1、12.3.1 双曲线的标准方程学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知教材整理 双曲线的标准方程阅读教材 P39P 40例 1 以上部分，完成下列问题标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形焦点坐标 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)a， b， c 之间的关系 c2 a2 b2判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)
2、在双曲线标准方程 1 中， a0， b0 且 a b.( )x2a2 y2b2(2)在双曲线标准方程中， a， b 和焦点 F2(c,0)满足 a2 b2 c2.( )(3)双曲线 y2 x21 的焦点坐标在 y 轴上( )(4)在双曲线 1 中，焦点坐标为(5,0)( )y29 x24解析 (1)方程 1 中， a0， b0.x2a2 y2b2a b 时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有 a2 b2 c2.故不正确(3)根据标准方程特点，正确(4)在 1 中， c ，所以焦点坐标为(0， )y29 x24 9 4 13 13答案 (1) (2) (3) (4)合 作 探 究
3、攻 重 难求双曲线标准方程2根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点 P ， Q ；(3，154) ( 163， 5)(2)c ，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上. 6【导学号：71392073】精彩点拨 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于 a， b， c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0， b0)，x2a2 y2b2点 P 和 Q 在双曲线上，(3，154) ( 163， 5)Error!解得Error! (舍去)若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为 1( a0， b0)，y2a2 x2b2将 P， Q 两点坐标代入
4、可得Error!解得Error!双曲线的标准方程为 1.y29 x216法二：设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0， b0)x2a2 y2b2依题设有Error!解得Error!所求双曲线的标准方程为 y21.x25法二：焦点在 x 轴上， c ，6设所求双曲线方程为 1(其中 05.所以实数 m 的取值范围是(5，)名师指津 方程表示双曲线的条件及参数范围的求法(1)对于方程 1，当 mn0 时表示双曲线.进一步，当 m0， n0 时表示焦点x2m y2n在 x 轴上的双曲线；当 m0， n0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线.(2)对于方程 1，则当 mn0 时表示双曲线.且当 m0，
5、 n0 时表示焦点在 xx2m y2n轴上的双曲线；当 m0， n0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.再练一题2讨论 1 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？x225 k y29 k解 由于 k9， k25，则 k 的取值范围为 k25，分别进行讨论(1)当 k0,9 k0，所给方程表示椭圆，此时，a225 k， b29 k， a2 b216，这些椭圆有共同的焦点(4,0)，(4,0)(2)当 90,9 k25 时，所给方程没有轨迹.双曲线
6、中的焦点三角形5探究问题1双曲线上一点 M 与双曲线的两个焦点 F1， F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1， MF2， F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？提示 焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF1 MF22 a；(2)S MF1MF2sin F1MF2； F1MF2 12(3)F1F MF MF 2 MF1MF2cos F1MF2.2 21 22在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着 F1PF2的变化， F1PF2的面积将怎样变化？提示 由公式 S PF1PF2sin F1PF2， PF1F2 12cos F1PF2PF21 PF2 F1F22P
7、F1PF2(PF1 PF2)2 F1F2 2PF1PF22PF1PF24a2 4c2 2PF1PF22PF1PF2 4b2 2PF1PF22PF1PF2 1， 2b2PF1PF2 PF1PF2 .2b21 cos F1PF2从而得 S ( F1PF2) PF1F2b2tan 20 ，0 ， 2 2在 内， 是单调递减的，(0， 2) 1tan 2当 增大时， S 减小 F1MF2b2tan 2设 F1， F2为双曲线 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足x24 y24 F1PF290，求 F1PF2的周长及 F1PF2的面积. 6【导学号：71392075】精彩点拨 由双曲线定义、勾股定理
8、建立方程组，求出 PF1与 PF2的长，或利用整体代入法先求 PF1 PF2与 PF1PF2，再求周长与面积自主解答 法一：点 P 在双曲线 1 上，x24 y24| PF1 PF2|4， F1F24 .2又 F1PF290， F1PF2为直角三角形， PF PF F1F 32.21 2 2列方程组Error!解得Error! 或Error! F1PF2的周长为 PF1 PF2 F1F24 4 ，3 2 F1PF2的面积为 PF1PF2 (2 2)(2 2)4.12 12 3 3法二：同解法一得|PF1 PF2|4， F1F24 ， PF PF 32.2 21 2(| PF1 PF2|)2 P
9、F PF 2 PF1PF2，21 2即 16322 PF1PF2， PF1PF28.( PF1 PF2)2 PF PF 2 PF1PF2321648，21 2 PF1 PF24 .3 F1PF2的周长为 PF1 PF2 F1F24 4 ，3 2 F1PF2的面积为 PF1PF2 84.12 12名师指津 在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合 PF1 PF22 a，运用平方的方法，建立它与PF1PF2的联系，体现了数学中的一种整体思想.再练一题3已知 F1， F2为双曲线 C： x2 y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上， PF12
10、PF2，则cos F1PF2_.解析 由双曲线方程得 a ， b ，则 c 2.因为 PF1 PF22 ，且2 2 a2 b2 2PF12 PF2，所以 PF14 ， PF22 ，而 F1F24，在 PF1F2中，由余弦定理得2 2cos F1PF2 .PF21 PF2 F1F22PF1PF2 34答案 34当 堂 达 标固 双 基71若 kR，方程 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是_x2k 3 y2k 2解析 据题意知( k3)( k2)0，解得3 k2.答案 (3，2)2平面内有两个定点 F1(5,0)和 F2(5,0)，动点 P 满足| PF1 PF2|6，则动点 P 的轨迹方程是_
11、解析 由条件可知，双曲线焦点在 x 轴上，且 a3， c5，则 b2 c2 a216，所以动点 P 的轨迹方程为 1.x29 y216答案 1x29 y2163已知椭圆 1 与双曲线 1 有相同的焦点，则实数 a_.x24 y2a2 x2a y22解析 由条件可得 4 a2 a2，解得 a1.答案 14双曲线 8kx2 ky28 的一个焦点为(0,3)，则实数 k 的值为_解析 方程可化为 1.由条件可知 9，解得 k1.y2 8kx2 1k 8k 1k答案 15根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)以椭圆 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；x28 y25(2)与双曲线 1 有相同的焦点，且经过点(3 ，2). x216 y24 2【导学号：71392076】解 (1)依题意，双曲线的焦点在 x 轴上且 a ， c2 ，3 2 b2 c2 a25.双曲线的标准方程为 1.x23 y25(2)法一： c216420， c2 ，5 F(2 ，0)，52 a| |(3r(2) 2r(5)2 4 (3r(2) 2r(5)2 44 ， a212，3 b2 c2 a28，双曲线方程为 1.x212 y288法二：设所求双曲线方程为 1(4 16)x216 y24 双曲线过点(3 ，2)，2 1，1816 44 解得 4 或 14(舍去)所求双曲线方程为 1.x212 y28
