1、1第 2章 圆锥曲线与方程体系构建2自我校对 1( a b0) 1( a b0) ( a，0)，(0， b)或(0， a)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2(b,0) 2 a 2 b ( c,0)，( c,0) 2 c 1( a0， b0) ca x2a2 y2b2 y x y x y22 px(p0) x22 py(p0) ba ab (p2， 0)y ep2 PFd题型探究圆锥曲线定义的应用“回归定义”解题的三点应用：应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义
2、结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离互相转化，结合几何图形，利用几何意义去解决已知 A(4,0)， B(2,2)， M是椭圆 9x225 y2225 上的动点，求 MA MB的最大值与最小值精彩点拨 A(4,0)为椭圆的右焦点， B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化规范解答 如图所示，由题意，知点 A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则 A关于 O的对称点为 A1(4,0)(左焦点)3由椭圆的定义，得 MA MA12 a， MA2 a MA1， MA MB(2 a MA1) MB2 a( MB MA1)| MB MA
3、1| A1B2 ，即2 MB MA12 ，又 2a10， MA MB的最大10 10 10值是 102 ，最小值为 102 .10 10再练一题1双曲线 16x29 y2144 的左、右两焦点分别为 F1， F2，点 P在双曲线上，且PF1PF264，求 PF1F2的面积. 【导学号：71392145】解 双曲线方程 16x29 y2144 化为 1，即 a29， b216，所以 c225，x29 y216解得 a3， c5，所以 F1(5,0)， F2(5,0)设 PF1 m， PF2 n，由双曲线的定义，可知| m n|2 a6，在 PF1F2中，由余弦定理得cos F1PF2 PF21
4、PF2 F1F22PF1PF2 m2 n2 (2c)22mn (m n)2 2mn 4c22mn ，所以 F1PF260.36 264 425264 12所以 S PF1PF2sin F1PF2 mnsin 6016 ，所以 PF1F2的 PF1F2 12 12 3面积为 16 .3圆锥曲线的性质与标准方程1有关圆锥曲线的焦点、离心率、准线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解2待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是：(1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型；(2)设方程：根据方程的类型，设出方程；(3)求参数：利用已
5、知条件，求出 a， b或 p的值；(4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程4求与椭圆 1 有相同焦点，且离心率为 的椭圆的标准方程x29 y24 55精彩点拨 设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解规范解答 因为 c ，所以所求椭圆的焦点为( ，0)，( ，0)，设所9 4 5 5 5求椭圆的方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2因为 e ， c ，所以 a5，ca 55 5所以 b2 a2 c220，所以所求椭圆的方程为 1.x225 y220再练一题2设双曲线 1( ba0)的焦半距长为 c，直线 l过点 A(a,0)， B(0， b)两点，x2a2 y2b2已知原点到直线 l的
6、距离为 c，则双曲线的离心率为_34解析 法一：如图，在 OAB中， OA a， OB b， OE c， AB c.34 a2 b2由于 ABOE OAOB， c c ab， (a2 b2) ab，两边同时除以 a2，得 0，34 34 34(ba)2 ba 34 或 (舍去)ba 3 ba 33 e 2.ca a2 b2a法二：直线 l方程为 1，即 bx ay ab0，由原点到直线 l的距离为 c，得xa yb 34 c，即 ab c2，两边平方得 a2b2 c4.|ab|b2 a2 34 34 31616 a2(c2 a2)3 c4，3 c416 a2c216 a40，同除以 a4得 3
7、e416 e2160，解得 e24 或 e2 (舍去)，435 e2.答案 2求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程的方法有直接法、定义法、代入法和参数法，首先看动点是否满足已知曲线的定义，若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法设圆( x1) 2 y21 的圆心为 C，过原点作圆的弦 OA，求 OA中点 B的轨迹方程. 【导学号：71392146】精彩点拨 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法
8、，交轨法(参数法)求解规范解答 法一(直接法)：设 B点坐标为( x， y)，由题意，得 OB2 BC2 OC2，如图所示：即 x2 y2( x1) 2 y21，即 OA中点 B的轨迹方程为 y2 (去掉原点)(x12)2 14法二(定义法)：设 B点坐标为( x， y)，由题意知， CB OA， OC的中点记为 M ，(12， 0)则 MB OC ，12 12故 B点的轨迹方程为 y2 (去掉原点)(x12)2 14法三(代入法)：设 A点坐标为( x1， y1)， B点坐标为( x， y)，由题意得Error!即Error!又因为( x11) 2 y 1，21所以(2 x1) 2(2 y)
9、21.6即 y2 (去掉原点)(x12)2 14法四(交轨法)：设直线 OA的方程为 y kx，当 k0 时， B为(1,0)；当 k0 时，直线 BC的方程为 y (x1)，1k直线 OA， BC的方程联立，消去 k即得其交点轨迹方程 y2 x(x1)0，即 y2 (x0,1)，(x12)2 14显然 B(1,0)满足 y2 ，(x12)2 14故 y2 (去掉原点)即为所求(x12)2 14再练一题3若动点 P在曲线 y2 x21 上移动，求点 P与 Q(0，1)连线中点 M的轨迹方程解 设 P(x0， y0)，中点 M(x， y)，则Error! Error!又 P(x0， y0)在曲线
10、 y2 x21 上，2 y12(2 x)21，即 y4 x2.点 M的轨迹方程为 y4 x2.直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 ，则有： 0直线与圆锥曲线相交于两点； 0 直线与圆锥曲线相切于一点； 0，x1x24， x1 x24 ，2k2 M， N两点在抛物线上， y y 4 x1x216，21 2而 y1y2b0)相交于 A， B两点， M为 AB的中点，12 x2a2 y2b211若| AB|2 ，直线
11、OM的斜率为 (O为坐标原点)，求椭圆的方程512解 由Error!消去 y，整理得( a24 b2)x28 a2x16 a24 a2b20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由根与系数的关系，得 x1 x2 ， x1x2 .8a2a2 4b2 16a2 4a2b2a2 4b2又设 AB的中点 M(xM， yM)，则 xM ， yM xM2 .x1 x22 4a2a2 4b2 12 8b2a2 4b2直线 OM的斜率 kOM ，yMxM 12 ， a24 b2，2b2a2 12从而 x1 x2 4， x1x2 82 b2.8a2a2 4b2 16a2 4a2b2a2 4b2又 A
12、B2 ， 2 ，51 14 (x1 x2)2 4x1x2 5即 2 ，解得 b24， a24 b216，52 16 4(8 2b2) 5故所求椭圆的方程为 1.x216 y24链接高考1在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 y21 的右准线与它的两条渐近线分别交于x23点 P， Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q的面积是_解析 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为 x ，两条渐近线方程为 y x，32 33右准线与两条渐近线的交点坐标为 .不妨设 F1(2,0)， F2(2,0)， P ， Q(32， 32) (32， 32)，(32， 32)则四边形 F1PF2Q的面积为 S |
13、F1F2|PQ| 4 2 .四 边 形 F1PF2Q 12 12 3 3答案 2 32若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被圆( x2) 2 y24 所截得的x2a2 y2b2弦长为 2，则 C的离心率为_. 【导学号：71392149】12解析 圆( x2) 2 y24 的圆心为(2,0)，半径 r2，不妨设双曲线 C的一条渐近线为 y x，即 bx ay0.ba因为该渐近线被圆( x2) 2 y24 所截得的弦长为 2，所以 ，两边平方得 3a2 b2，即 3，|2b|b2 a2 4 1 3 b2a2从而 e 2.1 b2a2 1 3答案 23已知双曲线 C： 1( a0， b
14、0)的一条渐近线方程为 y x，且与椭圆x2a2 y2b2 52 1 有公共焦点，则 C的方程为_x212 y23解析 由双曲线 C的一条渐近线方程为 y x，可知 .52 ba 52又椭圆 1 的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，x212 y23 a2 b29.由联立可解得 a24， b25，所以双曲线 C的方程为 1.x24 y25答案 1x24 y254设椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 .已知 A是抛物线x2a2 y2b2 12y22 px(p0)的焦点， F到抛物线的准线 l的距离为 .12(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设 l上两点 P， Q关于
15、x轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B(点 B异于点 A)，直线BQ与 x轴相交于点 D.若 APD的面积为 ，求直线 AP的方程62解 (1)设点 F的坐标为( c,0)依题意，得 ， a， a c ，解得 a1， c ， p2，进而得 b2 a2 c2 .ca 12 p2 12 12 34所以椭圆的方程为 x2 1，抛物线的方程为 y24 x.4y23(2)设直线 AP的方程为 x my1( m0)，与直线 l的方程 x1 联立，可得点 P，故点 Q .( 1， 2m) ( 1， 2m)将 x my1 与 x2 1 联立，消去 x，4y2313整理得(3 m24) y26 my0，解得 y0 或 y . 6m3m2 4由点 B异于点 A，可得点 B .( 3m2 43m2 4， 6m3m2 4)由点 Q ，( 1，2m)可得直线 BQ的方程为 (x1) 0，( 6m3m2 4 2m) ( 3m2 43m2 4 1)(y 2m)令 y0，解得 x ，故点 D .2 3m23m2 2 (2 3m23m2 2， 0)所以| AD|1 .2 3m23m2 2 6m23m2 2又因为 APD的面积为 ，62故 ，12 6m23m2 2 2|m| 62整理得 3m22 |m|20，6解得| m| ，所以 m .63 63所以直线 AP的方程为 3x y30 或 3x y30.6 6
