1、12.6.3 曲线的交点学习目标：1.掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数(重点)2.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题(难点)3.直线与圆锥曲线公共点个数的讨论(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理 两条曲线的交点与相交弦长阅读教材 P65的部分，完成下列问题1两条曲线的交点对于曲线 C1： f1(x， y)0 和曲线 C2： f2(x， y)0，(1)P0(x0， y0)是 C1与 C2的公共点Error!(2)求两条曲线的交点坐标，就是求方程组Error!的实数解2弦长公式设直线 l 的方程为 y kx b， l 与圆锥曲
2、线交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则弦长公式为 AB |x1 x2| |y1 y2|.1 k21 1k23代点法设直线 l 与圆锥曲线 C： f(x， y)0 交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则可将 A， B 两点坐标代入方程 f(x， y)0，得Error!两式作差，变形，即可得到弦 AB 的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)过椭圆上一点 P 的直线与该椭圆必有两个公共点( )(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条( )(3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物
3、线相切( )(4)当直线与圆锥曲线相交时，若交点坐标方便求出，也可用两点间距离公式求弦长( )答案 (1) (2) (3) (4)2直线 y mx1 与椭圆 x24 y21 有且只有一个交点，则 m2_.解析 由Error!得(14 m2)x28 mx30.由题意得 64 m212(14 m2)0，解得 m2 .34答案 343曲线 x22 xy y220 与 x 轴的交点坐标为_2解析 在曲线方程中，令 y0，得 x220，解得 x ，则曲线与 x 轴的交点2坐标为( ，0)2答案 ( ，0)24直线 y x1 与曲线 x22 y 交于 A， B 两点，则 AB_. 【导学号：7139213
4、5】解析 由Error!得 x22 x20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x22， x1x22，由弦长公式得AB 1 k2(x1 x2)2 4x1x2 2 22 4( 2)2 .6答案 2 6合 作 探 究攻 重 难曲线公共点的个数问题已知直线 l： kx y20，双曲线 C： x24 y2 4，当 k 为何值时：(1)l 与 C 无公共点；(2)l 与 C 有唯一公共点；(3)l 与 C 有两个不同的公共点. 【导学号：71392136】精彩点拨 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数 k
5、 的取值自主解答 将直线与双曲线方程联立消去 y，得(14 k2)x216 kx200. 当 14 k20 时，有 (16 k)24(14 k2)(20)16(54 k2)(1)当 14 k20 且 时， l 与 C 无公共点52 52(2)当 14 k20，即 k 时，显然方程只有一解12当 14 k20， 0，即 k 时，方程只有一解52故当 k 或 k 时， l 与 C 有唯一公共点12 523(3)当 14 k20，且 0 时，即 0，即1 时，直线 l 与抛物线相离，没有公共点12综上，当 k1 或 或 0 时，12直线 l 与抛物线只有一个公共点；当1 时，直线 l 与抛物线没有公
6、共点124直线被圆锥曲线截得的弦长问题已知斜率为 2 的直线经过椭圆 1 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A， B 两x25 y24点，求弦 AB 的长精彩点拨 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查 A， B 坐标间的联系，进行整体运算自主解答 直线 l 过椭圆 1 的右焦点 F1(1，0)，又直线的斜率为 2.x25 y24直线 l 的方程为 y2( x1)，即 2x y20.法一：由方程组Error!得交点 A(0，2)， B .(53， 43)则 AB (xA xB)2 (yA yB)2 .1259 553法二：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)
7、，则 A， B 的坐标为方程组Error!的公共解对方程组消去 y，得 3x25 x0，则 x1 x2 ， x1x20，53 AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 x2)2(1 koal(2,AB) (1 koal(2,AB)(x1 x2)2 4x1x2 .553法三：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error!消去 y，得 3x25 x0，则 x1， x2是方程 3x25 x0 的两根 x1 x2 .53由圆锥曲线的统一定义，得 AF1 (5 x1)，15F1B (5 x2)，15则 AB AF1 F1B 10( x1 x2) .15 15 253 553名师指
8、津 弦长的求法5(1)求弦长要分一般弦还是焦点弦，若是一般弦，利用一般弦长公式求解，若是焦点弦，可利用圆锥曲线的统一定义求解.(2)弦中点坐标与弦所在直线斜率间的互求一般利用点差法较为简捷.再练一题2如图 267，椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，一条直线 l 经过 F1与椭x216 y29圆交于 A， B 两点，若直线 l 的倾斜角为 45，求 ABF2的面积图 267解 由椭圆的方程 1 知， a4， b3，x216 y29 c .a2 b2 7由 c 知 F1( ，0)， F2( ，0)，7 7 7又直线 l 的斜率 ktan 451，直线 l 的方程为 x y 0.7设 A(
9、x1， y1)， B(x2， y2)，则由Error!法一：消去 y，整理得25x232 x320，7 x1 x2 ， x1x2 ，32725 3225 AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 2(x1 x2)2 2(x1 x2)2 4x1x2 .14425又点 F2到直线 l 的距离 d ，|7 0 7|2 14 S ABd . ABF2 12 12 14425 14 721425法二：消去 x，整理得25y218 y810，7 y1 y2 ， y1y2 .18725 8125| y1 y2| (y1 y2)2 4y1y26 ，72225 S F1F2|y1 y2| 2 . ABF2 12
10、 12 7 72225 721425直线与圆锥曲线的综合问题已知椭圆 1( a b0)，过点 A( a,0)， B(0， b)的直线倾斜角为 ，x2a2 y2b2 6焦距为 2 .2(1)求椭圆的方程；(2)已知直线过 D(1,0)与椭圆交于 E， F 两点，若 2 ，求直线 EF 的方程；ED DF (3)是否存在实数 k，直线 y kx2 交椭圆于 P， Q 两点，以 PQ 为直径的圆过 D(1,0)？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：71392137】精彩点拨 (1)根据直线的倾斜角求得 a， b 的关系式，又 2c2 ，结合2a2 b2 c2可得 a2和 b2，
11、即得方程；(2)设出直线方程，利用 2 及韦达定理可求 EFED DF 的方程；(3)假设存在，利用 PD QD 建立方程推导自主解答 (1)由 ， a2 b2 c22，得 a ， b1，ba 33 3所以椭圆方程为 y21.x23(2)设 EF： x my1( m0)，代入 y21，x23得( m23) y22 my20，设 E(x1， y1)， F(x2， y2)，由 2 ，得 y12 y2.ED DF 由 y1 y2 y2 ， y1y22 y ，2mm2 3 2 2m2 3得 ， m1 或 m1.(2mm2 3)2 1m2 3直线 EF 的方程为 x y10 或 x y10.(3)将 y
12、 kx2 代入 y21，得(3 k21) x212 kx90.(*)x23记 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ， PQ 为直径的圆过 12k3k2 1 93k2 1D(1,0)，则 PD QD，即( x11， y1)(x21， y2)( x11)( x21) y1y20，又7y1 kx12， y2 kx22，得( k21) x1x2(2 k1)( x1 x2)5 0， 12k 143k2 1解得 k ，此时(*)方程 0，存在 k 满足题设条件76 76名师指津 存在性问题的一般方法对于存在性问题，一般是假设存在，利用已知条件进行推导，如本例中的以 PQ
13、 为直径的圆过点 D，转化为 PD QD，若存在，则利用构建的方程可解出未知数；若不存在，则推出矛盾.再练一题3设双曲线 C： y21( a0)与直线 l： x y1 相交于两个不同点 A， B.x2a2(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若 ，求 a 的值. PA 512PB 【导学号：71392138】解 (1)将 y x1 代入双曲线 y21( a0)中得(1 a2)x22 a2x2 a20.x2a2所以Error!解得 0 ，且 e .62 2(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(0,1)，因为 ，PA 512PB
14、 所以( x1， y11) (x2， y21)512由此得 x1 x2.512由于 x1， x2是方程(1 a2)x22 a2x2 a20 的两根，且 1 a20，所以 x21712， x ，2a21 a2 5122 2a21 a2消去 x2，得 .由 a0，解得 a .2a21 a2 28960 1713直线与圆锥曲线的相交弦问题探究问题8解决直线与圆锥曲线的相交弦问题要注意什么？提示 (1)“设而不求”的方法，若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A 和 B，一般地，首先设出交点坐标 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其中有四个参数 x1， y1， x2， y2，它们只是过渡性符
15、号，通常是不需要求出的，但有利于用根与系数关系等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式AB |x1 x2| |y1 y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决1 k21 1k2(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率已知椭圆 1，过点 P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直x216 y24线方程精彩点拨 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去 y，得关于 x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求
16、解自主解答 法一：由题意，弦所在直线存在斜率，设所求直线的方程为y1 k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4 k21) x28(2 k2 k)x4(2 k1) 2160.又设直线与椭圆的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1， x2是上面的方程的两个根，所以 x1 x2 ，8(2k2 k)4k2 1因为 P 为弦 AB 的中点，所以 2 ，x1 x22 4(2k2 k)4k2 1解得 k ，所以所求直线的方程为 x2 y40.12法二：设直线与椭圆交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，因为 P 为弦 AB 的中点，所以 x1 x24， y1 y22，又因为 A，
17、 B 在椭圆上，所以 x 4 y 16， x 4 y 16，21 21 2 2两式相减，得( x x )4( y y )0，21 2 21 2即( x1 x2)(x1 x2)4( y1 y2)(y1 y2)0，所以 ，即 kAB .y1 y2x1 x2 (x1 x2)4(y1 y2) 12 129所以所求直线的方程为 y1 (x2)，12即 x2 y40.再练一题4过点 P(1,1)的直线与椭圆 1 交于 A， B 两点，若线段 AB 的中点恰为点x24 y22P，求 AB 所在的直线方程及弦长 AB.解 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 A， B 两点在椭圆上得Error!两
18、式相减得(x1 x2)(x1 x2)2( y1 y2)(y1 y2)0. 显然 x1 x2，故由得kAB .y1 y2x1 x2 x1 x22(y1 y2)因为点 P 是 AB 的中点，所以有x1 x22， y1 y22. 把代入得 kAB ，故 AB 的直线方程是12y1 (x1)，即 x2 y30.12由Error! 消去 y 得 3x26 x10， x1 x22， x1x2 ，13AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 x2)2 k(x1 x2)2 1 k2(x1 x2)2 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 .1 14 243 303当 堂 达 标固 双 基1过点(0,1
19、)且与抛物线 y2 x 只有一个公共点的直线有_条解析 点(0,1)在抛物线 y2 x 的外部，过点(0,1)与抛物线相切的直线有两条过点(0,1)平行于对称轴的直线有一条，因此，只有一个公共点的直线共有 3 条答案 32已知直线 x y10 与抛物线 y ax2相切，则 a 等于_. 【导学号：71392139】解析 由题意知 a0.由Error!消去 y 得 ax2 x10，10该方程的判别式 (1) 24 a114 a，令 0，即 14 a0，解得 a .14答案 143直线 y kx k1 与椭圆 1 的交点个数为_x29 y24解析 由于直线 y kx k1 k(x1)1 过定点(1
20、,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交，故有 2 个交点答案 24若直线 y2 x b 被曲线 y24 x 截得的弦 AB 的长为 3 ，则实数 b 等于5_解析 联立方程Error!得 4x2(4 b4) x b20，(*)设两个交点的坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由根与系数的关系，得Error!故 AB |x1 x2|1 k2 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 1 22(1 b)2 4b243 .5化简得 3，于是 b4，1 2b当 b4 时，方程(*)的判别式为 (4 b4) 216 b232 b1632(4)161440.故直线与曲线有两个交点，于是所求的 b 的值为4.答案 45对不同的实数值 m，讨论直线 y x m 与椭圆 y21 的位置关系. x24【导学号：71392140】解 由Error!消去 y 得 ( x m)21，x24整理得 5x28 mx4 m240， (8 m)245(4 m24)16(5 m2)当 0，5 5直线与椭圆相交；当 m 或 m 时， 0，5 5直线与椭圆相切；11当 m 时， 0，5 5直线与椭圆相离
