1、12.4.2 抛物线的几何性质学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题(难点)3.直线与抛物线的公共点问题(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理 1 抛物线的几何性质阅读教材 P52表格的部分，完成下列问题类型 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)图象焦点 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率 e1性质开口方向 向右
2、 向左 向上 向下1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形( )(2)抛物线的范围是 xR.( )(3)抛物线是轴对称图形( )(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 p.( )(5)抛物线 x22 py(p0)上任意一点 P(x0， y0)到其焦点的距离是 x0 .( )p2答案 (1) (2) (3) (4) (5)2若椭圆 1 的左焦点在抛物线 y22 px(p0)的准线上，则 p_.x24 y23解析 由椭圆标准方程知 a24， b23，所以 c2 a2 b21，所以椭圆的左焦点为(1,0)，因为椭圆左焦点在抛物线 y22 px(p0)的准线上，所以 1，故
3、 p2.p2答案 2教材整理 2 抛物线的焦点弦、通径2阅读教材 P52例 1 上面的部分，完成下列问题抛物线的焦点弦即为过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦弦长公式为AB x1 x2 p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短， A0B02 p，称为抛物线的通径1过抛物线 y24 x 的焦点 F 做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于 A， B 两点，则线段 AB 的长为_. 【导学号：71392097】解析 易知线段 AB 为抛物线的通径，所以 AB4.答案 42如图 242，过抛物线 x24 y 的焦点作直线垂直于 y 轴，交抛物线于 A， B 两点，O 为抛物线的顶点，则 O
4、AB 的面积是_图 242解析 F(0，1)，将 y1 代入得 xA2， AB4， S OAB 412.12答案 2合 作 探 究攻 重 难依据抛物线的几何性质求抛物线标准方程(1)已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x22 py x2a2 y2b2(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为_(2)已知抛物线的焦点 F 在 x 轴正半轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于A， B 两点， O 是坐标原点，若 OAB 的面积等于 4，则此抛物线的标准方程为_. 【导学号：71392098】自主解答 (1)双
5、曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为x2a2 y2b22， 2， b a，ca a2 b2a 33双曲线的渐近线方程为 xy0，抛物线 C2： x22 py(p0)的焦点 到双3 (0，p2)曲线的渐近线的距离为 2， p8.所求的抛物线方程为 x216 y.| 30p2|2(2)不妨设抛物线的方程为 y22 px，如图所示， AB 是抛物线的通径， AB2 p，又OF p， S OAB ABOF 2p p p24，故 p2 .12 12 12 12 12 2答案 (1) x216 y (2) y24 x2名师指津 利用抛物线几何性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问
6、题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点：解决焦点弦问题.再练一题1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x216 y2144 的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，则抛物线的标准方程为_解析 椭圆的方程可化为 1，其短轴在 y 轴上，x216 y29抛物线的对称轴为 y 轴，设抛物线的标准方程为 x22 py 或 x22 py(p0)，由抛物线焦点到顶点的距离为 3 得 3， p6.抛物线的标准方程为 x212 y 或 x212 y.p2答案 x212 y 或 x212 y与抛物线有关的最值问题求抛物线 y x2上的点
7、到直线 4x3 y80 的最小距离 . 【导学号：71392099】精彩点拨 本题的解法有两种：法一，设 P(t， t2)为抛物线上一点，点 P 到直线的距离为 d ，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线 4x3 y m0 与|4t 3t2 8|5直线 4x3 y80 平行且与抛物线相切，求出 m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求4最小距离自主解答 法一：设 P(t， t2)为抛物线上的点，它到直线 4x3 y80 的距离d |4t 3t2 8|5 |3t2 4t 8|51515 .35(t 23)2 43当 t 时， d 有最小值 .23 43法二：如图，设与直线 4x3 y80 平行
8、的抛物线的切线方程为 4x3 y m0，由Error!消去 y 得 3x24 x m0， 1612 m0， m .43最小距离为 .| 8 43|52035 43名师指津 抛物线中最值的求解策略(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.(2)当条件中有关于抛物线上的点 P 到焦点 F 的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点 P 到 F 的距离与点 P 到准线距离的转化.再练一题2已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x1，抛物线 y24 x 上一动点 P 到直线l1和直线 l2的距离之和的最小值是_解析 因为抛物线的方程为 y24 x，所以焦点坐
9、标 F(1，0)，准线方程为 x1，所以设 P 到准线的距离为 PB，则 PB PF， P 到直线 l1：4 x3 y60 的距离为 PA，所以PA PB PA PF FD，其中 FD 为焦点到直线 4x3 y60 的距离，所以5FD 2，所以距离之和最小值是 2.|4 0 6|32 42 105答案 2抛物线的几何性质探究问题1从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？提示 (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性
10、质是完全不同的事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平2如何认识抛物线的焦点弦？提示 如图， AB 是抛物线 y22 px(p0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，AB 的中点 M(x0， y0)，相应的准线为 l.(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切；(2)AB2 (焦点弦长与中点关系)；(x0p2)(3)AB x1 x2 p；(4)若直线 AB 的倾斜角为 ，则 AB ；2psin2如当 90时， AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A， B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2 ， y
11、1y2 p2；p246(6) .1AF 1BF 2p3设抛物线上任意一点 P(x0， y0)，焦点弦端点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则四种标准形式下的焦半径 PF、焦点弦 AB，如何表示提示 标准方程 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)焦半径 PF PF x0p2PF x0p2PF y0p2PF y0p2焦点弦 AB AB x1 x2 p AB p x1 x2 AB y1 y2 p AB p y1 y2已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，且AB p，求 AB 所在的直线方程. 52【
12、导学号：71392100】精彩点拨 求 AB 所在直线的方程的关键是确定直线的斜率 k，利用直线 AB 过焦点F， AB x1 x2 p p 求解52自主解答 由题意可知，抛物线 y22 px(p0)的准线为 x .p2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， A， B 到抛物线准线的距离分别为 dA， dB.由抛物线的定义，知 AF dA x1 ， BF dB x2 ，p2 p2于是 AB x1 x2 p p， x1 x2 p.52 32当 x1 x2 时， AB2 p0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？提示 直线与抛物线交点的个数等价于方程组Error!的解的个数，也等价于方程ky
13、22 py2 bp0 的解的个数(1)若 k0，当 0 时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当 0 时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当 0)相交，有一个公共点特别地，当直线l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为 x m，则当 m0 时， l 与抛物线相交，有两个公共点；当 m0 时， l 与抛物线相切，有一个公共点；当 m0，得2 b10，即 b0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为_解析 通径长为 2p.答案 2 p2过抛物线 y24 x 的焦点作直线与抛物线相交于 P(x1， y1)， Q(x2， y2)两点，若x1 x28，则 PQ 的值为_. 【导学号：71392102】解析 PQ
14、x1 x2210.答案 103直线 l： y x b 与抛物线 C： x24 y 相切于点 A，则实数 b 的值为_解析 由Error!得 x24 x4 b0，因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 (4) 24(4 b)0，解得 b1.答案 14已知抛物线 C： y x2，则过抛物线焦点 F 且斜率为 的直线 l 被抛物线截得的线14 12段长为_解析 由题意得 l 的方程为 y x1，即 x2( y1)代入抛物线方程，得129y( y1) 2，即 y23 y10.设线段端点坐标为( x1， y1)，( x2， y2)，则线段长度为y1 y2 p5.答案 55已知抛物线 y22 px(p0)，过 C(4,0)作抛物线的两条切线 CA， CB， A， B 为切点若直线 AB 经过抛物线 y22 px 的焦点， CAB 的面积为 24，则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是_. 【导学号：71392103】解析 由抛物线的对称性知， AB x 轴因为直线 AB 经过抛物线的焦点，| AB|2 p.又点 C 到直线 AB 的距离 d 4， CAB 的面积 S |AB|d 2pp2 12 1224.整理，得 p28 p480，解得 p4 或 p12(舍去)， p4，直线 AB 的(p2 4)方程为 x2.以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y28 x.答案 y28 x
