1、12.3.2 双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别(易混点)自 主 预 习探 新 知教材整理 1 双曲线的简单几何性质阅读教材 P43P 46例 1 以上部分，完成下列问题标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形焦点 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)焦距 2c范围 x a 或 x a， yR y a 或 y a， xR对称轴 x 轴， y 轴对称中心 原点顶点 A1( a,0)， A2(a
2、,0) A1(0， a)， A2(0， a)轴实轴：线段 A1A2，长：2 a；虚轴：线段 B1B2，长：2 b；实半轴长： a，虚半轴长： b离心率 e (1，)ca性质渐近线 y xba y xab判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形( )(2)在双曲线中，实轴长，虚轴长分别为 a， b.( )(3)双曲线的渐近线方程为 y x.( )ba(4)离心率 e 越大，其渐近线斜率的绝对值越大( )(5)在双曲线 y21 中， x 的取值范围是(，22，)( )x24解析 (1)正确(2)错误因为实轴长为 2a，虚轴长为 2b.2(3)错误当焦点在 y
3、轴上时，渐近线是 y x.ab(4)错误 e ， e 越大，只能说明 的绝对值越大ba(5)正确答案 (1) (2) (3) (4) (5)教材整理 2 等轴双曲线阅读教材 P45倒数第八行以上内容，完成下列问题1实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线2性质：(1)等轴双曲线的离心率 e ；2(2)等轴双曲线的渐近线方程为 y x，它们互相垂直填空：(1)双曲线 x2 y22 的渐近线为_(2)过点(2,3)的等轴双曲线方程为_(3)等轴双曲线 x2 y24 的焦点坐标为_解析 (1) x2 y22 为等轴双曲线，则渐近线方程为 y x，即 xy0.(2)设等轴双曲线方程为 x2 y2 ( 0)
4、，把(2,3)代入可得 2 23 25，方程为 x2 y25，即 1.y25 x25(3)方程可化为 1，x24 y24 c2 ，焦点为(2 ，0)2 2答案 (1) xy0 (2) 1 (3)(2 ，0)y25 x25 2合 作 探 究攻 重 难由双曲线的方程求其几何性质求双曲线 9y24 x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图. 【导学号：71392081】精彩点拨 本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量 a， b， c 即可得解，注意确定焦点所在坐标轴自主解答 将 9y24 x236 变形为 1，x29 y24
5、3即 1，x232 y222所以 a3， b2， c ，13因此顶点坐标 A1(3,0)， A2(3,0)，焦点坐标 F1( ，0)， F2( ，0)，13 13实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4，离心率 e ，ca 133渐近线方程为 y x x.ba 23作草图，如图所示：名师指津 用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为：(1)将双曲线方程化为标准方程形式；(2)判断焦点的位置；(3)写出 a2与 b2的值；(4)写出双曲线的几何性质.再练一题1求双曲线 x23 y2120 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率解 将方程 x23 y2120 化为标准方程为 1，y24 x212 a
6、24， b212， a2， b2 ， c 4，3 a2 b2 16双曲线的实轴长 2a4，虚轴长 2b4 ，焦点坐标为 F1(0，4)， F2(0,4)，顶点3坐标为 A1(0，2)， A2(0,2)，渐近线方程为 y x，离心率 e2.33求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离为 6，渐近线方程为 y x；32(2)与双曲线 x22 y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)精彩点拨 利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解4自主解答 (1)设以直线 y x 为渐近线的双曲线方程为 ( 0)，32 x24 y29当 0 时， a24 ，
7、2 a2 6 .494当 0， b0)，则 . x2a2 y2b2 ba 12 A(2，3)在双曲线上， 1. 4a2 9b2由联立，无解5若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，则 .y2a2 x2b2 ab 12 A(2，3)在双曲线上， 1. 9a2 4b2由联立，解得 a28， b232.所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232法二：由双曲线的渐近线方程为 y x，可设双曲线方程为 y2 ( 0)12 x222 A(2，3)在双曲线上， (3) 2 ，即 8.2222所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232求双曲线的离心率及其取值范围(1)设 ABC
8、 是等腰三角形， ABC120，则以 A， B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为_. 【导学号：71392082】(2)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围精彩点拨 (1)根据图形并由双曲线的定义确定 a 与 c 的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有 tan 60.ba自主解答 (1)由题意 2c AB BC， AC22 csin 602 c，3由双曲线的定义，有 2a A
9、C BC2 c2 ca( 1) c，3 3 e .ca 13 1 1 32答案 1 32(2)因为双曲线渐近线的斜率为 k ，ba直线的斜率为 ktan 60 ，故有 ，3ba 36所以 e 2，ca a2 b2a2 1 3所以所求离心率的取值范围是2，)名师指津 1求双曲线的离心率就是求 a 和 c 的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求 a， b， c 三者中两者的关系，进而利用 c2 a2 b2进行转化2求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成(2)通过判别式 0 来构造(3)利用点在双曲线内部形成不等关系(4)
10、利用解析式的特征，如 ca，或 cb.再练一题3已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点， PQ 是经过 F1且垂直于 xx2a2 y2b2轴的双曲线的弦，如果 PF2Q90，求双曲线的离心率解 设 F1(c,0)，将 x c 代入双曲线的方程得 1，那么 y .c2a2 y2b2 b2a由 PF2 QF2， PF2Q90，知 PF1 F1F2， 2 c， b22 ac，b2a c22 ac a20， 2 10，(ca)2 ca即 e22 e10. e1 或 e1 (舍去)2 2所以所求双曲线的离心率为 1 .2直线与双曲线的位置关系探究问题1直线与双曲线有几种位置关系？交点
11、个数怎样？直线与双曲线的交点个数能否用判别式来判断？提示 三种位置关系：相交两个或一个交点；相切一个交点；相离没有交点当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断2过双曲线上一点存在几条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点？解决这种问题应注意什么？提示 过双曲线上一点存在三条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点，一条是切线，两条是分别与渐近线平行的直线解决这种问题时，应注意直线与渐近线平行的7情况3在双曲线中，直线与双曲线相交会有几种情况，如何求弦长？提示 直线与双曲线相交时， 两交点可能在两支上，也可能在同一支上弦长公式为 P1P2 |x1 x2|或 |y1 y2|.
12、1 k21 1k2设双曲线 C： y21( a0)与直线 l： x y1 相交于两个不同的点 A， B，x2a2求双曲线 C 的离心率的取值范围. 【导学号：71392083】精彩点拨 把双曲线方程和直线方程联立，得到一元二次方程，利用 0 可得 a的取值范围，进而可求离心率的取值范围自主解答 由 C 与 l 相交于两个不同点，故知方程组Error!有两组不同的实根，消去 y 并整理得(1 a2)x22 a2x2 a20.所以Error! 解得 0 且 e .62 2即离心率 e 的取值范围为 ( ，)(62， 2) 2名师指津 1把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，
13、在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式(1) 0 时，直线与双曲线有两个不同的交点；(2) 0 时，直线与双曲线只有一个公共点；(3) 0 时，直线与双曲线没有公共点当二次项系数为 0 时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点2直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件3直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，可用直线的斜率与渐近线斜率比较对于实轴在 x 轴上的双曲线，若| k| ，则交在同一支上；若| k|0， b0)的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率x2a2 y2b2 43为_解析 因为渐近线方程为 y x，所以 ，43 ba 4
14、3所以离心率 e .ca 53答案 533若双曲线的渐近线方程为 y3 x，它的一个焦点是( ，0)，则双曲线的方程是10_解析 双曲线的焦点在 x 轴上，则 c ， 3.10ba又 a2 b2 c2，解得 a21， b29，方程为 x2 1.y29答案 x2 1y2994直线 x y 0 被双曲线 x2 y21 截得的弦 AB 的长为_. 3 3【导学号：71392084】解析 直线的斜率为 ，由Error! 得 x23 x20，3x1 x23， x1x22.所以 AB 2.(1 3)( 3)2 42答案 25求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为 ；53(2)两顶点间的距离是 6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分解 (1)设所求双曲线的标准方程为 1，由题意知 2b8， e ，从而x2a2 y2b2 ca 53b4， c a，代入 c2 a2 b2，得 a29，故双曲线的标准方程为 1.53 x29 y216(2)由两顶点间的距离是 6，得 2a6，即 a3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得 2c4 a12，即 c6，于是 b2 c2 a26 23 227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x29 y227 y29 x227
