(如图),时钟的分针与时针之间的夹角的度数为 ( )A.90 B.105 C.120 D.115,答案
13、 B 将钟面分成12等份,每1份为30,所以下午2点30分时,时针与 分针之间的夹角为330+302=105.,4.下列说法:由两条射线组成的图形叫做角;角的大小与边的长短 无关,只与两条边张开的幅度有关;角的两边是两条射线;把一个角 放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数也扩大10倍.其中,正确说 法的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 中的两条射线应有公共端点,故错误;正确;正确;放 大镜下观看角,角的度数不变,故错误.故选B.,5.钟面上,下列时刻分针与时针构成的角是直角的是 ( ) A.12点15分 B.9点整 C.3点20分 D.6点45分,答案 B 9点整
14、时,时针指着9,分针指着12,两数之间有3个大格,是30 3=90,所以钟面上是9点整的时候,时针与分针的夹角是90,即直角.,6.如图所示,有五条射线与一条直线分别交于A,B,C,D,E五点. (1)请用字母表示出以O为顶点,OC为边的所有的角; (2)如果B是线段AC的中点.D是线段CE的中点,AB=2,AE=10,求线段BD 的长.,解析 (1)AOC,BOC,COD,COE. (2)因为B是线段AC的中点,所以AB=BC=2,所以AC=4, 所以CE=AE-AC=10-4=6. 因为D是线段CE的中点,所以CD=DE=3, 所以BD=BC+CD=2+3=5.,1.如图4-3-1-6所示
15、,下列说法错误的是 ( )图4-3-1-6 A.DAO就是DAC B.COB就是O C.2就是OBC D.CDB就是1,答案 B A.DAO与DAC的顶点相同,角的两边也相同,则DAO 就是DAC,正确; B.因为以O为顶点的角不止一个,所以说COB就是O错误; C.2与OBC的顶点相同,角的两边也相同,则2就是OBC,正确; D.CDB与1的顶点相同,角的两边也相同,则CDB就是1,正确.故 选B.,2.(1) 直角= ; (2)45= 平角= 周角; (3)63018= ; (4)37.145= .,答案 (1)60 (2) ; (3)6.505 (4)37;8;42,3.如图4-3-1-
16、7:图4-3-1-7 (1)图中可以用一个大写字母表示的角有 ; (2)以A为顶点的角有 ; (3)图中共有 个角(包括平角),它们分别是 .,答案 (1)B、C (2)BAD、DAC、BAC (3)8;B、C、BAD、DAC、BAC、ADB、ADC、BDC,4.同学们,闹钟都见过吧!它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑,可你是否 知道时针每分钟走多少度?分针每分钟走多少度?当你弄清楚这个问题 后,你能解决很多关于闹钟的问题. (1)九点整时,时针与分针所夹的角是 度; (2)1点20分时,时针与分针所夹的角是多少度? (3)从1点15分到1点35分,分针与时针各转过了多少度?,解析 (1)90.
17、(2)易知,时针每分钟走0.5度,分针每分钟走6度,1点20分时,时针与分针 所夹的角是206-301-0.520=80(度). (3)易知分针转过了6(35-15)=120(度),时针转过了0.5(35-15)=10(度).,1.如图,图中画有弧线的角的表示方法中:AOC,BOC,O, 1,AOB,COA,正确的有 ( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 B 以O为顶点的角有3个,故错,而表示的不是指定的角.,2.如图所示,角的表示方法正确的有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 表示角时需要注意:用三个大写字母表示时,表示角的顶点 的字母要写在中间;当有多个
18、角共用一个顶点时,不能只用该顶点对 应的大写字母表示其中的某一个角.,3.已知、是两个钝角,计算 (+)的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出 了四种不同的答案,分别为24、48、76、86,其中只有一个答案是正 确的,则正确的答案是 ( ) A.86 B.76 C.48 D.24,答案 C 因为、是两个钝角, 所以90180,90180. 所以180+360, 所以30 (+)60.故选C.,4.在整点时,钟表表面上的时针与分针的夹角会出现5种度数相等的情 况,它们的度数分别是 .,答案 30,60,90,120,150,解析 1点与11点时针与分针的夹角为30;2点与10点时针与分针的夹 角为6
19、0;3点与9点时针与分针的夹角为90;4点与8点时针与分针的夹 角为120;5点与7点时针与分针的夹角为150.,5.请按要求进行换算: (1)化成度、分、秒的形式. 45.6;78.43; (2)用度表示: 5718;1510.,解析 (1)因为0.6=0.660=36, 所以45.6=4536. 因为0.43=0.4360=25.8, 0.8=0.860=48, 所以78.43=782548. (2)因为18= =0.3, 所以5718=57.3. 因为10= 0.17, 所以151015.17.,答案 D A.1与AOB表示同一个角,正确,故本选项不符合题意; B.表示的是BOC,正确,
20、故本选项不符合题意; C.图中共有三个角:AOB,AOC,BOC,正确,故本选项不符合题意; D.AOC不能用O表示,错误,故本选项符合.故选D.,2.(2017河北邯郸一中期末,6,)下列计算错误的是 ( ) A.1.9=6 840 B.90=1.5 C.32.15=3215 D.2 700=45,答案 C 1.9=114=6 840,故A正确;90=1.5,故B正确;32.15=32+0.15 60=329,故C错误;2 700=45,故D正确.故选C.,3.(2016江西吉安月考,5,)如图4-3-1-9,O在直线AE上,图中的角(包 括平角)共有 ( )图4-3-1-9 A.4个 B.
21、8个 C.9个 D.10个,答案 D 题图中的角有:AOB、COB、COD、EOD、 AOC、DOB、COE、AOD、BOE、AOE,共10个.故选D.,二、填空题 4.(2017贵州贵阳一中月考,12,)如图4-3-1-10所示,从点O出发分 别作射线OA、OB、OC,则这三条射线可形成 个角,其中AOB 用数字表示是 ,2用三个大写字母表示是 .图4-3-1-10,答案 3;1;BOC,解析 用三个大写字母表示角时,要将表示角的顶点的大写字母放在中 间位置.,5. (2018河北正定中学期中,15,)在2:30时,时钟上的时针和分针之 间的夹角为 .,答案 105,解析 在2:30时,时钟
22、上时针和分针之间的夹角为(6-3)30+ 30=90+ 15=105.,1.(2018江西景德镇一中月考,2,)如图,下列表示角的方法中,不正 确的是 ( )A.A B.E C. D.1,答案 B 图中的角有A、1、AEC,即表示方法不正确的 有E,故选B.,2.(2018山东平邑蒙阳新星学校月考,3,)将21.54用度、分、秒表 示为 ( ) A.2154 B.215024 C.213240 D.213224,答案 D 21.54=2132.4=213224.故选D.,3.(2018四川眉山仁寿松峰学校月考,6,)若P=2512,Q=25.12, R=25.2,则下列结论正确的是 ( ) A
23、.P=Q B.P=R C.Q=R D.P=Q=R,答案 B P=2512=25.2,R=25.2,故选B.,4.(2018黑龙江大庆五十一中月考,9,)如图,ABC可以表示成 或 ,可以表示成 ,2可以表示成 .,答案 1;B;ACB;CAD,解析 ABC可以表示成1或B,可以表示成ACB,2可以表 示成CAD.,5.(2017江苏徐州一中月考,23,) 观察如图所示的图形,并回答: (1)以A为顶点的角有多少个?把它们分别表示出来; (2)一条边经过A点(A非顶点)的角有多少个?并把它们分别表示出来,其 中能用一个大写字母表示的角有多少个?并分别表示出来; (3)图中能用一个大写字母表示的角
24、有多少个?并把它们分别表示出来.,解析 (1)以A为顶点的角有6个,分别是 BAD,BAE,BAC,DAE,DAC,EAC. (2)一条边经过A点(A非顶点)的角有6个,分别是B,BDA,ADE, AED,AEC,C;其中能用一个大写字母表示的角有2个,分别是B,C. (3)图中能用一个大写字母表示的角有2个,分别是B,C.,一、选择题 1.(2017河北中考,3,)用量角器测量MON的度数,下列操作正确 的是 ( ),答案 C 用量角器测量一个角的度数时,应将量角器的圆心对准所量 角的顶点,量角器的零刻度线与角的一边重合,那么角的另一边所对应 的刻度就是角的度数,故选C.,2.(2016广西
25、百色中考,8,)下列关系式正确的是 ( ) A.35.5=355 B.35.5=3550 C.35.5355,答案 D 因为35.5=35+0.5,又0.5=30,所以35.5=3530,所以选 项A、B、C错误,选项D正确,故选D.,二、填空题 3.(2013浙江义乌中考,11,)把角度化为度、分的形式,则20.5=20 .,答案 30,解析 因为1=60,所以0.5=600.5=30,故答案为30.,1.(2016北京中考,1,)如图所示,用量角器度量AOB,可以读出 AOB的度数为 ( )A.45 B.55 C.125 D.135,答案 B 由题图可知,AOB=55.,2.(2016四川
26、雅安中考,13,)1.45= .,答案 87,解析 1=60,1.45=1.4560=87,故答案为87.,3.(2013浙江湖州中考,12,)把1530化成度的形式,则1530= 度.,答案 15.5,解析 1530=15+30 =15+0.5=15.5.,1.如图4-3-1-11所示.图4-3-1-11 (1)在AOB内引一条射线时,图4-3-1-11中共有 个角; (2)在AOB内引两条射线时,图4-3-1-11中共有 个角;,(3)在AOB内引三条射线时,图4-3-1-11中共有 个角; (4)在AOB内引n条射线(n为正整数)时,共有 个角.,答案 (1)3 (2)6 (3)10 (
27、4),2.某火车站的钟楼上装有一个电子报时钟,在钟面的边界上,每一分钟的 刻度处都装有一只小彩灯. (1)晚上9时30分,时针与分针所夹的角内有多少只小彩灯(包括分针处的 彩灯)? (2)晚上9时35分20秒,时针与分针所夹的角内有多少只小彩灯?,解析 (1)晚上9时30分,时针与分针之间有 45+ 5 -30=17.5个小格, 中间有17个分钟刻度,而每一个分钟刻度处装有一只小彩灯,连同分针 处的彩灯,晚上9时30分,时针与分针所夹的角内有18只小彩灯. (2)晚上9时35分20秒,时针与分针之间有 45+35 605 -35 =12 个小格,中间有12个分钟刻度,而每一个分钟刻度处装有一只
28、小彩灯,所 以晚上9时35分20秒时,时针与分针所夹的角内有12只小彩灯.,3.雨后初晴,小方同几个伙伴八点多上山采蘑菇,临出门他一看钟表,时 针与分针正好是重合的,下午两点多他回到家里,一进门发现钟表的时 针与分针方向相反,正好成一条直线,问:小方采蘑菇是几点去的?几点回 到家的?共用了多少时间?,解析 易知分针每转过1,时针转过 ,设8点x分时,时针与分针重合, 则x- =40,解得x=43 . 即8点43 分时出门. 设2点y分时,时针与分针方向相反, 则y- =10+30, 解得y=43 . 即2点43 分时到家. 从8点43 分到14点43 分,经过了6个小时, 故共用了6个小时.,
29、1.(1)如图所示,钟面上时针与分针所成的角是多少度? (2)每经过1小时,时针转过多少度?每经过1分钟,分针转过多少度? (3)八点半时,时针和分针的夹角是多少度?,解析 (1)题图中,钟面上时针与分针所成的角是120. (2)每经过1小时,时针转过30.每经过1分钟,分针转过6. (3)八点半时,时针和分针的夹角是75.,2.如图,有公共端点的4条不同射线可组成多少个角?若有10条这样的射 线呢?有n(n为不小于2的正整数)条这样的射线呢? 提示:1+2+3+n=,解析 题图中的角有AOB,AOC,AOD,BOC,BOD,COD,共3 +2+1=6个角,故有公共端点的4条不同射线可组成6个角. 当有10条这样的射线时,可组成9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个角. 当有n条这样的射线时,可组成(n-1)+(n-2)+3+2+1= 个角.,3.下图是一只蜗牛在地面上爬行时留下来的痕迹,若蜗牛从P点出发按 顺时针方向沿图中弧线爬行,最后又回到P点,则该蜗牛共转过的角度是 多少?,解析 由P点开始转一圈回到P点与由A点开始转一圈回到A点所转角 度一样,而由A点转到C点转了180,由C点转到D点转了180,由D点转到 E点转了180,由E点转到F点转了180,由F点转到B点转了180,由B点转 到A点转了180,共转了6180=1 080. 答:该蜗牛共转过了1 080.,
