1、13.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行(重点)3.基向量的选取及应用(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理 1 空间向量基本定理阅读教材 P87P 88例 1 以上的部分，完成下列问题1空间向量基本定理如果三个向量 e1， e2， e3不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使 p xe1 ye2 ze3.2基底、
2、基向量在空间向量基本定理中， e1， e2， e3是空间不共面的三个向量，则把 e1， e2， e3称为空间的一个基底， e1， e2， e3叫做基向量.0 不能作为基向量3正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i， j， k表示4空间向量基本定理的推论设 O， A， B， C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使得 x y z .OP OA OB OC 已知 是空间的一个基底，且e1， e2， e3 e12 e2
3、e3， 3 e1 e22 e3， e1 e2 e3，试判断 能否作为空OA OB OC OA ， OB ， OC 间的一个基底？并说明理由解 能作为空间的一个基底，理由如下：OA ， OB ， OC 假设 ， ， 共面，则存在实数 ， 使得 ，OA OB OC OA OB OC e12 e2 e3 (3 e1 e22 e3) (e1 e2 e3)(3 )e1( )e2(2 )e3. e1， e2， e3不共面，2Error! 此方程组无实数解 ， ， 不共面OA OB OC 能作为空间的一个基底OA ， OB ， OC 教材整理 2 空间向量的坐标运算阅读教材 P89P 90例 1 以上的部分
4、，完成下列问题1空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)，则( a2 a1， b2 b1， c2 c1)；当空间向量 a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向AB 量 a 的坐标2空间向量的坐标运算设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)向量的加法 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)向量的减法 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)数乘向量 a( a 1， a 2， a 3)， R向量平行 a b(a0) b1 a 1， b2 a 2， b3 a 3， R已知向量 a(1,0,2)，2
5、a b(0,1,3)，则 b_.解析 b(2 a b)2 a(0,1,3)2(1,0,2)(2,1，1)答案 (2,1，1)合 作 探 究攻 重 难基底的判断(1)若 a， b， c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是_(填序号) a， a b， a b； b， a b， a b； c， a b， a b； a b， a b， a2 b(2)若 e1， e2， e3是空间的一个基底，且向量2 e1 e2 e3， e1 e22 e3， ke13 e22 e3不能作为空间的一组基底，则OA OB OC k_. 【导学号：71392165】3精彩点拨 (1)看各组向量是否共面，共面
6、不能作为基底，否则可作基底；(2) ，OA ， 共面，利用共面向量定理求解OB OC 解析 (1)若 c， a b， a b 共面，则 c (a b) m(a b)( m)a( m)b，则 a， b， c 为共面向量，此与 a， b， c为空间向量的一组基底矛盾，故c， a b， a b 可构成空间向量的一组基底(2)因为 ， ， 不能作为空间向量的一组基底，故 ， ， 共面OA OB OC OA OB OC 由共面向量定理可知，存在实数 x， y，使 x y ，OC OA OB 即 ke13 e22 e3 x(2e1 e2 e3) y(e1 e22 e3)故Error! 解得 x ， y ，
7、 k5.83 13答案 (1) (2)5名师指津 基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.用基底表示空间向量如图 3114 所示，空间四边形 OABC 中， G， H 分别是 ABC， OBC 的重心，设 a， b， c，试用向量 a， b， c 表示向量 . OA OB OC GH 【导学号：71392166】图 3114精彩点拨 GH OH OG 用 OD 表 示 OH 用 OB ， OC 表 示 OD ， 用 OA ， AG 表 示 OG 用 AD 表 示 AG 用 OD ， OA 表 示 AD 用 O
8、B ， OC 表 示 OD 4自主解答 ， ，GH OH OG OH 23OD ( ) (b c)，OH 23 12OB OC 13 OG OA AG OA 23AD ( ) ( )OA 23OD OA 13OA 23 12OB OC a (b c)，13 13 (b c) a (b c) a，GH 13 13 13 13即 a.GH 13名师指津 用基底表示向量的技巧(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果.(3)下结
9、论：利用空间向量的一个基底 a， b， c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有 a， b， c，不能含有其他形式的向量.再练一题1如图 3115 所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，设 a， b， c， PAB AD AA1 是 CA1的中点， M 是 CD1的中点用基底 a， b， c表示以下向量：(1) ；(2) .AP AM 图 3115解 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，连接 AC， AD1，5(1) ( )AP 12AC AA1 ( )12AB AD AA1 (a b c)12(2) ( ) ( 2 ) a b c.AM 12AC AD1 1
10、2AB AD AA1 12 12空间向量的坐标运算如图 3116， PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M， N 分别是 AB， PC 的中点，并且 PA AB1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量 的坐标MN 图 3116精彩点拨 根据题意，以 ， ， 为单位正交基底，建立空间直角坐标系，再用 ，AB AD AP AB ， 表示向量 ，即可得到结果AD AP MN 自主解答 法一： PA AB AD1， PA平面 ABCD， AB AD， ， ， 是两两垂直的单位向量AB AD AP 设 e1， e2， e3，以 e1， e2， e3为基底建立空间直角坐标系 Axyz，如图AB AD
11、 AP 所示 MN MA AP PN 12AB AP 12PC ( )12AB AP 12PA AC ( )12AB AP 12PA AB AD 6 e2 e3， .12AD 12AP 12 12 MN (0， 12， 12)法二： P(0,0,1)， C(1,1,0)， N .(12， 12， 12)又 M ，(12， 0， 0) .MN (0， 12， 12)名师指津 1本题的两个解法出发点不同，法一侧重于用基底表示 ，然后向坐标转化；法二则MN 是直接利用向量的坐标运算，更简便2运用坐标进行向量运算，实质就是将向量运算转化为数字运算，体现了转化思想的运用再练一题2已知 ABCDA1B1C
12、1D1是棱长为 2 的正方体， E， F 分别为 BB1和 DC 的中点，建立如图3117 所示的空间直角坐标系，试写出 ， ， 的坐标DB1 DE DF 图 3117解 D(0,0,0)， B1(2,2,2)， E(2,2,1)， F(0,1,0)， (2,2,2)， (2,2,1)，DB1 DE (0,1,0).DF 空间向量平行的坐标表示已知空间三点 A(2,0,2)， B(1,1,2)， C(3 ，0,4)，设 a ， b .AB AC (1)设| c|3， c ，求 c；BC (2)是否存在实数 k，使( ka b)( ka2 b)？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 【
13、导学号：71392167】精彩点拨 根据共线向量定理及空间向量平行的坐标表示可解7自主解答 (1)由条件，易得 (2，1,2)，因为 c ，BC BC 故设 c (2，1,2)(2 ， ，2 )，又因为| c|3，BC 4 2 24 29，解得 1，故 c 的坐标为(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)， b(1,0,2)， ka b( k1， k,2)ka2 b( k2， k，4)，假设存在实数 k，使( ka b)( ka2 b)，即存在实数 ，使 ka b (ka2 b)，即( k1， k,2) (k2， k，4)，即Error!解得 ， k0，12所以存在实数 k0，使(
14、 ka b)( ka2 b)名师指津 两向量平行的充要条件有两个： a b，Error! 依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值再练一题3设 a(2,3,0)， b(3，2,1)，计算 2a3 b,5a6 b，并确定 ， 的值，使 a b 与向量 b 平行解 a(2,3,0)， b(3，2,1)，2 a3 b2(2,3,0)3(3，2,1)(4,6,0)(9，6,3)(5,0,3)，5a6 b5(2,3,0)6(3，2,1)(10,15,0)(18，12,6)(28,27，6) a b (2,3,0) (3，2,1)(2 3 ，3 2 ， )，且( a b) b， ，2
15、3 3 3 2 2 1 0， R，即 0， R 时， a b 与 b 平行.空间向量的坐标运算探究问题1如何建立空间直角坐标系？提示 (1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手系建系，如图所示82如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？提示 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公
16、式进行论证、计算；(5)转化为几何结论如图 3118，在长方体 OAEBO1A1E1B1中， OA3 ， OB4， OO12，点 P 在棱AA1上，且 AP2 PA1，点 S 在棱 BB1上，且 SB12 BS，点 Q， R 分别是棱 O1B1， AE 的中点图 3118求证： PQ RS. 【导学号：71392168】精彩点拨 以 O 为原点，以 ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建OA OB OO1 立空间直角坐标系，确定 ， 的坐标，利用向量共线证明PQ RS 自主解答 如图，建立空间直角坐标系，则 A(3,0,0)， B(0,4,0)， O1(0,0,2)， A
17、1(3,0,2)， B1(0,4,2) PA2 PA1， SB12 BS，Q， R 分别是棱 O1B1， AE 的中点， P ， Q(0,2,2)， R(3,2,0)， S .(3， 0，43) (0， 4， 23)于是 ， .PQ ( 3， 2， 23) RS PQ RS RPQ， PQ RS.再练一题94已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A(3，1,2)， B(1，2，1)， C(1,1，3)，D(3，5,3)，求证：四边形 ABCD 是一个梯形证明 (1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)， (3，5,3)AB CD (1,1，3)(4，6,6)， ， 24 3 6 36 与 共
18、线，即 AB CD.AB CD 又 (3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，AD (1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，BC ，0 2 4 1 1 2 与 不平行AD BC 四边形 ABCD 为梯形当 堂 达 标固 双 基1设 a(1,2,3)， b(2,2，2)，若( ka b)( a b)，则 k_.解析 ka b k(1,2,3)(2,2，2)( k2,2 k2,3 k2)，a b(1,4,1)( ka b)( a b)， 3 k2，解得 k1.k 2 1 2k 24答案 12已知向量 a(1,2,1)， a b(0,1,2)，则 b_.解析 b a b a(0,1,2)(1,
19、2,1)(1，1,1)答案 (1，1,1)3已知向量 a(2，3,5)与向量 b 平行，则 等于_. (3， ，152)【导学号：71392169】解析 法一：由题意知，存在实数 k，使 b ka，即 k(2，3,5)，即(3， ，152)Error!解得 k ， .32 92法二：由 a b，显然 0，10得 ，23 3 5152 .92答案 924在直三棱柱 ABOA1B1O1中， AOB ， AO4， BO2， AA14， D 为 A1B1的中点， 2在如图 3119 所示的空间直角坐标系中， ， 的坐标分别为_，_.DO A1B 图 3119解析 由题意得， A(4,0,0)， B(0,2,0)， A1(4,0,4)， B1(0,2,4)，则 D(2,1,4)，(2，1，4)， (4,2，4)DO A1B 答案 (2，1，4) (4,2，4)5如图 3120 所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1， ， .设MA 13AC ND 13A1D a， b， c，试用 a， b， c 表示 .AB AD AA1 MN 图 3120解 MN MA AA1 A1N 13AC AA1 23A1D ( ) ( )13AB AD AA1 23AD AA1 a b c b c13 13 23 23 a b c.13 13 13
