1、12.2.1 椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆自 主 预 习探 新 知教材整理 椭圆的标准方程阅读教材 P30P 31思考上面内容，完成下列问题焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1( a b0)x2a2 y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2图象焦点坐标 ( c,0)，( c,0) (0， c)，(0， c)a， b， c 的关系 a2 b2 c2判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)椭圆的标准方程中， “标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点
2、对称( )(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备 a2 b2 c2.( )(3)方程 1( m0， n0)是椭圆的方程( )x2m y2n(4)椭圆 1 的焦点在 x 轴上( )x24 y26(5)设椭圆 y21 的焦点为 F1， F2， P 是椭圆上一点，则 PF1 PF22.( )x24(6)椭圆 1 的焦点坐标是(2,0)( )x212 y28解析 (1)(2)明显正确；(3) 1 中，当 m n0 时方程表示圆，故错误；x2m y2n(4)方程 y2的分母大于 x2的分母，故椭圆的焦点在 y 轴上，故错误；(5)方程 y21 中， a2，所以 PF1 PF24.所以错误
3、；x24(6)因为 a2 b21284，所以 c2，即焦点坐标为(2，0)，故正确答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2合 作 探 究攻 重 难椭圆标准方程的求法求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的焦距为 2，且过点 P( ，0)；5(2)两个焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，并且经过点 P . (32， 52)【导学号：71392056】精彩点拨 求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及 a， b 的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在 x 轴上还是 y 轴上分类讨论自主解答 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设其标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2 c1，点
4、 P( ，0)在椭圆上，5Error! 解得Error!故椭圆的标准方程为 1.x25 y24若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2则有Error! 解得Error! 故椭圆的标准方程为 1.y26 x25故所求椭圆的方程是 1 或 1.x25 y24 y26 x25(2)法一：椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知2a 2 ，10 a .又 c2， b2 a2 c26，10所求椭圆的标准方程为 1.y210 x26法二：设所求椭圆的标准方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2依题意得解得Error!
5、所求椭圆的标准方程为 1.y210 x26法三：设椭圆的标准方程为 1( a2)，y2a2 x2a2 43点 在椭圆上， 1，(32， 52) 254a2 94a2 4整理得 2a425 a2500，解得 a2 (舍)， a210，52所求椭圆的标准方程为 1.y210 x26名师指津 用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为再练一题1求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点 A(0,2)， B .(12， 3)解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 1( a b0)
6、，因x2a2 y2b2为椭圆经过点(5,0)，所以 1， a225，又 c4， b2 a2 c225169，所以椭圆方25a2程为 1.x225 y29(2)法一：若椭圆的焦点在 x 轴上，设其标准方程为 1( a b0)，把 A， Bx2a2 y2b2两点坐标代入得Error!解得Error!(舍去)若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为 1( a b0)把 A， B 两点的坐标代y2a2 x2b2入得Error! 解得 Error!故椭圆的标准方程为 x21.y244综上，所求椭圆的标准方程为 x21.y24法二：设所求椭圆方程为 mx2 ny21( m0， n0 且 m n)，把 A、
7、 B 两点坐标代入得Error!解得Error! 故所求椭圆的标准方程为 x21.y24椭圆标准方程的识别已知方程 x2sin y2cos 1(0 2) 表示椭圆(1)若椭圆的焦点在 x 轴上，求 的取值范围；(2)若椭圆的焦点在 y 轴上，求 的取值范围. 【导学号：71392057】精彩点拨 (1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程(2)对于椭圆方程 1( m0， n0， m n)可由 m， n 的大小确定椭圆焦点的位置，x2m y2n列出三角不等式后求 的范围自主解答 将椭圆方程 x2sin y2cos 1(0 2)化为标准形式为 1(0 2)x21sin y21 cos (1)若方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 0，即Error!1sin 1cos 所以 0，即Error!1cos 1sin 所以 0， n0， m n)因为点 和点 都在椭圆上，(63， 3) (223， 1)所以即Error!解得Error!所以所求的椭圆的标准方程为 x2 1.y29
